18.1.1 第2课时 平行四边形的性质2 课件（共23张PPT）人教版数学八年级下册

(共23张PPT)
人教版八年级数学下册
第18章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的性质2
学习目标
1. 理解并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质.
2. 根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么
引入新课
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行且相等.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB CD， AD BC
∥
﹦
∥
﹦
角
平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD是平行边形
∴ ∠A=∠C， ∠D=∠B.
对角线
O
？
想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外，对角线有什么性质？
回顾旧知
如图，在　 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
　平行四边形的对角线互相平分．　
你能证明这个猜想吗？　
OA=OC，OB=OD
AC与BD互相平分
O
新知探究
已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
O
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC ， AD∥BC.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD≌△COB.
∴OA=OC，OB=OD.
1
2
3
4
平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形，
求证：OA=OC，OB=OD.
∴OA=OC= OB=OD=
证明：
性质3：
符号语言：
△AOD≌△COB
△AOB≌△COD
平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个小三角形中，相对的两个三角形全等.
新知归纳
A
C
D
B
O
●
老大
老四
老三
老二
E
SΔABO=
平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形，都等于平行四边形面积的四分之一.
理由：过点A作AE⊥BD于点E，因为四边形ABCD是平行四边形
所以BO=DO.
所以SΔABO=SΔADO，同理SΔABO=SΔADO=SΔCBO=SΔCDO .
SΔADO=
老人分地合理吗？
老人分地合理
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行且相等.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB CD，AD BC
∥
﹦
∥
﹦
角
平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD是平行边形
∴ ∠A=∠C， ∠D=∠B.
对角线
O
平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
归纳总结
1. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD
C．AO=CO D．AC⊥BD
B
C
D
A
O
D
分析：由平行四边形的对边平行可知AB∥CD，即答案A正确．
分析：由平行四边形的对角相等，即答案B正确．
分析：由平行四边形的对角线互相平分，即答案C正确．
针对训练
2. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=18，则△OBC的周长为（　　）
A.26 B.37 C.40 D.52
B
分析： △OBC的周长= BC+CO+OB，根据平行四边形的对角线互相平分，对边相等，即可求得答案.
16
12
9
16
数形结合
18
24
3. 如图，平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O， △ AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC，BD的长度的和是 （　　）
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
分析：△AOB的周长 =AB+BO+OA=15，AB=6，可得 BO+OA=9.
再由平行四边形的对角线互相平分，即可求得答案.
6
数形结合
B
4. 在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是 ( )
A. 24C.7B
C
D
A
O
分析：由平行四边形的对角线互相平分可知，OA= AC=12， OB= BD=19，在△AOB中，利用三角形三边关系，可得BO－AO＜AB＜ BO＋AO，即可求得答案.
m
利用平行四边形的对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决.
19
12
C
5. 若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长可以是 ( )
A. 12和2　 B. 3和4 C. 4和6 D. 4和8
O
D
B
A
C
D
例：如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，
求BC、CD的长；
解：
∴△ABC是直角三角形.
又∵AC⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
又∵OA=OC，
∴
∴
AC⊥BC，
AC、OC的长；
OC= AC=3.
BO、BD的长；
∵ △OBC是直角三角形，
∴
又∵OB=OD，
ABCD的面积.
∴S = BC×AC=8×6=48.
ABCD
∴ BD=2OB=2
B
C
D
A
●
O
10
8
8
10
3
典例分析
E　
F　
EF过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证 OE=OF.
A
B
C
D
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD, OD=OB,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE.
∴OE=OF.
分析：要证OE=OF，根据所给条件可证△DOF≌△BOE或△COF≌△AOE.由平行四边形的对边平行，对角线互相平分证全等.
O
E　
F　
变式拓展
E　
F　
A
B
C
D
B
C
D
O
思考：改变直线EF的位置，请判断下列图中，OE=OF还成立吗
A
E　
F　
O
OE=OF还成立.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
E　
F　
A
B
C
D
O
思考：如图，AC，BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
D
E　
F　
O
平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
自行证明
C
A
B
过对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
1. 如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于O点，点E、F分别是OA，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E、F分别是OA,CO的中点
∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB.
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF.
分析：线段BE，DF的关系是指数量和位置两种关系.
本题还有其他方法，
大家不妨试试吧
针对训练
2. 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD=2AB，E是OA的中点．
求证：BE⊥AC．
分析：由平行四边形的性质得出BD=2OB，再证明OB=AB，由E为OA的中点，根据三线合一性质即可证出BE⊥AC．
又∵E是OA的中点，
∴BE⊥AC．
∵BD=2AB，
∴OB=AB，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB.
∴△OAB是等腰三角形.
1.如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC =2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
感受中考
【解答】解：如图：
猜想：DF =3BF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形．
∴OA =OC，OD=OB．
∵AC =2AB．
∴AO=AB．
∵∠BAC的角平分线与BC交于点E.
∴BF=FO．
∴DF =3BF．
知 识
思 想
转 化 思 想
“猜想——验证——证明” 研究方法.
方 法
探索新知识
数形结合思想
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分
课堂小结
P49：习题18.1：第3题.
P51：习题18.1：第14、15题.
布置作业