（学困生篇）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业探索图形
一．选择题（共3小题）
1．（2023秋 南京期末）将一个棱长5厘米的正方体的每个面都涂上绿色，再把它切成若干棱长是1厘米的小正方体。3面涂绿色的小正方体有（ ）个。
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（2024秋 盐都区期中）一个表面涂色的正方体，把它切成棱长是1厘米的小正方体，其中一面涂色的小正方体有96个，大正方体的棱长是（ ）厘米。
A．6 B．8 C．10 D．4
3．（2023秋 泗阳县期末）丽丽拿了一个表面红色的棱长5厘米的正方体木块，把它切分成棱长1厘米的正方体小木块，其中有（ ）个小方块只有一面涂色。
A．27 B．36 C．54
二．填空题（共3小题）
4．（2024秋 洪泽区期中）玩具厂的工人用棱长为1厘米的小正方体组成了一个魔方，他们把这个魔方的6个面都涂色，其中2面涂色的小正方体有12个，这个魔方的体积是 立方厘米，1面涂色的小正方体有 个。
5．（2024秋 江宁区期中）把一个棱长为5厘米且表面涂色的正方体，分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有 个，三面涂色的有 个。
6．（2024秋 姜堰区期中）一个棱长为3厘米、表面涂色的正方体，将它每条棱切分成3等份，共可切分成 个相同的小正方体，这些小正方体中，表面2面涂色的有 块，表面1面涂色的有 块。
三．判断题（共3小题）
7．（2023秋 贵阳期末）用棱长是1厘米的小正方体拼成棱长是5厘米的大正方体后，再把它们的表面分别涂上颜色，一面涂色的小正方体有54块。
8．（2022秋 顺庆区期末）如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有54块。
9．（2023 淮滨县开学）一个由若干小正方体组成的大正方体，如果把它的表面涂色，最多有8个小正方体是3面涂色的。
四．应用题（共1小题）
10．（2023 靖江市）一个长方体木块长7厘米，宽6厘米，高5厘米。把它的表面涂成红色，再切割成棱长1厘米的小正方体且没有剩余。切割成的小正方体中两面红色的有多少个？
（学困生篇）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业探索图形
参考答案与试题解析
题号 1 2 3
答案 C A C
一．选择题（共3小题）
1．（2023秋 南京期末）将一个棱长5厘米的正方体的每个面都涂上绿色，再把它切成若干棱长是1厘米的小正方体。3面涂绿色的小正方体有（ ）个。
A．4 B．6 C．8 D．12
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】C
【分析】3面涂色的小正方体的个数等于原正方体的顶点的个数，正方体有8个顶点；据此解答即可。
【解答】解：正方体有8个顶点，所以3面涂绿色的小正方体有8个。
故选：C。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上（顶点处的小正方体除外），一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
2．（2024秋 盐都区期中）一个表面涂色的正方体，把它切成棱长是1厘米的小正方体，其中一面涂色的小正方体有96个，大正方体的棱长是（ ）厘米。
A．6 B．8 C．10 D．4
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】A
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面涂色的是各顶点处的小正方体，在各棱上，除去顶点处的正方体有两面涂色，在6个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色；据此解答。
【解答】解：96÷6＝16（个）
16＝4×4
4+2＝6（个 ）
1×6＝6（厘米）
答：大正方体的棱长是6厘米。
故选：A。
【点评】本题考查了数形结合的问题，关键明确正方体染色的特点。
3．（2023秋 泗阳县期末）丽丽拿了一个表面红色的棱长5厘米的正方体木块，把它切分成棱长1厘米的正方体小木块，其中有（ ）个小方块只有一面涂色。
A．27 B．36 C．54
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】把一块棱长5厘米的正方体木块的外表涂上红色，然后沿棱切成棱长1厘米的小方块，所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体；根据立体图形的知识可知：在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：5÷1＝5（个），所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体；
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（个）
答：其中有54个小方块只有一面涂色。
故选：C。
【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
二．填空题（共3小题）
4．（2024秋 洪泽区期中）玩具厂的工人用棱长为1厘米的小正方体组成了一个魔方，他们把这个魔方的6个面都涂色，其中2面涂色的小正方体有12个，这个魔方的体积是 27 立方厘米，1面涂色的小正方体有 6 个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】27；6。
【分析】根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体的面的中间，只有2面涂色的小正方体在长方体的棱上（不包括8个顶点处的小正方体），3面涂色的小正方体都在顶点处，没有涂色的在内部。每条棱上小正方体有：12÷12+2＝3（个）；即棱长是3厘米，然后根据“正方体的体积＝棱长3”进行解答即可。
【解答】解：每条棱上小正方体有：
12÷12+2
＝1+2
＝3（个）
1×3＝3（厘米）
3×3×3＝27（立方厘米）
（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（个）
答：这个魔方的体积是27立方厘米，1面涂色的小正方体有6个。
故答案为：27；6。
【点评】弄清处在什么位置的小正方体几个面涂色是解答本题的关键。
5．（2024秋 江宁区期中）把一个棱长为5厘米且表面涂色的正方体，分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有 36 个，三面涂色的有 8 个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】36；8。
【分析】根据题意可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可。
【解答】解：5÷1＝5（个）
两面涂色：
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
三面涂色：顶点处的小正方体三面涂色，共8个。
答：其中两面涂色的小正方体有36个，三面涂色的有8个。
故答案为：36；8。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上（除顶点外），3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
6．（2024秋 姜堰区期中）一个棱长为3厘米、表面涂色的正方体，将它每条棱切分成3等份，共可切分成 27 个相同的小正方体，这些小正方体中，表面2面涂色的有 12 块，表面1面涂色的有 6 块。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】27；12；6。
【分析】一个棱长为3厘米、表面涂色的正方体，将它每条棱切分成3等份，即每条棱上有3块小正方体，所以共可切分成3×3×3＝27（块）相同的小正方体，根据正方体表面涂色知识可知，顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可。
【解答】解：3×3×3＝27（块）
两面涂色：（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（块）
一面涂色：（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（块）
答：共可切分成27个相同的小正方体，这些小正方体中，表面2面涂色的有12块，表面1面涂色的有6块。
故答案为：27；12；6。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上（顶点除外），3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
三．判断题（共3小题）
7．（2023秋 贵阳期末）用棱长是1厘米的小正方体拼成棱长是5厘米的大正方体后，再把它们的表面分别涂上颜色，一面涂色的小正方体有54块。 √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√
【分析】
如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，每条大正方体的棱上有5块小正方体，大正方体每个面中间部分的小正方体一面涂色，据此解答即可。
【解答】解：一面涂色的小正方体块数：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（块）
即一面涂色的小正方体有54块，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】根据大正方体的面、棱、顶点分析每个小正方体的涂色情况是解答题目的关键。
8．（2022秋 顺庆区期末）如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有54块。 √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√
【分析】如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，每条大正方体的棱上有5块小正方体，大正方体每个面中间部分的小正方体一面涂色，据此解答即可。
【解答】解：一面涂色的小正方体块数：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（块）
即一面涂色的小正方体有54块，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】根据大正方体的面、棱、顶点分析每个小正方体的涂色情况是解答题目的关键。
9．（2023 淮滨县开学）一个由若干小正方体组成的大正方体，如果把它的表面涂色，最多有8个小正方体是3面涂色的。 √
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】√
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面涂色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的小正方体有两面涂色，一面涂色的小正方体在每个面的中间；根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：3面涂色的小正方体在8个顶点处，所以“一个由若干小正方体组成的大正方体，如果把它的表面涂色，最多有8个小正方体是3面涂色的”说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查了立方体的涂色问题；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
四．应用题（共1小题）
10．（2023 靖江市）一个长方体木块长7厘米，宽6厘米，高5厘米。把它的表面涂成红色，再切割成棱长1厘米的小正方体且没有剩余。切割成的小正方体中两面红色的有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】48个。
【分析】根据长方体切割正方体的特点可知，2个面都是红色的应该是在每条棱长上的小正方体（除去顶点外），由此即可求出只有2个面是红色的小正方体的总个数。
【解答】解：7÷1＝7（个）
6÷1＝6（个）
5÷1＝5（个）
（5﹣2）×4+（6﹣2）×4+（7﹣2）×4
＝12+16+20
＝48（个）
答：切割成的小正方体中两面红色的有48个。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上，一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
考点卡片
1．染色问题
【知识点归纳】
这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．（中等作业）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业探索图形
一．选择题（共4小题）
1．（2024 天河区）给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相同，需要有（ ）个面涂红色。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024春 阿荣旗期末）如图所示，用棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它的表面（六个面）都涂上颜色，其中两面涂色的小正方体有（ ）块．
A．8 B．16 C．24 D．32
3．（2024春 菏泽期中）一个表面涂色的正方体，切成64块大小相同的小正方体，一面涂色有（ ）块。
A．6 B．8 C．16 D．24
4．（2023秋 任丘市期末）在图形中再给1个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有（ ）种不同的涂法．
A．2 B．3 C．4
二．填空题（共3小题）
5．（2024秋 洪泽区期中）一个棱长为5厘米、表面涂色的正方体，将它每条棱切分成5等份，共可切分成 个相同的小正方体，这些小正方体中，表面3面涂色的有 块，表面2面涂色的有 块，表面1面涂色的有 块．
6．（2024秋 江宁区期中）把一个棱长为5厘米的正方体的6个面都涂上颜色，并切成棱长为1厘米的小正方体，其中三面涂色的小正方体有 个，两面涂色的小正方体有 个。
7．（2024春 罗甸县期末）如图，右面的几何体是由8个小正方体拼成的，把它的表面涂上颜色。只有3个面涂色的有 个小正方体。
三．判断题（共3小题）
8．（2019春 隆昌市期末）一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体有8个．
9．（2015春 淮南期末）把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体总是8个．
10．一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成了8份，那么1面涂色的小正方体有294个．
（中等作业）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业探索图形
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4
答案 D C D C
一．选择题（共4小题）
1．（2024 天河区）给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相同，需要有（ ）个面涂红色。
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】染色问题．
【专题】空间观念；几何直观．
【答案】D
【分析】一个正方体有6个相同的面积，这6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相同，涂红色的面数最多，涂蓝色、蓝色的面数相同。6个面只能4份涂红色，蓝色、黄色各涂1份。
【解答】解：根据题意，涂红色的面数最多，涂涂蓝色、蓝色的面数相同
正方体有6个面，这6个面只能4份涂红色，蓝色、黄色各涂1份。
答：需要4个面涂红色。
故选：D。
【点评】要想涂红色朝上的可能性最大，涂红色的面数面数最多；要想涂蓝色、黄色面数朝上的可能性相同，涂蓝色、黄色的面数就要相同。
2．（2024春 阿荣旗期末）如图所示，用棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它的表面（六个面）都涂上颜色，其中两面涂色的小正方体有（ ）块．
A．8 B．16 C．24 D．32
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】C
【分析】每条棱上有4块小正方体，共有4×4×4＝64块，因为两面有色的处在12条棱的中间上，并且每条棱上有2个，所以共有：（4﹣2）×12＝24块；据此解答．
【解答】解：（4﹣2）×12
＝2×12
＝24（块）
答：其中两面涂色的小正方体有24块．
故选：C。
【点评】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上，一面有色的处在每个面的中间，无色的处在里心．
3．（2024春 菏泽期中）一个表面涂色的正方体，切成64块大小相同的小正方体，一面涂色有（ ）块。
A．6 B．8 C．16 D．24
【考点】染色问题．
【专题】空间观念．
【答案】D
【分析】一个较大正方体切成64块大小相同的小正方体，这较大正方体的每条棱都平均分成4份。
（1）小正方体组成的大正方体的每个顶点处的小正方体三面涂色，一个正方体有8个顶点，因此，三面涂色的有8块，且不论由多少个小正方体组成的大正方体，三面涂色的块数是一定的，都是8块。
（2）位于每条棱非两端的都两面涂色，一个正方体有12条棱，每条棱上有（4﹣2）块，共有12个（4﹣2）块；
（3）处于每个面非边缘的小正方体一面涂色，即小正方体位于每个面的中间，每条棱上有2块，一面涂色的就是（2×2）块，一共有6个（2×2）块。
（4）处于大正方体内部的小正方体没有涂色，由此可知，每条棱上有2块，没有涂色的就是（2×2×2）块。
【解答】解：如图：
4×6＝24（块）
答：一面涂色有24块。
故选：D。
【点评】解答此题的关键一是弄清一个较大正方体切成64块大小相同的小正方体，这较大正方体的每条棱都平均分成4份；二是弄清处于什么位置上的正方体一面涂色。
4．（2023秋 任丘市期末）在图形中再给1个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有（ ）种不同的涂法．
A．2 B．3 C．4
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念与轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
【解答】解：画图如下：
答：在图形中再给1个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有4种不同的涂法．
故选：C。
【点评】此题主要考查了学生对轴对称意义的灵活运用，解题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置得出不同图案．
二．填空题（共3小题）
5．（2024秋 洪泽区期中）一个棱长为5厘米、表面涂色的正方体，将它每条棱切分成5等份，共可切分成 125 个相同的小正方体，这些小正方体中，表面3面涂色的有 8 块，表面2面涂色的有 36 块，表面1面涂色的有 54 块．
【考点】染色问题．
【专题】综合填空题；代数方法；立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】一个棱长为5厘米、表面涂色的正方体，将它每条棱切分成5等份，即每条棱有5个小正方体，所以共可切分成 5×5×5＝125个相同的小正方体，根据正方体表面涂色知识可知，顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可．
【解答】解：5×5×5＝125（个），
三面涂色的在顶点处，共8块；
两面涂色：（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（块）；
一面涂色：（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（块）；
答：表面3面涂色的有8块，表面2面涂色的有36块，表面1面涂色的有54块．
故答案为：125，8，36，54．
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．
6．（2024秋 江宁区期中）把一个棱长为5厘米的正方体的6个面都涂上颜色，并切成棱长为1厘米的小正方体，其中三面涂色的小正方体有 8 个，两面涂色的小正方体有 36 个。
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】8；36。
【分析】棱长为5厘米的正方体，每条大正方体棱长可以切5个小正方体的棱长，则小正方体的数量为（5×5×5）个，大正方体顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色，据此解答即可。
【解答】解：正方体有8个顶点，三面涂色的小正方体有8个。
5÷1＝5（个）
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
两面涂色的小正方体有36个。
答：其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有36个。
故答案为：8；36。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
7．（2024春 罗甸县期末）如图，右面的几何体是由8个小正方体拼成的，把它的表面涂上颜色。只有3个面涂色的有 1 个小正方体。
【考点】染色问题．
【专题】应用题；几何直观．
【答案】1。
【分析】在数涂色的面时，可以先从最上面一个正方形开始，最上面一个正方形：5个面，再看最前边的一个正方形：5个面；然后再看剩余的6个正方形涂色的面的个数，通过数数，得出答案。
【解答】解：只有3个面涂色的有1个小正方体。
故答案为：1。
【点评】此题考查了学生对物体的空间想象与观察能力。
三．判断题（共3小题）
8．（2019春 隆昌市期末）一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体有8个． √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案．
【解答】解：一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体在8个顶点上，
所以共有8个，
所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．
9．（2015春 淮南期末）把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体总是8个． √
【考点】染色问题．
【专题】综合判断题；立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，所以总是8个．
【解答】解：由于三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，
所以，把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体总是8个；
故答案为：√．
【点评】此题主要考查了学生观察图形和利用图形解决问题的能力，这里要抓住三面涂色的在顶点处进行解答．
10．一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成了8份，那么1面涂色的小正方体有294个． ×
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题．
【答案】见试题解答内容
【分析】每条棱都平均分成8份，即棱长为8，其中一面涂色的小正方体在每个面的中间，每个面上有（8﹣2）×（8﹣2）＝36个，则6个面共有36×6＝216个．据此解答．
【解答】解：（8﹣2）×（8﹣2）
＝6×6
＝36（个）
36×6＝216（个）
答：其中一面涂色的小正方体有216个，不是294个，原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．
考点卡片
1．染色问题
【知识点归纳】
这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．（拔高作业）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业探索图形
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 睢宁县期中）用64个小正方体拼成一个较大的正方体，在这个大正方体表面涂上红色，那么没有涂红色的小正方体有（ ）个。
A．6 B．8 C．12 D．24
2．（2024秋 万柏林区期中）如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有（ ）块。
A．8 B．27 C．36 D．54
3．（2024秋 东海县期中）把一个表面涂色的大正方体的每条棱平均分成4份，再切成同样大的小正方体，其中3面涂色的小正方体有（ ）块。
A．4 B．6 C．8 D．无数个
二．填空题（共3小题）
4．（2024秋 铜山区期中）把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有 个，1个面涂红色的小正方体有 个。
5．（2024秋 岳西县月考）把一个棱长为5厘米的正方体涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体，1面涂色的小正方体有 个，2面涂色的小正方体有 个，3面涂色的小正方体有 个。
6．（2024秋 瑞安市月考）把一个正方体木块的表面全涂成红色，然后平均切成27个大小相等的正方体（如图）。那么，三面是红色的小正方体有 个，两个面是红色的小正方体有 个，一个面是红色的小正方体有 个。
三．判断题（共3小题）
7．（2023春 云南期末）用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。
8．（2021春 田家庵区期末）把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个。
9．（2019秋 南京期中）一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。
四．应用题（共1小题）
10．（2023春 宁乡市期中）一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？
（拔高作业）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业探索图形
参考答案与试题解析
题号 1 2 3
答案 B D C
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 睢宁县期中）用64个小正方体拼成一个较大的正方体，在这个大正方体表面涂上红色，那么没有涂红色的小正方体有（ ）个。
A．6 B．8 C．12 D．24
【考点】染色问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】B
【分析】依据题意可知，64＝4×4×4，这个大正方体由4层组成，每层有（4×4）个小正方体，涂色的小正方体都在大正方体的表面，没有涂红色的小正方体个数＝小正方体总个数﹣涂色的小正方体总个数，由此解答本题。
【解答】解：64＝4×4×4，这个大正方体由4层组成，每层有小正方体：4×4＝16（个），
涂色小正方体个数：16+16+8+8+4+4＝56（个）
64﹣56＝8（个）
答：没有涂红色的小正方体有8个。
故选：B。
【点评】本题考查的是染色问题的应用。
2．（2024秋 万柏林区期中）如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有（ ）块。
A．8 B．27 C．36 D．54
【考点】染色问题．
【专题】综合判断题；运算能力．
【答案】D
【分析】大正方体每条棱上面有5块小正方体，三面涂色的正方体在8个顶点上；两面涂色的正方体是在12条棱上，即公式：（n﹣2）×12；一面涂色的正方体是在6个面上，即公式：（n﹣2）2×6。据此解答。
【解答】解：一面涂色的正方体是在6个面上，（5﹣2）2×6＝54（块）
答：只有一面涂色的小正方体有54块。
故选：D。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
3．（2024秋 东海县期中）把一个表面涂色的大正方体的每条棱平均分成4份，再切成同样大的小正方体，其中3面涂色的小正方体有（ ）块。
A．4 B．6 C．8 D．无数个
【考点】染色问题；长方体的特征．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】C
【分析】根据正方体表面积的意义，把一个表面涂色的大正方体平均分成（4×4×4）个小正方体，8个顶点上的小正方体3面涂色，每条棱的中间的小正方体2面涂色，每个面的中间的小正方体1面涂色，内部的小正方体没有涂色。据此解答即可。
【解答】解：由分析得：3面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，所以3面涂色的小正方体有8块。
答：3面涂色的小正方体有8块。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征及应用，抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面的中间，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
二．填空题（共3小题）
4．（2024秋 铜山区期中）把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有 8 个，1个面涂红色的小正方体有 6 个。
【考点】染色问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】8、6。
【分析】依据题意可知，大正方体被分成（3×3×3）个小正方体，3个面涂红色的小正方体在大正方体的顶点位置处，1个面涂红色的小正方体在大正方体的6个面上（除去棱上的小正方体），由此解答本题。
【解答】解：3个面涂红色的小正方体有8个，1个面涂红色的小正方体有6个。
故答案为：8、6。
【点评】本题考查的是染色问题的应用。
5．（2024秋 岳西县月考）把一个棱长为5厘米的正方体涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体，1面涂色的小正方体有 54 个，2面涂色的小正方体有 36 个，3面涂色的小正方体有 8 个。
【考点】染色问题．
【专题】竞赛专题；模型思想．
【答案】54，36，8。
【分析】棱长是5厘米的正方体，把长、宽、高3等分切开，即可切成棱长是1厘米的小正方体，小正方体个数为：5×5×5＝125（个）；
三个面涂成红色的小正方体处在大正方体的8个顶点，每个顶点有1个小正方体，所以共有：8×1＝8（个）；两个面涂成红色的小正方体处在12条棱的中间，每条棱上有3个小正方体，所以共有12×3＝36（个）；一个面涂成红色的小正方体处在大正方体的6个面的中间，每个面有9个小正方体，所以共有6×9＝54（个）。
【解答】解：一个面涂成红色的小正方体处在大正方体的6个面的中间，每个面有9个小正方体，所以共有6×9＝54（个）；两个面涂成红色的小正方体处在12条棱的中间，每条棱上有3个小正方体，所以共有12×3＝36（个）；三个面涂成红色的小正方体处在大正方体的8个顶点，每个顶点有1个小正方体，所以共有：8×1＝8（个）。
故答案为：54，36，8。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上，一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
6．（2024秋 瑞安市月考）把一个正方体木块的表面全涂成红色，然后平均切成27个大小相等的正方体（如图）。那么，三面是红色的小正方体有 8 个，两个面是红色的小正方体有 12 个，一个面是红色的小正方体有 6 个。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】8，12，6。
【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）三面涂色的在每个顶点处；（2）两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体）；（3）一面涂色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体）；（4）没有涂色的都在内部。
【解答】解：（1）三面涂色的在每个顶点处，共有8个；
（2）两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体），有（3﹣2）×12＝12（个）；
（3）一面涂色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体），有1×6＝6（个）；
故答案为：8，12，6。
【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部。
三．判断题（共3小题）
7．（2023春 云南期末）用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。 √
【考点】染色问题．
【专题】空间与图形；应用意识．
【答案】√
【分析】因为有27小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体8个顶点上，据此解答即可。
【解答】解：由分析可知：27＝3×3×3，即大正方体的每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体的顶点上，正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。
故答案为：√。
【点评】本题考查组合图形的涂色问题，熟练掌握正方体的特征是关键。
8．（2021春 田家庵区期末）把一个表面涂满红色的正方体，无论分成多少个大小相同的小正方体（没有剩余）三面涂红色的小正方体总是8个。 √
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】√
【分析】把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，所以总是8个。
【解答】解：由于三面涂红色的小正方体都是在8个顶点上，
所以，把一个表面涂红色的正方体，分成若干个大小相同的小正方体，没有剩余，无论分成多少个，三面涂红色的小正方体总是8个；
故答案为：√。
【点评】此题主要考查了学生观察图形和利用图形解决问题的能力，这里要抓住三面涂色的在顶点处进行解答。
9．（2019秋 南京期中）一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。 ×
【考点】染色问题．
【专题】几何直观；推理能力．
【答案】×
【分析】一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，切成同样大的小正方体，共切成了53个，即125个。位于每条棱非两端的都两面涂色，一个正方体有12条棱，每条棱上有（5﹣2）个小正方体，据此解答即可。
【解答】解：如图
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
所以两面涂色的小正方体有36个；故原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是弄清位于什么位置的小正方体两面涂色。
四．应用题（共1小题）
10．（2023春 宁乡市期中）一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？
【考点】染色问题．
【专题】空间观念．
【答案】125立方厘米。
【分析】根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上（8个顶点除外）；已知两面涂色的小正方体有36个，那么大正方体每条棱上有小正方体（36÷12+2）个，再乘每个小正方体的棱长，即可求出大正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出原来大正方体的体积。
【解答】解：36÷12+2
＝3+2
＝5（个）
1×5＝5（厘米）
5×5×5
＝25×5
＝125（立方厘米）
答：原来大正方体的体积是125立方厘米。
【点评】本题考查正方体的体积公式的运用，结合正方体表面涂色的特点，求出大正方体的棱长是解题的关键。
考点卡片
1．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【命题方向】
常考题型：
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面
分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答．
解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．
故选：C．
点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．
例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（ ）cm的长方体框架．
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．
解：52÷4﹣（6+4），
＝13﹣10，
＝3（厘米）；
答：高为3厘米的长方体的框架．
故选：B．
点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．
2．染色问题
【知识点归纳】
这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．
