18.2.3 第2课时 正方形的判定 课件（共20张PPT）人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 18.2.3 第2课时 正方形的判定 课件（共20张PPT）人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 564.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-16 19:55:25 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
18.2.3 正方形
（第2课时）
2．正方形的性质：
1．正方形的定义：
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
（1）边：四条边相等．
（2）角：四个角都是直角．
（3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分．
（4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线．
由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？
上节课，我们学过：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形．
（2）有一个角是直角的菱形是正方形．
你能分别给出证明吗？
已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB＝AD．
求证：矩形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A＝90°．
又∵AB＝AD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
A
B
C
D
有一组邻边相等的矩形是正方形．
数学语言：
在矩形 ABCD 中，∵AB＝AD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝AD．
又∵∠A＝90°，
∴菱形 ABCD 是正方形．
已知：如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝90°．
求证：菱形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
有一个角是直角的菱形是正方形．
数学语言：
在菱形 ABCD 中，∵∠A＝90°，
∴菱形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？
思考
对角线相等且互相平分
对角线相等且互相垂直平分
添加对角线互相垂直
能否得到正方形？
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OB＝OD．
∵AC⊥BD，
∴AC 是线段 BD 的垂直平分线．
∴AB＝AD．
∴矩形 ABCD 是正方形．
已知：在矩形 ABCD 中，AC⊥BD．求证：矩形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
O
有一组邻边相等的矩形是正方形．
对角线互相垂直的矩形是正方形．
数学语言：
在矩形 ABCD 中，∵AC⊥BD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
O
思考
菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？
对角线互相垂直平分
对角线相等且互相垂直平分
添加对角线相等
能否得到正方形？
已知：在菱形 ABCD 中，AC＝BD．求证：四边形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．
∵AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD．
∴△AOB，△BOC 是等腰直角三角形．
∴∠ABO＝∠CBO＝45°．
∴∠ABC＝90°．
∴菱形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
O
有一个角是直角的菱形是正方形．
对角线相等的菱形是正方形．
数学语言：
在菱形 ABCD 中，∵AC＝BD，
∴菱形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
O
例1 下列命题正确的是（ ）．
A．四个角都相等的四边形是正方形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是正方形
矩形
菱形
矩形
C
A
B
C
D
E
F
例2 如图，等边三角形 AEF 的顶点 E，F 在矩形 ABCD 的边 BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形 ABCD 是正方形．
分析：先证明 △AEB≌△AFD 得到 AB＝AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论．
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°．
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝45°．
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°．
∴△AEB≌△AFD．
∴AB＝AD．
∴矩形 ABCD 是正方形．
例3 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形 BECF 是正方形．
A
B
C
D
E
F
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形 BECF 是平行四边形．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°．
又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
A
B
C
D
E
F
∴∠EBC＝ ∠ABC＝45°，∠ECB＝ ∠DCB＝45°．
∴∠EBC＝∠ECB．
∴EB＝EC．
∴平行四边形 BECF 是菱形．
又∵∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°．
∴菱形 BECF 是正方形．
正方形的判定
定义法
对角线
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
边
有一组邻边相等的矩形是正方形
角
有一个角是直角的菱形是正方形
18.2.3 正方形
（第2课时）
2．正方形的性质：
1．正方形的定义：
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
（1）边：四条边相等．
（2）角：四个角都是直角．
（3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分．
（4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线．
由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？
上节课，我们学过：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形．
（2）有一个角是直角的菱形是正方形．
你能分别给出证明吗？
已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB＝AD．
求证：矩形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A＝90°．
又∵AB＝AD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
A
B
C
D
有一组邻边相等的矩形是正方形．
数学语言：
在矩形 ABCD 中，∵AB＝AD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝AD．
又∵∠A＝90°，
∴菱形 ABCD 是正方形．
已知：如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝90°．
求证：菱形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
有一个角是直角的菱形是正方形．
数学语言：
在菱形 ABCD 中，∵∠A＝90°，
∴菱形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？
思考
对角线相等且互相平分
对角线相等且互相垂直平分
添加对角线互相垂直
能否得到正方形？
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OB＝OD．
∵AC⊥BD，
∴AC 是线段 BD 的垂直平分线．
∴AB＝AD．
∴矩形 ABCD 是正方形．
已知：在矩形 ABCD 中，AC⊥BD．求证：矩形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
O
有一组邻边相等的矩形是正方形．
对角线互相垂直的矩形是正方形．
数学语言：
在矩形 ABCD 中，∵AC⊥BD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
O
思考
菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？
对角线互相垂直平分
对角线相等且互相垂直平分
添加对角线相等
能否得到正方形？
已知：在菱形 ABCD 中，AC＝BD．求证：四边形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．
∵AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD．
∴△AOB，△BOC 是等腰直角三角形．
∴∠ABO＝∠CBO＝45°．
∴∠ABC＝90°．
∴菱形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
O
有一个角是直角的菱形是正方形．
对角线相等的菱形是正方形．
数学语言：
在菱形 ABCD 中，∵AC＝BD，
∴菱形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
O
例1 下列命题正确的是（ ）．
A．四个角都相等的四边形是正方形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是正方形
矩形
菱形
矩形
C
A
B
C
D
E
F
例2 如图，等边三角形 AEF 的顶点 E，F 在矩形 ABCD 的边 BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形 ABCD 是正方形．
分析：先证明 △AEB≌△AFD 得到 AB＝AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论．
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°．
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝45°．
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°．
∴△AEB≌△AFD．
∴AB＝AD．
∴矩形 ABCD 是正方形．
例3 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形 BECF 是正方形．
A
B
C
D
E
F
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形 BECF 是平行四边形．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°．
又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
A
B
C
D
E
F
∴∠EBC＝ ∠ABC＝45°，∠ECB＝ ∠DCB＝45°．
∴∠EBC＝∠ECB．
∴EB＝EC．
∴平行四边形 BECF 是菱形．
又∵∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°．
∴菱形 BECF 是正方形．
正方形的判定
定义法
对角线
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
边
有一组邻边相等的矩形是正方形
角
有一个角是直角的菱形是正方形