17.2 第1课时 勾股定理的逆定理 课件（共31张PPT）人教版数学八年级下册

(共31张PPT)
人教版八年级数学下册
第17章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
学习目标
1. 能证明勾股定理的逆定理，了解勾股数概念，理解互逆命题、定理的概念与关系.
2. 能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为a ， b ，斜边为c，那么a2+b2=c2 .
B
C
A
a
b
c
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长.
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
c=5
c=6.5
回顾旧知
古埃及人：
把一根绳子上打13个等距的结，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
新知探究
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a ，b ，c:
①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17.
问题1：分别以每组数为三边长作出三角形，再用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17.
① 5，12，13满足52+122=132，
② 7，24，25满足72+242=252，
③ 8，15，17满足82+152=172.
a2+b2=c2
问题2：能构成直角三角形的边长，在数量关系上有什么相同点？
新知探究
据此你有什么猜想呢
猜想：
如果三角形的三边长a，b ， c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
验证猜想:
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2
求证：△ABC是直角三角形.
A　
B　
C　
a
b
c
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，
A′C′=b，B′C′=a，
则 A′B′ 2=B′C′ 2+A′C′ 2=a2 + b 2
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90°， 即△ABC是直角三角形.
A
C
a
B
b
c
∵ a2 + b 2 = c 2 ，
∴A′B′ 2 = c 2 ，∴A′B′= c
在△ABC和△A′B′C′中
A′C′=AC，
B′C′=BC，
A′B′=AB，
{
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
作用：判断三角形是否为直角三角形
注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式
核心：只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
新知讲解
一、勾股定理的逆定理
例1：判断下列以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
(2) a=13 ，b=15 ，c=14.
(1) 在△ABC中
∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
解：
典例分析
例1：判断下列以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
(2) a=13 ，b=15 ，c=14.
(2)在△ABC中
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
解：
典例分析
1. 若△ABC的三边a，b，c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状.
解：设a=3k，b=4k，c=5k(k＞0)，
∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
针对训练
2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别a，b，c.
①若∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形；
②若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
③ c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形，且∠C=90°；
④(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
判定一个三角形是直角三角形的方法：
角：
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形.
归纳总结
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
新知讲解
二、勾股数
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，
这组数同样是勾股数.
； 10，24，26
； 8，15，17
； 7，24，25
9，40，41 ； ……
3 ，4，5
6， 8，10
15，20，25
合作探究
下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
针对训练
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
两个命题的题设和结论有何联系？
合作探究
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理. 勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
新知讲解
三、互逆命题与互逆定理
说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行.
成立
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
不成立
对应角相等的两个三角形全等.
不成立
在角平分线上的点到角的两边距离相等.
成立
针对训练
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 3，4，7 B. 5，12，13
C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( )
A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
当堂巩固
B
A
4. 已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ，则△ABC的形状是 ________________．
3. 一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm;
12
等腰直角三角形
5. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形:
（1）a=7，b=24，c=25； （2）a= ，b=4，c=5；
（3）a= ，b=1，c= ； （4）a=40，b=50，c=60.
是
是
是
不是
6. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题. 这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
（3）全等三角形的对应边相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
两直线平行，同旁内角互补.
成立
如果两个角相等，那么这两个角是直角.
不成立
三边对应相等的两个三角形全等.
成立
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等.
不成立
1. 若△ABC的三边 a，b，c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC是否是直角三角形.？
a2－6a +9+b2－8b+16+c2－10c+25=0
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) =0
∴ a=3，b=4，c=5，
即 a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
∴ a2 －6a +b2 －8b +c2 －10c +50 =0
解 ∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
能力提升
2. 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF. 理由如下：
设正方形的边长为4a，
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
1.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
感受中考
【解答】解：①当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，
围成的直角三角形的面积是 ，
②当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，
围成的直角三角形的面积是 ；
③当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，
围成的三角形不是直角三角形；
④当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，
围成的直角三角形的面积是 ，
∵ ，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，
则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结
P34：习题17.2：第1、2、7题.
布置作业