广东省梅州市曾宪梓中学09-10学年高二上学期期中考试（数学理）

梅州市曾宪梓中学09-10学年高二第一学期期中考试
数学理科
（考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1.已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）


A． B． C． D．
3．先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．设,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A． B． C． D．
5. 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为和，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（ ）．
A．和必定平行 B．与必定重合
C．和有交点（s，t） D．与相交，但交点不一定是（s，t）
6.已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. 　 B.　 　C.　 　D.
7．某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为
A.9 B.18 C.27 D.36
8.(2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为( ).
A. B. C. D. 4
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．
9. 不等式的解集是 ．
10在区间中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是______________。
11．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：
序号
（i）
分组
睡眠时间
组中值
（Gi）
频数
（人数）
频率
（Fi）
1
[4，5）
4.5
6
0.12
2
[5，6）
5.5
10
0.20
3
[6，7）
6.5
20
0.40
4
[7，8）
7.5
10
0.20
5
[8，9]
8.5
4
0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为　　　　．
12.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，12.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 ;
13. 在等差数列｛an｝中，a1＞0，a5=3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n = .
14．若<0,已知下列不等式：①a+b|b| ③a2,
其中正确的不等式的序号为 .
三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明以及演算步骤）
15．（本小题满分12分）二次方程,有一个根比大,另一个根比小,求的取值范围
16．（本小题满分12分）已知等比数列的前项和为，若成等差数列，试判断是否成等差数列，并证明你的结论。
17．（本小题满分14分）已知关于的一元二次函数
（Ⅰ）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率。
18．（本不题满分14分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
19.（本小题满分14分）某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
表1：
生产能力分组
人数
4
8
5
3
表2：
生产能力分组
人数
6
y
36
18
（1）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
（2）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
20． (本小题满分14分)
已知数列{}、{}满足：．
(1)求；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求实数为何值时恒成立．
高二中段考试数学试卷答案
16：（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解：设等比数列的首项为，公比为，
若，，成等差数列，
则．
∴．
∵，，∴．
解得或．
当时，∵，，，
∴．
∴当时，，，不成等差数列．
当时，，，成等差数列．下面给出两种证明方法．
证法1：∵

，
∴．
∴当时，，，成等差数列．
证法2：∵，
又
，
∴．
∴当时，，，成等差数列．
17：解：（Ⅰ）∵函数的图象的对称轴为
要使在区间上为增函数，
当且仅当>0且
若=1则=－1，
若=2则=－1，1
若=3则=－1，1；
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当且>0时，
函数上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分。
由
∴所求事件的概率为
19：解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000. ①
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500
＝18500+25a+40b
≥18500+2=18500+
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=,代入①式得a=120，从而b=75.
即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25
两栏面积之和为2(x－20),由此得y=
广告的面积S=xy=x()＝x,
整理得S=
因为x－20＞0，所以S≥2
当且仅当时等号成立，
此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，
故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小
18：解：（ 1）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.
故 ，得，
　　　 ，得 .
频率分布直方图如下
从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 .
（2） ，
，

A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1 .
20：解: （1)
∵ ∴
（2）∵ ∴
∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列
∴ ∴
(3)
∴
∴
由条件可知恒成立即可满足条件，设
当时，恒成立
当时，由二次函数的性质知不可能成立
当时，对称轴

在为单调递减函数．

∴ ∴时恒成立
综上知：时，恒成立