（拔高作业）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业总复习
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 睢宁县期中）一个长方体纸箱，从里面量得长15分米，宽6分米，高10分米。如果要在纸箱里放棱长是3分米的正方体包装盒，最多能放（ ）个包装盒。
A．10 B．40 C．30 D．33
2．（2023秋 平阳县期末）关于正方形、长方形、平行四边形和梯形，下面说法中错误的是（ ）
A．正方形是特殊的长方形。
B．长方形是特殊的平行四边形。
C．平行四边形是特殊的梯形。
3．（2024 孟津区）魔方又叫鲁比克方块，是一款风靡全球的益智玩具。小军是魔方爱好者，他有一款三阶魔方，即3×3×3。可是一次玩耍中，不小心掉了一个小正方体，魔方的表面积会（ ）
A．变大 B．变小
C．不变 D．答案不唯一
4．（2024秋 洪泽区期中）将五本书用如图两种方式叠放起来，下面描述正确的是（ ）
A．甲和乙体积相等，表面积不相等
B．甲和乙体积相等，表面积也相等
C．甲和乙体积不相等，表面积相等
5．（2024春 昌黎县期末）一种牛奶的外包装是长方体，量得外包装盒的尺寸如图（单位：厘米）。根据图中数据判断，牛奶的实际含量可能是（ ）毫升。
A．520 B．540 C．500 D．600
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 睢宁县期中）如图在棱长为12厘米的正方体上挖去三个棱长为2厘米的小正方体和长12厘米，宽和高都是2厘米的小长方体，如下图所示，这个几何体的表面积是 平方厘米。
7．（2023秋 上城区期末）用这些小棒可以搭 种不同的长方形（包含正方形）。
8．（2024秋 洪泽区期中）一块长方体木材，长50厘米，宽20厘米，厚5厘米，若据成最大的正方体木块（要求不能割补，不能浪费），可以锯成 块，每块体积是 立方厘米。
9．（2024秋 睢宁县期中）把1.6米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.8平方分米，原来这根木料的体积是 立方分米。
10．（2024秋 洪泽区期中）皮皮家有两块长6分米、宽4分米的玻璃和两块长5分米、宽4分米的玻璃，他爸爸想做一个无盖玻璃鱼缸，还要配一块长 分米、宽 分米的玻璃，做成的鱼缸的容积是 升。（玻璃的厚度忽略不计）
三．判断题（共7小题）
11．（2023秋 老城区期末）两组对边相等的四边形一定是长方形． ．
12．（2024秋 上思县月考）长方体和正方体的体积，都等于它的底面积乘以高．
13．（2024秋 盐都区期中）正方体的棱长扩大2倍，棱长和扩大4倍，体积扩大8倍．
14．（2024 魏都区校级开学）一个正方体，不论怎么放，它所占的空间都一样。
15．（2024春 信阳期末）体积是1立方米的长方体木箱，它的占地面积一定是1平方米。
16．（2023秋 岱岳区期末）如果两个正方体的表面积相等，那么这两个正方体的体积也一定相等。
17．（2024春 薛城区期末）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的9倍。
四．计算题（共2小题）
18．（2023秋 江汉区期末）直接写出得数。
20+24＝ 36+16＝ 78﹣15＝ 92﹣16＝
58+16＝ 71﹣17＝ 18+62＝ 90﹣25＝
23+56＝ 34×2＝ 35+48＝ 43﹣15＝
60×7＝ 12×4＝ 400×3＝
19．（2024春 洪江市期末）计算如图图形的表面积和体积（单位：分米）
五．连线题（共1小题）
20．（2023春 郓城县期中）从不同位置观察如图的立体图形，看到的图形是什么样的？请画一画。
六．操作题（共1小题）
21．（2024秋 汝州市期中）画出从前面、右面和上面看到的图形。
七．应用题（共4小题）
22．（2024秋 洪泽区期中）“为奥运喝彩”公益活动开幕，工人们用棱长是4厘米的正方体积木在广场搭起了一面长6米、高2.4米、厚8厘米的长方体奥运科普墙。搭这面墙一共用了多少块积木？
23．（2024秋 隰县期中）曲妍用硬纸板（如图）折成一个长方体纸盒，折成的长方体纸盒的容积是多少立方厘米？至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度忽略不计）
24．（2023秋 海门区期末）“火树银花元夕夜，彩灯万盏熠霞流”描绘了元宵节的情境，元宵节也称“灯节”。
（1）小红首先用铁丝制作了一个如图的长方体灯笼框架，至少需要多少厘米长的铁丝？
（2）制作好框架后，小红在四周围上黄绸布。你知道小红用了多少平方分米的黄绸布吗？
25．（2024秋 铜山区期中）2024年9月30日是全国第十一个烈士纪念日，习主席等党和国家领导人在天安门广场向人民英雄敬献花篮以示致敬。天安门广场的人民英雄纪念碑的碑心是一整块长14.7米、宽2.9米、厚1米的长方体花岗岩。它的体积是多少立方米？
（拔高作业）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业总复习
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 C C D A C
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 睢宁县期中）一个长方体纸箱，从里面量得长15分米，宽6分米，高10分米。如果要在纸箱里放棱长是3分米的正方体包装盒，最多能放（ ）个包装盒。
A．10 B．40 C．30 D．33
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意，首先根据“包含”除法的意义，用除法分别求出长方体纸箱的长、宽、高里面各包含多少个3分米，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式解答。
【解答】解：15÷3＝5（个）
6÷3＝2（个）
10÷3＝3（个）......1（分米）
5×2×3
＝10×3
＝30（个）
答：最多能放30个包装盒。
故选：C。
【点评】此题是易错题，不能用长方体纸箱的容积除以正方体包装盒的体积，必须先用除法分别求出长方体纸箱的长、宽、高里面各包含多少个3分米，进而求出最多能放的个数。
2．（2023秋 平阳县期末）关于正方形、长方形、平行四边形和梯形，下面说法中错误的是（ ）
A．正方形是特殊的长方形。
B．长方形是特殊的平行四边形。
C．平行四边形是特殊的梯形。
【考点】长方形的特征及性质；正方形的特征及性质；平行四边形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】C
【分析】长方形和正方形都有四条边，四个角都是直角，正方形四条边相等；平行四边形的对边平行，梯形只有一组对边平行，据此解答。
【解答】解：A.正方形是特殊的长方形，说法正确；
B.长方形是特殊的平行四边形，说法正确；
C.平行四边形对边平行，梯形只有一组对边平行，原题说法错误。
故选：C。
【点评】本题考查了长方形、正方形、平行四边形及梯形的特征。
3．（2024 孟津区）魔方又叫鲁比克方块，是一款风靡全球的益智玩具。小军是魔方爱好者，他有一款三阶魔方，即3×3×3。可是一次玩耍中，不小心掉了一个小正方体，魔方的表面积会（ ）
A．变大 B．变小
C．不变 D．答案不唯一
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】D
【分析】掉了一个小正方体后，由于掉的小正方体原来的位置不同，魔方的表面积会有不同的变化，需要分类讨论。讨论时，先分析增加的部分，再分析减少的部分，最后对比出魔方的表面积是增还是减。
【解答】解：根据题意可以分三种情况：
第一种情况：如果掉的小正方体是魔方的8个顶点中的一处，会减少三个小正方形的面积，同时会增加三个小正方形的面积，那么魔方的表面积不变；
第二种情况：掉的小正方体是魔方每条棱上非顶点位置的一处，会减少2个小正方形的面积，但同时会增加4个小正方形的面积，那么魔方的表面积变大；
第三种情况：掉的小正方体在魔方每个面的中心位置，会减少1个小正方形的面积，但同时会增加5个小正方形的面积，那么魔方的表面积变大。
综上可知，魔方的表面积可能变大也可能不变，那么答案不唯一。
故选：D。
【点评】本题考查的是正方体表面积知识的运用。
4．（2024秋 洪泽区期中）将五本书用如图两种方式叠放起来，下面描述正确的是（ ）
A．甲和乙体积相等，表面积不相等
B．甲和乙体积相等，表面积也相等
C．甲和乙体积不相等，表面积相等
【考点】长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
【专题】空间观念．
【答案】A
【分析】根据体积、表面积的意义，因为一本书的体积是一定的，所以这样的5本书无论怎么放置体积不变。把这5本书写放时表面积发生了变化。据此解答。
【解答】解：由分析得：将五本书用如图两种方式叠放起来，下面描述正确的是甲和乙的体积相等，表面积不相等。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握体积、表面积的意义及应用。
5．（2024春 昌黎县期末）一种牛奶的外包装是长方体，量得外包装盒的尺寸如图（单位：厘米）。根据图中数据判断，牛奶的实际含量可能是（ ）毫升。
A．520 B．540 C．500 D．600
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】根据体积、容积的意义，牛奶包装盒的体积一定大于它的容积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出这个牛奶盒的体积，然后与下面的选项进行比较即可。
【解答】解：8×5×13
＝40×13
＝520（立方厘米）
520立方厘米＝520毫升
520＝520
540＞520
500＜520
600＞520
因为牛奶的实际含量小于包装盒的体积，所以牛奶的实际含量可能是500毫升。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握体积、容积的意义及应用，长方体的体积（容积）公式及应用，关键是明确：同一个长方体容器，体积比容积大。
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 睢宁县期中）如图在棱长为12厘米的正方体上挖去三个棱长为2厘米的小正方体和长12厘米，宽和高都是2厘米的小长方体，如下图所示，这个几何体的表面积是 872 平方厘米。
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】608。
【分析】根据题意可知，上面左右两个顶点挖去的两个正方体，表面积的大小不变；中间挖去一个小正方体，表面积增加了4个边长为2厘米的正方形的面，下面挖去一个长方体，表面积减少了2个边长为2厘米的正方形的面积，总共增加2个小正方形的面。
【解答】解：12×12×6+2×2×（4﹣2）
＝144×6+4×2
＝864+8
＝872（平方厘米）
答：这个几何体的表面积是872平方厘米。
故答案为：872。
【点评】解答此题要运用正方形的面积公式。
7．（2023秋 上城区期末）用这些小棒可以搭 5 种不同的长方形（包含正方形）。
【考点】长方形的特征及性质；正方形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】5。
【分析】长方形的对边相等，正方形的四条边都相等，据此可以搭出5种长方形（包含正方形）。
【解答】解：①用8厘米的4根可以搭成正方形、②用4厘米的4根可以搭成正方形、③用8厘米2根和4厘米2根可以搭成长方形、④用8厘米2根和6厘米2根可以搭成长方形、⑤用6厘米2根和4厘米2根可以搭成长方形共5种。
故答案为：5。
【点评】本题考查了长方形和正方形的特征。
8．（2024秋 洪泽区期中）一块长方体木材，长50厘米，宽20厘米，厚5厘米，若据成最大的正方体木块（要求不能割补，不能浪费），可以锯成 40 块，每块体积是 125 立方厘米。
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】40；125。
【分析】根据长方体切割正方体的方法可知：要使木块的体积最大，木料又不能有剩余，那么正方体木块的棱长应该是50、20和5的最大公因数，求出它们的最大公约数是5，然后根据锯出的总块数等于长宽高上锯成的块数的连乘积．由此即可解答。
【解答】解：因为50、20和5的最大公约数是5，要使木块的体积最大，木料又不能有剩余，所以正方体木块的棱长应该是5厘米。
（50÷5）×（20÷5）×（5÷5）
＝10×4×1
＝40（块）
每一块的体积是：5×5×5＝125（立方厘米）。
答：可以锯成40块，每一块的体积是125立方厘米。
故答案为：40；125。
【点评】解答此题的关键是：明确小正方体的棱长是原长方体的长宽高的长度的最大公约数以及锯出的总块数等于长宽高上锯成的块数的连乘积。
9．（2024秋 睢宁县期中）把1.6米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.8平方分米，原来这根木料的体积是 11.2 立方分米。
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】应用意识．
【答案】11.2。
【分析】通过观察图形可知，把这个长方体木料横截成3段后，表面积增加4个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【解答】解：1.6米＝16分米
2.8÷4×16
＝0.7×16
＝11.2（立方分米）
答：原来这根木料的体积是11.2立方分米。
故答案为：11.2。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．（2024秋 洪泽区期中）皮皮家有两块长6分米、宽4分米的玻璃和两块长5分米、宽4分米的玻璃，他爸爸想做一个无盖玻璃鱼缸，还要配一块长 6 分米、宽 5 分米的玻璃，做成的鱼缸的容积是 120 升。（玻璃的厚度忽略不计）
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】立体图形的认识与计算；几何直观．
【答案】6，5，120。
【分析】（1）一个完整的长方体有6个面，相对的两个面完全一样；根据此特征，可把两块长6分米、宽4分米的玻璃当这个鱼缸的前后两个面；把两块长5分米、宽4分米的玻璃当这个鱼缸的左右两个侧面；据此还要配一块长6分米、宽5分米的玻璃做这个鱼缸的下底面；所以做成的这个鱼缸的长为6分米，宽为5分米，高为4分米；
（2）长方体的容积的计算方法和体积的计算方法一样，就用长乘宽再乘高即可。
【解答】解：（1）根据长方体的特征，可知做的这个玻璃鱼缸的长为6分米，宽为5分米，高为4分米，所以要配一块长6分米宽5分米的玻璃；
（2）做成的鱼缸的容积：
6×5×4＝120（立方分米）
120立方分米＝120升
答：还要配一块长6分米宽5分米的玻璃．做成的鱼缸的容积是120升。
故答案为：6，5，120。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体容积的计算方法。
三．判断题（共7小题）
11．（2023秋 老城区期末）两组对边相等的四边形一定是长方形． × ．
【考点】长方形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】×
【分析】根据平行四边形的性质：两组对边平行且相等；可以得出：两组对边相等的四边形一定是平行四边形，但不一定是长方形，因为长方形的四个角都是直角；进而判断即可．
【解答】解：两组对边相等的四边形一定是长方形，说法错误，
因为两组对边相等的四边形一定是平行四边形，但不一定是长方形，因为长方形的四个角都是直角．
故答案为：×
【点评】此题考查了长方形的辨析，应注意基础知识的积累．
12．（2024秋 上思县月考）长方体和正方体的体积，都等于它的底面积乘以高． √
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据长方体和正方体的体积公式，长方体的长×宽＝长方体的底面积；正方体的棱长×棱长＝正方体的底面积；由此解答．
【解答】解：长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝底面积×高；
因此正方体和长方体的体积都可以用底面积乘以高来进行计算，原题说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】此题主要考查长方体和正方体的统一的体积计算公式，V＝Sh．
13．（2024秋 盐都区期中）正方体的棱长扩大2倍，棱长和扩大4倍，体积扩大8倍． ×
【考点】长方体和正方体的体积．
【答案】×
【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，据此判断．
【解答】解：正方体的棱长扩大2倍，棱长总和就扩大2倍，正方体的体积扩大2×2×2＝8倍．
因此，正方体的棱长扩大2倍，棱长和扩大4倍，体积扩大8倍．这种说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用，以及因数与积的变化规律的应用．
14．（2024 魏都区校级开学）一个正方体，不论怎么放，它所占的空间都一样。 √
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】运算能力．
【答案】√
【分析】不论怎么放，正方体的大小没有改变。
【解答】解：一个正方体，不论怎么放，它所占的空间都一样。
题干说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解正方体的体积的意义。
15．（2024春 信阳期末）体积是1立方米的长方体木箱，它的占地面积一定是1平方米。 ×
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】运算能力．
【答案】×
【分析】由“体积是1立方米的长方体木箱”可知，这个木箱的每个面的面积就不一定是1平方米，所以它的占地面积就不一定是1平方米。
【解答】解：长方体木箱的体积是1立方米，则每个面的面积就不一定是1平方米，
所以它的占地面积不一定是1平方米。所以题干说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是先求出长方体每个面的面积，从而可以知道它的占地面积。
16．（2023秋 岱岳区期末）如果两个正方体的表面积相等，那么这两个正方体的体积也一定相等。 √
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积．
【专题】空间观念；应用意识．
【答案】√
【分析】因为正方体的表面积、体积的大小是由正方体的棱长决定的，如果两个正方体的表面积相等，也就是两个正方体的棱长相等，那么这两个正方体的体积也一定相等。据此解答即可。
【解答】解：如果两个正方体的表面积相等，也就是两个正方体的棱长相等，那么这两个正方体的体积也一定相等。
因此，题干中的结论是正确的。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的表面积、体积的意义及应用。
17．（2024春 薛城区期末）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的9倍。 ×
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】空间观念；推理能力．
【答案】×
【分析】设正方体的棱长为1，利用赋值法解答。
【解答】解：设正方体的棱长为1，棱长扩大到原来的3倍后得到的正方体的棱长为3，则：
原正方体的体积：1×1×1＝1
扩大到原来的3倍后的长方体的体积：3×3×27
27÷1＝27
体积扩大到原来的27倍。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了正方体体积的计算，需熟记公式，解答此类问题用赋值法比较简便。
四．计算题（共2小题）
18．（2023秋 江汉区期末）直接写出得数。
20+24＝ 36+16＝ 78﹣15＝ 92﹣16＝
58+16＝ 71﹣17＝ 18+62＝ 90﹣25＝
23+56＝ 34×2＝ 35+48＝ 43﹣15＝
60×7＝ 12×4＝ 400×3＝
【考点】同分母分数加减法；100以内不进位加法；100以内进位加法；100以内退位减法．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】44；52；63；76；74；54；80；65；79；68；83；28；420；48；1200；1；；；；。
【分析】根据整数和分数加减法的计算法则计算即可。
【解答】解：
20+24＝44 36+16＝52 78﹣15＝63 92﹣16＝76
58+16＝74 71﹣17＝54 18+62＝80 90﹣25＝65
23+56＝79 34×2＝68 35+48＝83 43﹣15＝28
60×7＝420 12×4＝48 400×3＝1200 1
【点评】解答此题要运用整数和分数加减法的计算法则。
19．（2024春 洪江市期末）计算如图图形的表面积和体积（单位：分米）
【考点】长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；应用意识．
【答案】150平方分米；99立方分米。
【分析】表面积等于长方体的表面积加正方体4个面的面积，体积等于长方体的体积加正方体的体积，据此代入数据计算即可求出它的表面积和体积。
【解答】解：8×3×4+3×3×2+3×3×4
＝96+18+36
＝150（平方分米）
8×3×3+3×3×3
＝72+27
＝99（立方分米）
答：它的表面积是150平方分米，体积是99立方分米。
【点评】此题考查长方体、正方体表面积和体积计算。掌握计算公式是解答的关键。长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。
五．连线题（共1小题）
20．（2023春 郓城县期中）从不同位置观察如图的立体图形，看到的图形是什么样的？请画一画。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念．
【答案】
【分析】根据观察物体的方法，从前面看，看到的是2层，下层有3个小正方形，上层有1个小正方形靠左对齐；
从上面看，看到的是3层，最下层有3个小正方形，上面两层各1个小正方形靠右对齐；
从左面看，看到的是两层，下层有3个小正方形，上层有1个小正方形靠右对齐；据此即可画出图形。
【解答】解：如图：
【点评】此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力。
六．操作题（共1小题）
21．（2024秋 汝州市期中）画出从前面、右面和上面看到的图形。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念．
【答案】
【分析】根据观察物体的方法，图中几何体从前面看可以看到3层共5小正方形，第一层和第二层都是2个小正方形对齐，第三层1个小正方形与前两层的左侧小正方形对齐；从右面看可以看到3层共3个小正方形，每层1个小正方形对齐；从上面看可以看到1层共2个小正方形；据此画出三视图即可。
【解答】解：如图：
【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。
七．应用题（共4小题）
22．（2024秋 洪泽区期中）“为奥运喝彩”公益活动开幕，工人们用棱长是4厘米的正方体积木在广场搭起了一面长6米、高2.4米、厚8厘米的长方体奥运科普墙。搭这面墙一共用了多少块积木？
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】应用意识．
【答案】18000块。
【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，求出每块积木的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出这面墙的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。
【解答】解：6米＝600厘米
2.4米＝240厘米
600×240×8÷（4×4×4）
＝144000×8÷（16×4）
＝1152000÷64
＝18000（块）
答：搭这面墙一共用了18000块积木。
【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，“包含”除法的意义及应用，关键是熟记公式。
23．（2024秋 隰县期中）曲妍用硬纸板（如图）折成一个长方体纸盒，折成的长方体纸盒的容积是多少立方厘米？至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度忽略不计）
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】应用题；运算能力．
【答案】288立方厘米，312平方厘米。
【分析】根据题图可知，该长方体的长为12cm，宽为8cm，高为（15﹣12）cm，根据“长方体体积＝长×宽×高”代入数据计算容积即可；再根据“长方体表面积＝六个面的面积之和”计算需要的硬纸板即可。
【解答】解：15﹣12 ＝3（厘米）
12×8×3＝96×3＝288（立方厘米）
12×8×2+12×3×2+8×3×2
＝96×2+36×2+24×2
＝192+72+48
＝264+48
＝312（平方厘米）
答：折成的长方体纸盒的容积是288立方厘米，至少需要312平方厘米的硬纸板。
【点评】本题考查了长方体的体积和表面积计算。
24．（2023秋 海门区期末）“火树银花元夕夜，彩灯万盏熠霞流”描绘了元宵节的情境，元宵节也称“灯节”。
（1）小红首先用铁丝制作了一个如图的长方体灯笼框架，至少需要多少厘米长的铁丝？
（2）制作好框架后，小红在四周围上黄绸布。你知道小红用了多少平方分米的黄绸布吗？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用；长方体的特征．
【专题】应用意识．
【答案】（1）280厘米；
（2）24平方分米。
【分析】（1）本题考查长方体棱长总和的计算。要求制作长方体灯笼框架至少需要多长的铁丝，实际就是求长方体的棱长总和，长方体棱长总和等于长、宽、高之和的4倍。长方体的棱长总和（长+宽+高）×4。
（2）本题考查长方体侧面积的计算。在四周围上黄绸布，所用黄绸布的面积就是长方体四个侧面的面积之和，也就是前后左右四个面的面积之和。长方体四个侧面的面积之和＝（长×高+宽×高）×2。
【解答】解：（1）（20+20+30）×4
＝（40+30）×4
＝70×4
＝280（厘米）
答：至少需要280厘米长的铁丝。
（2）（20×30+20×30）×2
＝（600+600）×2
＝1200×2
＝2400（平方厘米）
因为1平方分米＝1000平方厘米，所以2400平方厘米＝24平方分米。
答：小红用了24平方分米的黄绸布。
【点评】这两道小题围绕长方体的相关知识展开，第一小题考查基础知识棱长总和的计算，第二小题考查长方体侧面积的计算应用，贴合生活中制作灯笼的实际情境，有助于学生将所学的几何知识与实际生活联系起来，加深对长方体特征及相关面积、长度计算的理解，提高运用知识解决实际问题的能力。
25．（2024秋 铜山区期中）2024年9月30日是全国第十一个烈士纪念日，习主席等党和国家领导人在天安门广场向人民英雄敬献花篮以示致敬。天安门广场的人民英雄纪念碑的碑心是一整块长14.7米、宽2.9米、厚1米的长方体花岗岩。它的体积是多少立方米？
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算；应用意识．
【答案】42.63立方米。
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，即可解答。
【解答】解：14.7×2.9×1＝42.63（立方米）
答：它的体积是42.63立方米。
【点评】本题考查的是长方体体积的计算，熟记公式是解答关键。
考点卡片
1．100以内不进位加法
【知识点归纳】
两位数加一位数的不进位加法：
口算；
摆小棒计算；
（3）竖式运算：一位数与两位数的个位对齐，个位上的两个数相加，结果写在个位上，再把十位上的数落下来。
【方法总结】
1、两位数加一位数（不进位）的笔算方法：先把相同数位对齐，再从个位加起，个位上相加的和写在个位上，十位上的数直接写在十位上。
2、两位数加两位数（不进位）的笔算方法：先把相同数位对齐，再从个位加起，哪一位上相加的和就写那一位上。
3、两位数加两位数（进位）的笔算方法：先把相同数位对齐，再从个位加起，个位相加满十，向十位进1。
【常考题型】
口算。
18+56＝ 27+70＝ 53+34＝ 23+10＝
20+26＝ 45+43＝ 21+35＝ 24+49＝
答案：74；97；87；33；46；88；56；73
2．100以内进位加法
【知识点归纳】
1、两位数加一位数（不进位）的笔算方法：先把相同数位对齐，再从个位加起，个位上相加的和写在个位上，十位上的数直接写在十位上。
2、两位数加两位数（不进位）的笔算方法：先把相同数位对齐，再从个位加起，哪一位上相加的和就写那一位上。
3、两位数加两位数（进位）的笔算方法：先把相同数位对齐，再从个位加起，个位相加满十，向十位进1。
【方法总结】
常见注意事项汇总：
①个位相加满十后要向前一位进1；
②相同数位要对齐；
③个位相加得十，进1后个位没有写0占位。
【常考题型】
1、计算。
答案：63；73；61；93
小猴摘桃子，摘下29个后，还剩42个，树上原来有多少个桃子？
答案：29+42＝71（个）
3．100以内退位减法
【知识点归纳】
两位数减两位数退位减的法则：
①相同数位对齐；
②从个位减起；
③个位不够减，从十位退1，在个位上加10再减。
【方法总结】
笔算两位数减两位数时，相同数位要对齐，从个位开始减，个位不够减的时候从十位上退1，这个1相当于10，把个位加上10再减，十位计算时要记得先减去退走的1再计算。
【常考题型】
在比赛中，甲队获得了56分，乙队获得了38分，甲队比乙队多得了多少分？
答案：56﹣38＝18（分）
白球有35个，红球有26个，白球比红球多多少个？
答案：35﹣26＝9（个）
4．同分母分数加减法
【知识点归纳】
同分母分数加减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减。
计算的结果，能约分的要约成最简分数。
【方法总结】
怎么计算？
方法一：利用画图计算。
在此之前学习简单的分数加法时，我们都是用画图的形式来推导计算结果的。因此，可以用画图的形式表示。
方法二：根据分数意义计算。
根据分数的意义和分数单位的含义可知，的分数单位是，它表示1个。的分数单位也是，它表示3个。，就是把1个和3个合起来，就是4个，约分后是。因此，。与前面画图和化成小数计算结果一致。
【常考题型】
比多的数是（ ）。
答案：
一根绳子长米，用去米，还剩（ ）米。
答案：
5．长方形的特征及性质
【知识点归纳】
长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等．
长方形的性质：
1．长方形的4个内角都是直角；
2．长方形对边相等；
3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点．
4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质
长方形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形
②定理1：有三个角是直角的四边形是长方形
矩形的面积：S矩形＝长×宽＝ab．
黄金长方形：
宽与长的比是（√5﹣1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金长方形．
黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等．
【命题方向】
常考题型：
例：如图中甲的周长与乙的周长相比（ ）
A、甲长 B、乙长 C、同样长
分析：因为甲的周长＝长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，根据长方形的特征：对边相等；进行解答继而得出结论．
解：甲的周长＝长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，
因为长方形对边相等，所以甲的周长等于乙的周长；
故选：C．
点评：解答此题应根据长方形的特征，并结合周长的计算方法进行解答．
6．正方形的特征及性质
【知识点归纳】
1．概念：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．性质：
（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
（2）内角：四个角都是90°；
（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）．
（5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．
（6）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
（7）正方形是特殊的长方形．
【命题方向】
常考题型：
例：四个角都是直角的四边形一定是正方形． × ．
分析：根据正方形的特征及性质可知：具有四条边都相等且四个角都是直角的四边形为正方形，据此判断即可．
解：因为四边相等，四个角都是直角的四边形是正方形，
所以题干的说法不全面，四个角都是直角的四边形还可能是长方形，
因此题干的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查正方形的特征及性质．
7．平行四边形的特征及性质
【知识点归纳】
平行四边形的概念：
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形用符号“ ABCD”，如平行四边形ABCD记作“ ABCD”．
（1）平行四边形属于平面图形．
（2）平行四边形属于四边形．
（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．
（4）平行四边形属于中心对称图形．
2．平行四边形的性质：
主要性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．
（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）
（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．
（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：两组对边分别平行没有直角的图形是（ ）
A、长方形 B、平行四边形 C、梯形
分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
如果两组对边分别平行、有4个直角的四边形是长方形或正方形；
据此判断即可．
解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．
故选：B．
点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．
例2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（ ）
A、周长不变，面积变大 B、周长不变，面积也不变
C、周长变小，面积变小 D、周长不变，面积变小
分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；
长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
故选：D．
点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．
8．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【命题方向】
常考题型：
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）
A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面
分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答．
解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．
故选：C．
点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．
例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（ ）cm的长方体框架．
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．
解：52÷4﹣（6+4），
＝13﹣10，
＝3（厘米）；
答：高为3厘米的长方体的框架．
故选：B．
点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．
9．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．
【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．
分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：
点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
10．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
11．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
12．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体 8 个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．
例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成．（学困生篇）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业总复习
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋 江夏区期末）四个角都是直角，四条边都相等的图形是（ ）
A．长方形 B．正方形
C．平行四边形
2．（2023秋 正定县期末）下面的图形，（ ）是长方体。
A． B． C．
3．（2023秋 永泰县期末）把一根铁丝折弯，下面的“ ”表示拐点，能围成长方形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024春 庆云县期末）（ ）图形的四条边都相等，四个角都是直角。
A．长方形 B．平行四边形
C．正方形
5．（2022春 盘龙区期末）如图的复式折线统计图不可能表示（ ）
A．甲、乙两地2021年月平均气温统计图
B．某超市两种品牌服装2021年月销售情况统计图
C．两名同学2021年各月身高变化统计图
D．小华2021年各月收入和支出情况统计图
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 东昌府区期中）长方形的邻边相互 ，对边相互 ．
7．（2024 林州市）一个棱长为4厘米的正方体，它的棱长总和是 厘米，表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米．
8．（2024春 东莞市期末）如图哪组小棒能围成长方形？在下面的括号里画“√”。
； ； 。
9．（2024 赤坎区）一个长5分米，宽和高都是3分米的长方体鱼缸（无盖），这个鱼缸的容积是 L。（忽略鱼缸厚度）
10．（2024春 涟源市期末）把一个棱长为8厘米的正方体铁块，锻造成一个横截面是16平方厘米的长方体，这个长方体铁块长 厘米．
三．判断题（共7小题）
11．（2023秋 涧西区期末）长方形的四条边一定相等。
12．（2024春 法库县期末）长方形和正方形的四个角都是直角． ．
13．（2024春 兴文县期末）语文书封面的形状是正方形。
14．（2024春 沈丘县期末）把长方形纸片剪去一个最大的正方形后，剩下的纸片四个角都是直角。
15．（2023秋 开平区期末）正方形和长方形都有四个角，而且都是直角。
16．（2024春 射阳县期末）用5根同样长的小棒能摆出一个三角形，也能摆出一个正方形。
17．（2024春 武江区校级期中）长方形有四条边，对边相等，是特殊的平行四边形。
四．计算题（共2小题）
18．（2024春 江宁区期末）直接写得数。
3.14×22＝
60÷180＝
19．（2023春 丹阳市校级期末）直接写出得数。
12÷26＝
0.22＝
五．操作题（共2小题）
20．（2024春 即墨区期末）在如图的方格纸上画出1个长方形和1个正方形。
21．（2023春 瑞金市期中）在方格纸上画出从正面、左面和上面看到的图形。
六．应用题（共4小题）
22．（2024春 桑植县期中）学校操场挖了一个长6米，宽2.5米，深0.6米的沙坑。
（1）这个沙坑占地面积是多少平方米？
（2）用8.5立方米的黄沙，能不能把这个沙坑填满？
23．（2024春 北票市期中）学校餐厅长10m，宽8m，高5m。除去门窗面积18.4m2，餐厅的墙壁和房顶都贴上壁纸。平均每平方米壁纸的价钱为5元，购买壁纸至少需要多少元？
24．（2024春 平桥区期中）一个长方体饮料盒，长8cm、宽6cm、高1.5dm。
（1）如果围着它的侧面贴满一圈商标纸（上、下面不贴），至少需要多少平方厘米的商标纸？
（2）这个饮料盒最多能装饮料多少毫升？（饮料盒厚度忽略不计）
25．（2023秋 尧都区期中）如图，从长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？
（学困生篇）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业总复习
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 B B C C C
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋 江夏区期末）四个角都是直角，四条边都相等的图形是（ ）
A．长方形 B．正方形
C．平行四边形
【考点】正方形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】B
【分析】根据正方形的特征可知：具有四条边都相等且四个角都是直角的四边形为正方形．
【解答】解：四个角都是直角，四条边都相等的图形是正方形；
故选：B．
【点评】此题根据正方形的特征进行解答．
2．（2023秋 正定县期末）下面的图形，（ ）是长方体。
A． B． C．
【考点】长方形的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】B
【分析】长方体：有8个顶点，6个面，每个面都由长方形或相对的一组正方形组成，据此解答。
【解答】解：上面的图形，是长方体。
故选：B。
【点评】本题考查了长方体的特征及认识。
3．（2023秋 永泰县期末）把一根铁丝折弯，下面的“ ”表示拐点，能围成长方形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】长方形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】长方形有四条边，且对边相等，据此选择。
【解答】解：这条铁丝能围成长方形。
故选：C。
【点评】本题考查了长方形边的特征。
4．（2024春 庆云县期末）（ ）图形的四条边都相等，四个角都是直角。
A．长方形 B．平行四边形
C．正方形
【考点】长方形的特征及性质．
【专题】常规题型；几何直观．
【答案】C
【分析】根据正方形的定义，四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫正方形，解答此题即可。
【解答】解：正方形图形的四条边都相等，四个角都是直角。
故选：C。
【点评】熟练掌握正方形的定义，是解答此题的关键。
5．（2022春 盘龙区期末）如图的复式折线统计图不可能表示（ ）
A．甲、乙两地2021年月平均气温统计图
B．某超市两种品牌服装2021年月销售情况统计图
C．两名同学2021年各月身高变化统计图
D．小华2021年各月收入和支出情况统计图
【考点】复式折线统计图．
【专题】数据分析观念．
【答案】C
【分析】平均气温，销售情况，月收入和支出都可以上升或下降，但是身高只能上升，不能下降，据此解答即可。
【解答】解：如图的复式折线统计图不可能表示两名同学2021年各月身高变化统计图。
故选：C。
【点评】本题主要考查了复式折线统计图，要熟练掌握。
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 东昌府区期中）长方形的邻边相互 垂直 ，对边相互 平行 ．
【考点】长方形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题利用长方形的特征：对边平行且相等，它的四个角都相等，都是直角；直接填空．
【解答】解：由长方形的特征可知：长方形的邻边相互垂直，对边相互平行
故答案为：垂直，平行．
【点评】本题是考查了长方形的基本特征，记住所学的图形特征．
7．（2024 林州市）一个棱长为4厘米的正方体，它的棱长总和是 48 厘米，表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米．
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积；正方体的特征．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据分别代入公式解答．
【解答】解：4×12＝48（厘米），
4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
答：天的棱长总和是48厘米、表面积是96平方厘米、体积是64立方厘米．
故答案为：48、96、64．
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
8．（2024春 东莞市期末）如图哪组小棒能围成长方形？在下面的括号里画“√”。
× ； × ； √ 。
【考点】长方形的特征及性质．
【专题】空间与图形．
【答案】×；×；√。
【分析】根据长方形的两组对边分别相等，解答此题即可。
【解答】解：
×； ×； √。
故答案为：×；×；√。
【点评】熟练掌握长方形的性质，是解答此题的关键。
9．（2024 赤坎区）一个长5分米，宽和高都是3分米的长方体鱼缸（无盖），这个鱼缸的容积是 45 L。（忽略鱼缸厚度）
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】45。
【分析】长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【解答】解：5×3×3
＝15×3
＝45（立方分米）
45立方分米＝45升
答：这个鱼缸的容积是45升。
故答案为：45。
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．（2024春 涟源市期末）把一个棱长为8厘米的正方体铁块，锻造成一个横截面是16平方厘米的长方体，这个长方体铁块长 32 厘米．
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知，把正方体铁块锻造成长方体后体积不变，根据正方体的体积公式：V＝a3，求出铁块的体积，根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式解答．
【解答】解：8×8×8÷16
＝512÷16
＝32（厘米）
答：这个长方体铁块长是32厘米．
故答案为：32．
【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
三．判断题（共7小题）
11．（2023秋 涧西区期末）长方形的四条边一定相等。 ×
【考点】长方形的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】×。
【分析】长方形的性质：有四条边，对边平行且相等；利用性质解决问题。
【解答】解：长方形的对边平行且相等，正方形的四条边都相等，原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查正方形和长方形的特征及性质，应灵活掌握。
12．（2024春 法库县期末）长方形和正方形的四个角都是直角． √ ．
【考点】长方形的特征及性质；正方形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】√
【分析】长方形和正方形的特征是：都有四条边，相对的两条边相等（正方形四条边都相等），有四个角，四个角都是直角．
【解答】解：长方形和正方形的四个角都是直角，说法正确；
故答案为：√．
【点评】此题考查了长方形和正方形的特征．
13．（2024春 兴文县期末）语文书封面的形状是正方形。 ×
【考点】正方形的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】×
【分析】此题利用正方形的特征直接判断即可。
【解答】解：语文书封面的形状是长方形，不是正方形，因为四条边不相等，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查正方形的性质：四个角都是直角，四条边都相等。
14．（2024春 沈丘县期末）把长方形纸片剪去一个最大的正方形后，剩下的纸片四个角都是直角。 √
【考点】正方形的特征及性质；角的概念和表示．
【专题】几何直观．
【答案】√
【分析】根据长方形的特征：对边相等，四个角都是直角；由此解答即可。
【解答】解：如图：把长方形纸片剪去一个最大的正方形后，剩下的纸片四个角都是直角，说法正确。
故答案为：√。
【点评】灵活掌握长方形的特征，是解答此题的关键。
15．（2023秋 开平区期末）正方形和长方形都有四个角，而且都是直角。 √
【考点】长方形的特征及性质；正方形的特征及性质．
【专题】几何直观；应用意识．
【答案】√
【分析】根据长方形、正方形的特征，长方形的对边平行且相等，4个角都是直角，正方形的4条边都相等，4个角都是直角。据此判断。
【解答】解：因为长方形和正方形都有4个角，而且都是直角。
所以，题干中的说法是正确的。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方形、正方形的特征及应用。
16．（2024春 射阳县期末）用5根同样长的小棒能摆出一个三角形，也能摆出一个正方形。 ×
【考点】正方形的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】×
【分析】根据三角形、正方形的特征：三角形是由三条边首尾相连围成的图像；正方形4条边相等，4个角都是直角；由此解答即可。
【解答】解：因为正方形的四边相等，三角形有三条边，所以用5根同样长的小棒能摆出三角形正方形，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】熟练掌握三角形、正方形的特征，是解答此题的关键。
17．（2024春 武江区校级期中）长方形有四条边，对边相等，是特殊的平行四边形。 √
【考点】长方形的特征及性质；平行四边形的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】√
【分析】长方形的特征：4个角都是直角，对边平行且相等；平行四边形的特征：对边平行且相等；由此进而解答即可。
【解答】解：根据平行四边形和长方形的特征可知：长方形有四条边，对边相等，是特殊的平行四边形，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】解答此题用到的知识点：长方形、平行四边形的特征。
四．计算题（共2小题）
18．（2024春 江宁区期末）直接写得数。
3.14×22＝
60÷180＝
【考点】异分母分数加减法；分数的加减混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】；；12.56；；；；；。
【分析】根据小数乘除法、分数加减法的计算方法计算即可。
【解答】解：
3.14×22＝12.56
60÷180
【点评】本题考查口算，注意计算的准确性。
19．（2023春 丹阳市校级期末）直接写出得数。
12÷26＝
0.22＝
【考点】异分母分数加减法．
【专题】计算题；分数和百分数；运算能力．
【答案】；；；；；；；0.04；；。
【分析】根据平方和分数加减除法运算的计算法则计算即可求解。
【解答】解：
12÷26
0.22＝0.04
【点评】本题考查了平方和分数加减除法运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
五．操作题（共2小题）
20．（2024春 即墨区期末）在如图的方格纸上画出1个长方形和1个正方形。
【考点】长方形的特征及性质；正方形的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】（答案不唯一）。
【分析】长方形的特征：长方形对边相等，四个角都是直角；正方形的特征：正方形四条边都相等，四个角都是直角；依此画出即可。
【解答】解：（答案不唯一）。
【点评】灵活掌握长方形和正方形的特征，是解答此题的关键。
21．（2023春 瑞金市期中）在方格纸上画出从正面、左面和上面看到的图形。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念；几何直观．
【答案】
【分析】分别从正面、上面、左面观察所给几何体，根据看到的形状作图。
【解答】解：
【点评】此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力。
六．应用题（共4小题）
22．（2024春 桑植县期中）学校操场挖了一个长6米，宽2.5米，深0.6米的沙坑。
（1）这个沙坑占地面积是多少平方米？
（2）用8.5立方米的黄沙，能不能把这个沙坑填满？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】应用意识．
【答案】（1）15平方米。
（2）不能。
【分析】（1）这个沙坑的占地面积等于这个长方体的底面积，即用长方形面积公式S＝长×宽，将数据代入，即可得出答案。
（2）首先求出长方体沙坑的容积，再与8.5立方米进行比较即可。
【解答】解：（1）6×2.5＝15（平方米）
答：这个沙坑占地面积是15平方米。
（2）6×2.5×0.6
＝15×0.6
＝9（立方米）
9立方米＞8.5立方米，所以不能把这个沙坑填满。
答：不能。
【点评】此题是利用长方体表面积和体积的知识解决实际问题，要注意占地面积是指长方体的底面积。
23．（2024春 北票市期中）学校餐厅长10m，宽8m，高5m。除去门窗面积18.4m2，餐厅的墙壁和房顶都贴上壁纸。平均每平方米壁纸的价钱为5元，购买壁纸至少需要多少元？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】1208元。
【分析】“要在餐厅的墙壁和房顶都贴上壁纸”，就是贴壁纸的面积是5个面，求出5个面的面积，再减去门窗的面积，就是需要壁纸的面积，求出面积再乘上5，就是需要花的钱数。据此解答。
【解答】解：10×8+10×5×2+8×5×2﹣18.4
＝80+100+80﹣18.4
＝260﹣18.4
＝241.6（平方米）
5×241.6＝1208（元）
答：购买壁纸至少需要1208元。
【点评】本题的关键是求出要贴壁纸的面积，再根据乘法的意义求出需要的钱数。
24．（2024春 平桥区期中）一个长方体饮料盒，长8cm、宽6cm、高1.5dm。
（1）如果围着它的侧面贴满一圈商标纸（上、下面不贴），至少需要多少平方厘米的商标纸？
（2）这个饮料盒最多能装饮料多少毫升？（饮料盒厚度忽略不计）
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】几何直观；应用意识．
【答案】（1）420平方厘米；
（2）720毫升。
【分析】（1）围着它的侧面贴满一圈商标纸（上、下面不贴），也就是求这个长方体的侧面积，根据公式解答即可；
（2）这个饮料盒能装多少毫升饮料就是求这个长方体饮料盒的容积，根据公式计算即可。
【解答】解：1.5dm＝15cm
（1）（15×6+8×15）×2
＝（90+120）×2
＝210×2
＝420（平方厘米）
答：至少需要420平方厘米的商标纸。
（2）8×6×15
＝48×15
＝720（立方厘米）
720立方厘米＝720毫升
答：这个饮料盒最多能装饮料720毫升。
【点评】此题考查了长方体表面积和体积公式的灵活应用，注意单位换算。
25．（2023秋 尧都区期中）如图，从长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】80立方厘米。
【分析】先根据题意计算出折成的长方体的长、宽、高，即长方体的长＝原长方形的长﹣2个正方形的边长，长方体的宽＝原长方形的宽﹣2个正方形的边长，长方体的高＝正方形的边长，再根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出体积即可。
【解答】解：（12﹣2×2）×（9﹣2×2）×2
＝8×5×2
＝80（立方厘米）
答：这个容器的体积是80立方厘米。
【点评】本题考查了长方体展开图和体积公式的灵活运用。
考点卡片
1．异分母分数加减法
【知识点归纳】
异分母分数加减法：
1、先通分，转化为同分母的分数
2、然后按照同分母分数加、减法进行计算。
3、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
【方法总结】
在数学上，把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分时，我们一般选择异分母的最小公倍数作为同分母进行通分。
【常考题型】
的和是（ ）。
答案：
（ ）比少。
答案：
2．分数的加减混合运算
【知识点归纳】
分数加减混合运算
（1）分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的计算顺序相同；三个分数是异分母分数，可以分步通分也可以一次通分进行计算，但先一次通分比较简便。
（2）计算时，可以根据题目的特点和自己的情况灵活选择方法。
（3）整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。可利用运算定律可以使一些分数计算变得简便。
【方法总结】
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
【常考题型】
一个蛋糕平均分成9份，李刚吃了，张华吃了，刘红吃了，还剩（ ）。
答案：
仓库里有一批肥料，李强运走了，张华运走了，剩下的被刘松运走。（ ）运走的最多。
答案：张华
3．角的概念和表示
【知识点归纳】
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2）顶点是这两条边的交点；
（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角的表示方法：
（1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A
【命题方向】
常考题型：
1.从一点引出两条______所组成的图形叫做角，角的计量单位用_______来表示。
答案：射线，度。
2.组成角的两条边是两条（ ）
A．线段B．射线C．直线
答案：B
4．长方形的特征及性质
【知识点归纳】
长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等．
长方形的性质：
1．长方形的4个内角都是直角；
2．长方形对边相等；
3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点．
4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质
长方形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形
②定理1：有三个角是直角的四边形是长方形
矩形的面积：S矩形＝长×宽＝ab．
黄金长方形：
宽与长的比是（√5﹣1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金长方形．
黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等．
【命题方向】
常考题型：
例：如图中甲的周长与乙的周长相比（ ）
A、甲长 B、乙长 C、同样长
分析：因为甲的周长＝长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，根据长方形的特征：对边相等；进行解答继而得出结论．
解：甲的周长＝长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，
因为长方形对边相等，所以甲的周长等于乙的周长；
故选：C．
点评：解答此题应根据长方形的特征，并结合周长的计算方法进行解答．
5．正方形的特征及性质
【知识点归纳】
1．概念：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．性质：
（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
（2）内角：四个角都是90°；
（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）．
（5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．
（6）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
（7）正方形是特殊的长方形．
【命题方向】
常考题型：
例：四个角都是直角的四边形一定是正方形． × ．
分析：根据正方形的特征及性质可知：具有四条边都相等且四个角都是直角的四边形为正方形，据此判断即可．
解：因为四边相等，四个角都是直角的四边形是正方形，
所以题干的说法不全面，四个角都是直角的四边形还可能是长方形，
因此题干的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查正方形的特征及性质．
6．平行四边形的特征及性质
【知识点归纳】
平行四边形的概念：
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形用符号“ ABCD”，如平行四边形ABCD记作“ ABCD”．
（1）平行四边形属于平面图形．
（2）平行四边形属于四边形．
（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．
（4）平行四边形属于中心对称图形．
2．平行四边形的性质：
主要性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．
（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）
（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．
（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：两组对边分别平行没有直角的图形是（ ）
A、长方形 B、平行四边形 C、梯形
分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
如果两组对边分别平行、有4个直角的四边形是长方形或正方形；
据此判断即可．
解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．
故选：B．
点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．
例2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（ ）
A、周长不变，面积变大 B、周长不变，面积也不变
C、周长变小，面积变小 D、周长不变，面积变小
分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；
长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
故选：D．
点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．
7．正方体的特征
【知识点归纳】
正方体的特征：
①8个顶点．
②12条棱，每条棱长度相等．
③相邻的两条棱互相垂直．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个棱长是4分米的正方体，棱长总和是（ ）分米．
A、16 B、24 C、32 D、48
分析：一个正方体有12条棱，棱长总和为12条棱的长度和．
解：4×12＝48（分米）．
故选：D．
点评：此题考查计算正方体的棱长总和的方法，即用棱长乘12即可．
例2：至少（ ）个完全一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体．
A、4 B、8 C、9
分析：假设小正方体的棱长是1厘米，体积是1立方厘米，拼成的稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积为8立方厘米，进一步求出个数．
解：假设小正方体的棱长是1厘米，体积：1×1×1＝1（立方厘米）；
稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积：2×2×2＝8（立方厘米）；
需要小正方体的个数：8÷1＝8（个）．
故选：B．
点评：此题考查运用正方体的特征与正方体的体积来解决问题．
8．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．
【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．
分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：
点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
9．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
10．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
11．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体 8 个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．
例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成．
12．复式折线统计图
【知识点归纳】
1．定义：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后用线段把各点顺次连接起来．
折线统计图不但可以表示项目的具体数量，又能清楚地反映事物变化的情况．
2．折线图特点：易于显示数据的变化的规律和趋势．可以用来作股市的跌涨和统计气温．
3．作用：
复式折线统计图一般用于两者之间比较，主要作用还是看两者之间的工作进度和增长．
折线统计图分单式或复式．复式的折线统计图有图例，用不同颜色或形状的线条区别开来．
4．区别：
与单式折线统计图相差最大的是多了一条线，和第二个单位，但仍然能看出他的上升趋势．
【命题方向】
常考题型：
例1：哥哥和弟弟周末分别骑车去森林动物园游玩，下面的图象表示他们骑车的路程和时间的关系，请根据哥哥、弟弟行程图填空．
①哥哥骑车行驶的路程和时间成 正 比例．
②弟弟骑车每分钟行 0.3 千米．
分析：此题是行程问题中的数量关系，根据成正比例的意义可知，行驶的路程与时间成正比例关系；通过观察统计图可得出弟弟行驶的路程为30千米，时间为3：40﹣2：00＝100分钟，根据速度＝路程÷时间即可解决问题．
解：因为路程＝速度×时间，
所以哥哥骑车行驶的路程与时间成正比例，
3：40﹣2：00＝100（分钟），
30÷100＝0.3（千米）；
答：哥哥骑车行驶的路程与时间成正比例，弟弟骑车每分钟行0.3千米．
故答案为：正；0.3．
点评：此题考查了行程问题中的数量关系和成正比例的意义．（中等作业）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业总复习
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋 务川县期末）一个长方体的体积是36立方分米，底面积是12平方分米，它的高是（ ）分米．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023秋 港南区期末）长方形中每相邻的两条边是（ ）
A．互相垂直 B．互相平行 C．无法确定
3．（2024春 确山县期末）长方体的长、宽、高都扩大为原来的3倍，它的体积扩大为原来的（ ）倍。
A．3 B．9 C．27
4．（2024春 临泉县期末）将一个长方体钢坯锻造成正方体，正方体和长方体（ ）
A．表面积相等 B．体积相等
C．表面积和体积都相等
5．（2024春 顺德区期末）一盒糖果的长是18cm、宽是9cm、高是5cm，若把四盒糖果包装起来，下面几种包装方案中，最节省包装纸的是（ ）（接口处不计）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 沈丘县期末）长方形与正方形的不同点是长方形的 相等，正方形 相等．
7．（2024 沙坪坝区）在一个长24分米，宽9分米，高8分米的长方体容器内注入4分米深的水，然后放一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了 分米。
8．（2023秋 巴州区校级月考）老师要求用小棒摆一个正方形，小棒需要 根，长度 。
9．（2024 石首市）东东在长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体，如图所示，这个玻璃容器的容积是 cm3。
10．（2024 长春）一个长方体纸盒的两个面如图，这个长方体纸盒的表面积是 cm2。（单位：cm）
三．判断题（共7小题）
11．（2023秋 防城港期末）长方形相邻的两条边互相垂直。
12．（2023秋 阿荣旗期末）长方形和正方形都是特殊的平行四边形。
13．（2024春 陇西县期末）四个角都是直角的四边形叫正方形． ．
14．（2024春 商水县期末）长方形有四条边。
15．（2024春 武江区期末）把正方体的橡皮泥捏成长方体占空间大小不变，表面积要改变。
16．（2024春 商水县期末）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的体积就扩大到原来的27倍。
17．（2024春 徐州期末）大正方形的四个角都大于小正方形的四个角。
四．计算题（共2小题）
18．（2024春 东莞市期中）计算下面各立体图形的表面积和体积。
19．（2024春 金水区期末）直接写得数。
25×40＝ 84÷2＝ 150×50＝
609÷3＝ 60×70＝ 280÷7＝
五．操作题（共1小题）
20．（2024秋 鸡泽县期中）分别画出下面的立体图形从上面、正面和左面看到的形状。
六．应用题（共5小题）
21．（2024春 东港区期末）一根长1米的钢材，沿横截面截成两段后，表面积增加了4平方分米，原来这段长方体钢材的体积是多少立方分米？
22．（2024春 万载县期末）一个长方体的铁皮通风管，长是9米，横截面为边长3分米的正方形。做一对这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？
23．（2024春 信丰县期末）按下面的设计图，用铁皮焊接一个无盖的水槽。（厚度不计，单位：cm）。
（1）制作这个水槽至少需要铁皮多少平方厘米？
（2）制作好的水槽，它的容积有多大？
24．（2024 汝南县）机灵狗不小心把玻璃鱼缸的一个面打碎了，这时需要立刻把鱼缸斜放水才不会流光（如图所示），算一算，用这个坏的鱼缸最多能装多少升水？
25．（2024春 深圳期末）有一个长方体玻璃容器，长10cm，宽8cm，高12cm，向容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积是多少立方厘米？
（中等作业）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业总复习
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 B A C B B
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋 务川县期末）一个长方体的体积是36立方分米，底面积是12平方分米，它的高是（ ）分米．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】B
【分析】根据长方体的体积公式底面积乘高，那么长方体的高等于体积除以底面积，列式解答即可．
【解答】解：36÷12＝3（分米），
答：这个长方体的高是3分米．
故选：B．
【点评】此题主要考查的是长方体的体积公式的使用．
2．（2023秋 港南区期末）长方形中每相邻的两条边是（ ）
A．互相垂直 B．互相平行 C．无法确定
【考点】长方形的特征及性质．
【专题】数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据长方形的特征：长方形的对边平行且相等，4个角都是直角，邻边互相垂直；据此解答。
【解答】解：在长方形中相邻的两条边互相垂直。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方形的特征。
3．（2024春 确山县期末）长方体的长、宽、高都扩大为原来的3倍，它的体积扩大为原来的（ ）倍。
A．3 B．9 C．27
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】数据分析观念；运算能力．
【答案】C
【分析】假设原来长方体的长、宽、高分别为a、b、h，长方体的长、宽、高都扩大为原来的3倍，则现在长方体的长、宽、高分别为3a、3b、3h，根据长方体的体积公式V＝abh，求出扩大前和扩大后长方体的体积，用扩大后长方体的体积除以扩大前长方体的体积，即可得解。
【解答】解：设原来长方体的长、宽、高分别为a、b、h，则现在长方体的长、宽、高分别为3a、3b、3h，
现在的体积：3a×3b×3h＝27abh
原来的体积：a×b×h＝1
27abh÷（abh）＝27
答：体积就扩大到原来的27倍。
故选：C。
【点评】此题主要根据长方体的体积计算方法解决问题。
4．（2024春 临泉县期末）将一个长方体钢坯锻造成正方体，正方体和长方体（ ）
A．表面积相等 B．体积相等
C．表面积和体积都相等
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】空间与图形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据体积、表面积的意义，物体所占空间的大小叫作物体的体积；物体表面的大小叫作物体的表面积。所以把长方体的钢坯锻造成正方体后，体积不变。再根据体积相等的长方体和正方体，长方体的表面积大于正方体的表面积。据此解答即可。
【解答】解：把一个长方体钢坯锻造成一个正方体，只是形状改变了，也就是它的表面积变了，但是体积没有变。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体体积的意义、表面积的意义及应用，关键是明确：把一个长方体铁块铸造成正方体，只是形状改变了，即表面积变了，但体积不变。
5．（2024春 顺德区期末）一盒糖果的长是18cm、宽是9cm、高是5cm，若把四盒糖果包装起来，下面几种包装方案中，最节省包装纸的是（ ）（接口处不计）
A． B．
C． D．
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式求出三种不同包装方法需要包装纸的面积，然后进行比较即可。
【解答】解：（18×5+9×4×5+9×4×18）×2
＝（90+180+648）×2
＝918×2
＝1836（平方厘米）
（18×5×2+9×2×5×2+18×9×2）×2
＝（180+180+324）×2
＝684×2
＝1368（平方厘米）
（18×5×4+9×5×4+18×9）×2
＝（360+180+162）×2
＝702×2
＝1404（平方厘米）
（18×2×5+9×2×5+18×2×9×2）×2
＝（180+90+648）×2
＝918×2
＝1836（平方厘米）
1836平方厘米＞1404平方厘米＞1368平方厘米。
故选：B。
【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是找清楚拼组后长方体的长、宽、高，并熟记公式。
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 沈丘县期末）长方形与正方形的不同点是长方形的 对边 相等，正方形 四条边 相等．
【考点】长方形的特征及性质；正方形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据长方形和正方形的特征：长方形和正方形的四个角都是直角；正方形四条边相等，长方形对边边相等；直接进行填空即可．
【解答】解：长方形与正方形的不同点是长方形的对边相等，正方形四条边都相等．
故答案为：对边，四条边．
【点评】此题考查长方形和正方形的特征，属于基本题，记住特征即可．
7．（2024 沙坪坝区）在一个长24分米，宽9分米，高8分米的长方体容器内注入4分米深的水，然后放一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了 0.8 分米。
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】设放入正方体铁块后水深h，根据长方体的容积＝底面积×高可得，放入正方体铁块前的水的体积为：24×9×4；放入正方体铁块后的水的体积为：（24×9﹣6×6）×h；根据前后水的体积没有改变可得：24×9×4＝（24×9﹣6×6）×h，由此即可计算得出放入铁块后的水深h，从而求得水面上升的高度。
【解答】解：设放入正方体铁块后水深h分米，根据题干分析可得：
24×9×4＝（24×9﹣6×6）×h
864＝180h
h＝4.8
4.8﹣4＝0.8（分米）
答：水面会上升0.8分米。
故答案为：0.8。
【点评】此题考查了长方体的容积公式的灵活应用，抓住放入铁块前后水的体积大小没变是解决此类问题的关键。
8．（2023秋 巴州区校级月考）老师要求用小棒摆一个正方形，小棒需要 4 根，长度 相等 。
【考点】正方形的特征及性质．
【专题】应用意识．
【答案】4，相等。
【分析】根据正方形的特征：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；由此解答即可。
【解答】解：老师要求用小棒摆一个正方形，小棒需要4根，长度相等。
故答案为：4，相等。
【点评】明确正方形的特征，是解答此题的关键。
9．（2024 石首市）东东在长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体，如图所示，这个玻璃容器的容积是 60 cm3。
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】几何直观；运算能力．
【答案】60。
【分析】根据小正方体的体积是l立方厘米，可知小正方体的棱长为1厘米；通过观察图形可知，沿长方体玻璃容器的长摆了5个小正方体，所以长方体玻璃容器的长为5×1＝5 （厘米）；沿长方体玻璃容器的宽摆了4个小正方体，所以长方体玻璃容器的宽为4×1＝4（厘米）；沿长方体玻璃容器的高摆了3个小正方体，所以长方体玻璃容器的高为3×1＝3 （厘米）；则这个长方体玻璃容器的长是5厘米、宽是4厘米、高是3厘米，长方体体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出长方体玻璃容器的容积。
【解答】解：小正方体的体积是l立方厘米，1×1×1＝1（立方厘米），所以小正方体的棱长为1厘米；
长方体玻璃容器的长：5×1＝5 （厘米）
长方体玻璃容器的宽：4×1＝4（厘米）
长方体玻璃容器的高：3×1＝3 （厘米）
5×4×3
＝20×3
＝60（立方厘米）
答：这个玻璃容器的容积是60立方厘米。
故答案为：60。
【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用。
10．（2024 长春）一个长方体纸盒的两个面如图，这个长方体纸盒的表面积是 72 cm2。（单位：cm）
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】应用意识．
【答案】72。
【分析】根据给出的两个面可知：这个长方体的长为6厘米，宽为3厘米，高为2厘米，由此根据：长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数字，解答即可。
【解答】解：（6×3+6×2+3×2）×2
＝36×2
＝72（平方厘米）
答：这个长方体纸盒的表面积是72cm2。
故答案为：72。
【点评】灵活掌握长方体的表面积计算公式，是解答此题的关键。
三．判断题（共7小题）
11．（2023秋 防城港期末）长方形相邻的两条边互相垂直。 √
【考点】长方形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】√
【分析】根据长方形的特征，长方形的4个角都是直角，可知，长方形相邻的两条边互相垂直，由此即可判断．
【解答】解：由根据长方形的特征可知：长方形相邻的两条边互相垂直，原题说法正确，
故答案为：√．
【点评】此题主要考查长方形的特征．
12．（2023秋 阿荣旗期末）长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 √
【考点】长方形的特征及性质；平行四边形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】√
【分析】根据平行四边形的特征：两组对边平行且相等；则得出：长方形、正方形是特殊的平行四边形，进行解答即可．
【解答】解：长方形和正方形都是特殊的平行四边形．
故答案为：√．
【点评】此题考查了平行四边形的特征和性质，应注意基础知识的积累．
13．（2024春 陇西县期末）四个角都是直角的四边形叫正方形． × ．
【考点】正方形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】×
【分析】根据正方形的特征及性质可知：具有四条边都相等且四个角都是直角的四边形为正方形，据此判断即可．
【解答】解：因为四边相等，四个角都角是直角的四边形是正方形，
所以题干的说法不全面，四个角都是直角的四边形还可能是长方形，
因此题干的说法是错误的；
故答案为：×．
【点评】本题主要考查正方形的特征及性质．
14．（2024春 商水县期末）长方形有四条边。 √
【考点】长方形的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】√
【分析】长方形有四条边，四个角都是直角。
【解答】解：长方形有四条边和四个直角，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了长方形的特征。
15．（2024春 武江区期末）把正方体的橡皮泥捏成长方体占空间大小不变，表面积要改变。 √
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】空间与图形；几何直观．
【答案】√
【分析】根据长方体、正方体的特征，和长方体、正方体的表面积、体积的计算方法，由题意可知，把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体，它的形状发生了变化，表面积也随之发生了变化，但是体积没有变化，由此解答。
【解答】解：把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体，它的形状发生了变化，表面积也随之发生了变化，但是体积没有变化。
因此，原题说法是正确的。
故答案为：√。
【点评】此题的解答关键是明确把正方体转化为长方体，体积不变，形状改变了表面积也随之发生了变化。
16．（2024春 商水县期末）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的体积就扩大到原来的27倍。 √
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】空间观念；运算能力．
【答案】√
【分析】设原正方体的棱长为1，利用赋值法解答。
【解答】解：设原正方体的棱长为1，则扩大后的正方体的棱长为3，得：
原正方体的体积：1×1×1＝1
扩大后的正方体的体积：3×3×3＝27
27÷1＝27
体积就扩大到原来的27倍。
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了正方体体积的计算，需熟记公式，解答此类问题用赋值法比较简便。
17．（2024春 徐州期末）大正方形的四个角都大于小正方形的四个角。 ×
【考点】正方形的特征及性质．
【答案】×
【分析】根据正方形的定义，四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形，据此解答此题即可。
【解答】解：正方形的四个角都相等且都是直角，大正方形的四个角是直角，小正方形的四个角也都是直角。所以题干说法错误。
故答案为：×。
【点评】熟练掌握正方形的特征，是解答此题的关键。
四．计算题（共2小题）
18．（2024春 东莞市期中）计算下面各立体图形的表面积和体积。
【考点】长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
【专题】几何直观；运算能力．
【答案】①216cm2，216cm3；②102dm2，63dm3。
【分析】①正方体表面积S＝6a2，正方体体积V＝a3，代入数值计算即可；
②长方体表面积S＝2（ab+ah+bh），长方体体积V＝abh，代入数值计算即可。
【解答】解：①表面积：6×6×6＝216（cm2）
体积：6×6×6＝216（cm3）
②表面积：（3×3+3×7+3×7）×2＝102（dm2）
体积：3×3×7＝63（dm3）
【点评】熟练运用长方体和正方体的表面积与体积公式是解答本题的关键。
19．（2024春 金水区期末）直接写得数。
25×40＝ 84÷2＝ 150×50＝
609÷3＝ 60×70＝ 280÷7＝
【考点】同分母分数加减法；分数的加法和减法；两位数乘两位数；一位数除多位数．
【专题】运算能力．
【答案】1000，42，7500，203，4200，40，1，，。
【分析】根据两位数乘两位数、两位数乘三位数乘法、一位数除多位数除法、分数加法、分数减法的运算法则直接写出得数即可。
【解答】解：
25×40＝1000 84÷2＝42 150×50＝7500
609÷3＝203 60×70＝4200 280÷7＝40
1
【点评】本题主要考查了两位数乘两位数、两位数乘三位数乘法、一位数除多位数除法、分数加法、分数减法的运算，属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
五．操作题（共1小题）
20．（2024秋 鸡泽县期中）分别画出下面的立体图形从上面、正面和左面看到的形状。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念；几何直观．
【答案】
【分析】这个立体图形由5个相同的小正方体组成。从上面看，有4个相同的小正方形，左边一个，右边3个，分3层，上中下各一个；从正面能看到3个相同的小正方形，分两层，上层1个，下层2个，左齐；从左面能看到4个相同的小正方形，分两层，上层1个，下层3个。
【解答】解：
【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
六．应用题（共5小题）
21．（2024春 东港区期末）一根长1米的钢材，沿横截面截成两段后，表面积增加了4平方分米，原来这段长方体钢材的体积是多少立方分米？
【考点】长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
【专题】空间与图形；应用意识．
【答案】20立方分米。
【分析】根据题意可知：把这个长方体钢材横截成两段，表面积增加的是两个截面的面积，由此可以求出底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答即可。
【解答】解：1米＝10分米
4÷2×10
＝2×10
＝20（立方分米）
答：原来这段长方体钢材的体积是20立方分米。
【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
22．（2024春 万载县期末）一个长方体的铁皮通风管，长是9米，横截面为边长3分米的正方形。做一对这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】几何直观；运算能力．
【答案】21.6。
【分析】由题意可知，通风管是没有底面的，所以只求它的4个侧面的面积，根据长方体的表面积的计算方法，先求出1根通风管需要材料，然后乘2即可。
【解答】解：3分米＝0.3米
0.3×4×9×2
＝1.2×9×2
＝10.8×2
＝21.6（平方米）
答：至少需要铁皮21.6平方米。
【点评】此题属于长方体的表面积的实际应用，解答关键是搞清求的是哪几个面的面积，再根据长方体的表面积的计算方法进行解答。
23．（2024春 信丰县期末）按下面的设计图，用铁皮焊接一个无盖的水槽。（厚度不计，单位：cm）。
（1）制作这个水槽至少需要铁皮多少平方厘米？
（2）制作好的水槽，它的容积有多大？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间与图形；应用意识．
【答案】（1）470平方厘米；（2）900立方厘米。
【分析】（1）根据长方体的表面积公式，由于水槽无盖，所以只求它的5个面的总面积即可。
（2）根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式即可求出它的容积。
【解答】解：（1）20×9+（20×5+9×5）×2
＝180+（100+45）×2
＝180+145×2
＝180+290
＝470（cm2）
答：制作这个水槽至少需要铁皮470平方厘米。
（2）20×9×5
＝180×5
＝900（cm3）
答：水槽的容积是900立方厘米。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积公式的灵活运用，熟记公式是关键。
24．（2024 汝南县）机灵狗不小心把玻璃鱼缸的一个面打碎了，这时需要立刻把鱼缸斜放水才不会流光（如图所示），算一算，用这个坏的鱼缸最多能装多少升水？
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】空间与图形；应用意识．
【答案】20升。
【分析】由图可知，用这个坏的鱼缸，最多能盛水的体积是原来鱼缸容积的一半，利用长方体的体积＝长×宽×高，即可求解。
【解答】解：4×5×2÷2
＝20×2÷2
＝40÷2
＝20（立方分米）
20立方分米＝20升
答：用这个坏的鱼缸最多能装20升水。
【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
25．（2024春 深圳期末）有一个长方体玻璃容器，长10cm，宽8cm，高12cm，向容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积是多少立方厘米？
【考点】长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知长方体玻璃容器，长10cm，宽8cm，高12cm，当向这个容器中注水的高为8cm时，第一次出现相对的正方形面；根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：10×8×8＝640（立方厘米）
答：水的体积是640立方厘米．
【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）的计算，关键是理解向这个容器中注水的高是几cm的时候，才会第一次出现相对的面是正方形；再根据长方体的体积公式解答即可．
考点卡片
1．两位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘两位数的笔算方法：
（1）先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数个位对齐；
（2）再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；
（3）然后把两次乘得的积加起来。
【方法总结】
两位数乘两位数在笔算：
1、首先要相同数位对齐，
2、用下面因数的个位数和十位数依次去乘上面因数的个位数和十位数，将所得的积相加。
注意：
验算：交换两个因数的位置。
【常考题型】
1、笔算题。
32×13 27×56 43×58
答案：416；1512；2494
2、84×23的积是（ ）位数，最高位是（ ）位。
答案：四；千
3、32×30的积是32×（ ）的积的10倍。
答案：3
4、两位数乘两位数，积可能是（ ）位数，也可能是（ ）位数。
答案：三；四
2．一位数除多位数
【知识点归纳】
一位数除多位数
（1）相同数位对齐，从最高位除起，除到哪一位就把商写在那一位的上面。如果被除数最高位比除数小就要看被除数的前两位，除到哪一位就把商写在那一位的上面。每次除得的余数必须比除数小。
（2）0除以任何不是0的数都得零。
（3）除到哪一位不够除就添0占位。
（4）看清运算顺序，算式里只有乘除法，按从左到右的顺序进行计算，要是有括号要先算括号里的。
【方法总结】
笔算除法顺序：确定商的位数，试商，检查，验算。
（1）一位数除两位数（商是两位数）的笔算方法：先用一位数除十位上的数，如果有余数，要把余数和个位上的数合起来，再用除数去除。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。
（2）一位数除三位数的笔算方法：先从被除数的最高位除起，如果最高位不够商1，就看前两位，而除到被除数的哪一位，就要把商写在那一位上，假如不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数都要比除数小，再把被除数上的数落下来和余数合起来，再继续除。
（3）除法的验算方法：
没有余数的除法的验算方法：商×除数：被除数；
有余数的除法的验算方法：商×除数+余数＝被除数。
【常考题型】
1、用竖式计算。
568÷2＝ 376÷4＝ 185÷5＝ 697÷8＝
答案：284；94；37；87……1
2、要使□36÷5的商是三位数，□内可以填的数是（ ）；要使□36÷5的商是两位数，□内可以填的数是（ ）。
答案：5、6、7、8、9；1、2、3、4。
3．同分母分数加减法
【知识点归纳】
同分母分数加减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减。
计算的结果，能约分的要约成最简分数。
【方法总结】
怎么计算？
方法一：利用画图计算。
在此之前学习简单的分数加法时，我们都是用画图的形式来推导计算结果的。因此，可以用画图的形式表示。
方法二：根据分数意义计算。
根据分数的意义和分数单位的含义可知，的分数单位是，它表示1个。的分数单位也是，它表示3个。，就是把1个和3个合起来，就是4个，约分后是。因此，。与前面画图和化成小数计算结果一致。
【常考题型】
比多的数是（ ）。
答案：
一根绳子长米，用去米，还剩（ ）米。
答案：
4．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．
【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少千克后是 5 千克，6千克减少它的后是 4 千克．
分析：（1）第一个千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的，由此列式解决问题．
解：（1）65（千克）；
（2）6﹣66﹣2＝4（千克）．
故答案为：5，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．
例2：修路队修一条公路，第一周修了km，第二周修了km，第三周比前两周修的总和少km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少km，两周修的总和为：（）km，那么第三周修了：（）
解：（），
，
，
＝1（km）
答：第三周修了1km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
5．长方形的特征及性质
【知识点归纳】
长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等．
长方形的性质：
1．长方形的4个内角都是直角；
2．长方形对边相等；
3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点．
4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质
长方形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形
②定理1：有三个角是直角的四边形是长方形
矩形的面积：S矩形＝长×宽＝ab．
黄金长方形：
宽与长的比是（√5﹣1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金长方形．
黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等．
【命题方向】
常考题型：
例：如图中甲的周长与乙的周长相比（ ）
A、甲长 B、乙长 C、同样长
分析：因为甲的周长＝长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，根据长方形的特征：对边相等；进行解答继而得出结论．
解：甲的周长＝长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，
因为长方形对边相等，所以甲的周长等于乙的周长；
故选：C．
点评：解答此题应根据长方形的特征，并结合周长的计算方法进行解答．
6．正方形的特征及性质
【知识点归纳】
1．概念：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．性质：
（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
（2）内角：四个角都是90°；
（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）．
（5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．
（6）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
（7）正方形是特殊的长方形．
【命题方向】
常考题型：
例：四个角都是直角的四边形一定是正方形． × ．
分析：根据正方形的特征及性质可知：具有四条边都相等且四个角都是直角的四边形为正方形，据此判断即可．
解：因为四边相等，四个角都是直角的四边形是正方形，
所以题干的说法不全面，四个角都是直角的四边形还可能是长方形，
因此题干的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查正方形的特征及性质．
7．平行四边形的特征及性质
【知识点归纳】
平行四边形的概念：
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形用符号“ ABCD”，如平行四边形ABCD记作“ ABCD”．
（1）平行四边形属于平面图形．
（2）平行四边形属于四边形．
（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．
（4）平行四边形属于中心对称图形．
2．平行四边形的性质：
主要性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．
（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）
（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．
（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：两组对边分别平行没有直角的图形是（ ）
A、长方形 B、平行四边形 C、梯形
分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
如果两组对边分别平行、有4个直角的四边形是长方形或正方形；
据此判断即可．
解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．
故选：B．
点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．
例2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（ ）
A、周长不变，面积变大 B、周长不变，面积也不变
C、周长变小，面积变小 D、周长不变，面积变小
分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；
长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
故选：D．
点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．
8．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．
【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．
分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：
点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
9．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（ ）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
10．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
11．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体 8 个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．
例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成．
