16.1 第2课时 二次根式的性质 课件（共28张PPT）人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 16.1 第2课时 二次根式的性质 课件（共28张PPT）人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 954.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-16 19:44:07 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
人教版八年级数学下册
第16章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
学习目标
1. 经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.
2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
问题1： 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
a
a≥0
1
我们都是非负数哟
0
1
结果
引入新课
0
1
-4
-1
问题2：若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
1
16
4
1
a
a为任意数
出来后我们都是非负数.
思考：你发现了什么？
来之前我们原来是什么数？
结果
22 = 4
02 = 0
...
下面根据算术平方根及平方的意义填空，思考你发现了什么？
...
算术平方根
平方运算
0
2
4
...
a(a≥0)
观察两者有什么关系？
根据你的发现，直接写出结果：
2
4
0
0.01
归纳：把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
＝ (a ≥0).
a
即：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
不要忽略限制条件
想想得到结果的依据．
探究新知
例1：计算：
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
积的乘方：
(ab)2=a2b2
解：
典例分析
1. 计算：
解:
针对训练
解：原式
...
平方运算
算术平方根
2
0
...
a(a≥0)
2
...
观察两者有什么关系？
填一填：
＝a (a≥0)
0.1
探究新知
- a
...
平方运算
算术平方根
-2
...
2
...
观察两者有什么关系？
a(a＜0)
当a＜0时， =
？
-0.1
a (a≥0)
- a (a＜0)
的性质：
一个非负数的平方的算术平方根等于它的本身；
一个负数的平方的算术平方根等于它的相反数.
分情况讨论
任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
归纳总结
例2：化简：
解：
，而3.14＜π，要注意a的正负性.
注意：
典例分析
如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
对比思考
1. 计算：
解:
针对训练
2. 辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×
×
√
√
例3：实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b+[-(a-b)]
=-a-b-(a-b)
= -2a.
a
b
典例分析
【变式】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：
解：根据数轴可知b＜a＜0，
则a+2b＜0，a-b＞0，
原式=|a+2b|+|a-b|
= -(a+2b)+(a-b）
=-a-2b+a-b
= -3b．
利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
【概念】
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）
把 或 连接起来的式子，称这样的式子为代数式.
数
表示数的字母
新知讲解
B
1. 在下列各式中，不是代数式的是（ ）
A. 7 B. 3＞2 C. D．
2. 如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为____.
针对训练
1. 化简 得（ ） A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
2. 当1A.3 B.-3 C.1 D.-1
3. 下列式子是代数式的有 （ ）
① a2+b2 ; ② ; ③ 13 ; ④ x=2 ; ⑤ 3×（4 －5）;
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
C
D
C
当堂巩固
4. 化简：
（1） ＝ ; （2） ＝ ;
（3） ; （4） .
3
7
4
81
-1
0
1
2
a
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 .
1
6. 利用a ＝ （a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ；
(4) 0.25 ； (5) ； (6) 0 .
1.(1)已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0，
∴a=-2，
∴ .
(2)已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0，
∴a2=0，∴a=0，
∴
能力提升
2. 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，a+b+c＞0
两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0
1.（3分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A．3-2a B．-1 C．1 D．2a-3
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a-1＞0，a-2＜0，
原式= a-1-[-(a-2)]= a-1+(a-2)=2a-3．
故选：D．
感受中考
|a| （a为全体实数）
二次根式的性质
课堂小结
P5：习题16.1：第2、4、10题.
布置作业
人教版八年级数学下册
第16章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
学习目标
1. 经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.
2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
问题1： 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
a
a≥0
1
我们都是非负数哟
0
1
结果
引入新课
0
1
-4
-1
问题2：若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？
算术平方根之门
平方之门
0
-4
-1
1
16
4
1
a
a为任意数
出来后我们都是非负数.
思考：你发现了什么？
来之前我们原来是什么数？
结果
22 = 4
02 = 0
...
下面根据算术平方根及平方的意义填空，思考你发现了什么？
...
算术平方根
平方运算
0
2
4
...
a(a≥0)
观察两者有什么关系？
根据你的发现，直接写出结果：
2
4
0
0.01
归纳：把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
＝ (a ≥0).
a
即：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
不要忽略限制条件
想想得到结果的依据．
探究新知
例1：计算：
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
积的乘方：
(ab)2=a2b2
解：
典例分析
1. 计算：
解:
针对训练
解：原式
...
平方运算
算术平方根
2
0
...
a(a≥0)
2
...
观察两者有什么关系？
填一填：
＝a (a≥0)
0.1
探究新知
- a
...
平方运算
算术平方根
-2
...
2
...
观察两者有什么关系？
a(a＜0)
当a＜0时， =
？
-0.1
a (a≥0)
- a (a＜0)
的性质：
一个非负数的平方的算术平方根等于它的本身；
一个负数的平方的算术平方根等于它的相反数.
分情况讨论
任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
归纳总结
例2：化简：
解：
，而3.14＜π，要注意a的正负性.
注意：
典例分析
如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
对比思考
1. 计算：
解:
针对训练
2. 辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×
×
√
√
例3：实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b+[-(a-b)]
=-a-b-(a-b)
= -2a.
a
b
典例分析
【变式】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：
解：根据数轴可知b＜a＜0，
则a+2b＜0，a-b＞0，
原式=|a+2b|+|a-b|
= -(a+2b)+(a-b）
=-a-2b+a-b
= -3b．
利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
【概念】
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）
把 或 连接起来的式子，称这样的式子为代数式.
数
表示数的字母
新知讲解
B
1. 在下列各式中，不是代数式的是（ ）
A. 7 B. 3＞2 C. D．
2. 如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为____.
针对训练
1. 化简 得（ ） A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
2. 当1
3. 下列式子是代数式的有 （ ）
① a2+b2 ; ② ; ③ 13 ; ④ x=2 ; ⑤ 3×（4 －5）;
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
C
D
C
当堂巩固
4. 化简：
（1） ＝ ; （2） ＝ ;
（3） ; （4） .
3
7
4
81
-1
0
1
2
a
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 .
1
6. 利用a ＝ （a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ；
(4) 0.25 ； (5) ； (6) 0 .
1.(1)已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0，
∴a=-2，
∴ .
(2)已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0，
∴a2=0，∴a=0，
∴
能力提升
2. 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，a+b+c＞0
两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0
1.（3分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A．3-2a B．-1 C．1 D．2a-3
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a-1＞0，a-2＜0，
原式= a-1-[-(a-2)]= a-1+(a-2)=2a-3．
故选：D．
感受中考
|a| （a为全体实数）
二次根式的性质
课堂小结
P5：习题16.1：第2、4、10题.
布置作业