第五章 一元函数的导数及其应用章末小结复习课

(共27张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
章末复习小结
人教A版（2019)
知识复习
知识体系构建
知识梳理
基本初等函数的导数
原函数 导函数
1.若f (x)＝c（c为常数）,
则f '(x)＝0；
2.若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
则f '(x)＝；
3.若f (x)＝,
则f '(x)＝；
4.若f (x)＝,
则f '(x)＝；
5.若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝；
6.若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝.
题型探究
题型1：导数的几何意义及运算　
1.本部分内容涉及导数的几何意义、基本初等函数求导、导数的四则运算法则、复合函数求导，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，处理此类问题一般结合函数的切线转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，然后再研究最值问题．
2.通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养和转化化归数学思想．
题型探究
【例1】⑴已知f (x)＝tan x，则f ′＝(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．4
⑵已知f (x)＝xex＋3sin x，则曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为(　　)
A．y＝x　　 B．y＝3x　　 C．y＝2x　　 D．y＝4x
⑶(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
题型1：导数的几何意义及运算　
题型探究
解：
⑴∵f (x)＝tan x＝，
∴f ′．故选C．
题型1：导数的几何意义及运算　
∴f ′(x)＝，
⑵∵f (x)＝xex＋3sin x，
∴f (0)＝0，f ′(x)＝ex＋xex＋3cos x，
∴切线的斜率k＝f ′(0)＝1＋3＝4，
∴曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝4x．故选D．
题型探究
解：
⑶由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，
∴曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1．
题型1：导数的几何意义及运算　
∴y′|x＝0＝e0＋1＝2，
由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝，
由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，
则切点为，
设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，
切线方程为y＝2+a＋ln =2x＋1＋a－ln 2．
根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2．
初试身手
1.⑴(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x　　　　　B．y＝xC．y＝x＋　　 D．y＝x＋
⑵(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________．
解：
⑴由题意可知y′＝，
∴曲线y＝在点处的切线方程为y－(x－1)，
即y＝．故选C．
则曲线y＝在点处的切线斜率k＝，
初试身手
1.⑴(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x　　　　　B．y＝xC．y＝x＋　　 D．y＝x＋
⑵(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________．
解：
⑵∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，
∴切线方程为(x－x0)，
∵切线过原点，∴(－x0)，
设切点为(x0，y0)，则y0＝,切线斜率k＝,
整理得＋ax0－a＝0，
∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
题型探究
题型2：导数与函数的单调性　
1．借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是f ′(x)的符号一般由二次函数来确定，经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
2.通过利用导数判断函数的单调性，培养直观想象、数学运算等核心素养．
题型探究
【例2】已知函数f (x)＝e2x＋(a＋2)ex＋ax，讨论f (x)的单调性．
解：
∵函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝2e2x＋(a＋2)ex＋a＝(2ex＋a).
①当a≥0时，f ′(x)＞0，f (x)在R上单调递增，
②当a＜0时，令f ′(x)＝0，则x＝ln ，
题型2：导数与函数的单调性　
当x∈时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
当x∈时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．
综上，当a≥0时，f (x)在R上单调递增；当a＜0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增．
初试身手
2.⑴已知函数f(x)=x2-5x+2ln x,则函数f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(0,)和(1,+∞)　 B．(0,1)和(2,+∞)　 C．(0,)和(2,+∞)　 D．(,2)
解：
⑴∵f(x)=x2-5x+2ln x,其定义域为{x|x>0}，
∴f ′(x)=2x-5+.
令f ′(x)=0，可得x1=,x2=2.
∴f(x)的单调递减区间为(,2),故选D.
当x∈(,2)时,f ′(x)<0,
初试身手
2.⑵(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　)
A．e2　　　 B．e　　 C．e-1　　　 D．e-2
解：
⑵∵f (x)＝aex－ln x，∴f ′(x)＝aex－，
又∵f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，
∴f ′(x)≥0在(1，2)恒成立，
∴在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e,
即aex－≥0在(1，2)恒成立，
易知a>0，则0<≤xex在(1，2)恒成立．
设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴≤e，即a≥＝e-1，故选C．
题型探究
题型3：导数与函数的极值、最值
1.极值和最值是两个不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另外函数有极值未必有最值，反之亦然．
2.判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：
⑴确定函数f (x)的定义域;
⑵解方程f ′(x)＝0的根;
⑶检验f ′(x)＝0的根的两侧f ′(x)的符号：
若左正右负，则f (x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x)在此根处取得极小值．
题型探究
【例3】已知函数f (x)＝ln x－(m∈R)．
⑴当m＝－2时，求函数f (x)的单调区间和极值；
⑵若函数f (x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值.
题型3：导数与函数的极值、最值
解：
⑴当m＝－2时，f (x)＝ln x＋(x＞0),
则f ′(x)＝,
∴当x∈(0，2)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
∴f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f (2)＝ln 2＋1，无极大值．
题型探究
【例3】已知函数f (x)＝ln x－(m∈R)．
⑴当m＝－2时，求函数f (x)的单调区间和极值；
⑵若函数f (x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值.
题型3：导数与函数的极值、最值
解：
⑵f ′(x)＝，令f ′(x)＝0，则x＝－m，
①当－m≤1，即m≥－1时，f ′(x)≥0，x∈[1，e]，
∴f (x)在[1，e]上单调递增，f (x)min＝f (1)＝－m＝4，
解得m＝－4，不满足m≥－1，故舍去．
∴f (x)min＝f (－m)＝ln (－m)＋1＝4，
②当1＜－m＜e，即－e＜m＜－1时，x∈(1，－m)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，x∈(－m，e)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
.
解得m＝－e3，不满足－e＜m＜－1，故舍去.
③当－m≥e，即m≤－e时，f ′(x)≤0，x∈[1，e]，f (x)在[1，e]上单调递减，f (x)min＝
f (e)＝1－＝4，解得m＝－3e，满足m≤－e．
综上，m的值为－3e．
初试身手
解：
3.已知函数f(x)=xlnx.
⑴求f(x)的最小值;
⑵若对所有的x∈[1,+∞)都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围．
∴当x=时,f(x)取得最小值-.
令f ′(x)=0，解得x=,
⑴∵f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=1+ln x.
∴当x∈(0,)时，f ′(x)<0,f(x)在上单调递减；当x∈(，+∞)时，f ′(x)>0,f(x)在上单调递增.
初试身手
解：
3.已知函数f(x)=xlnx.
⑴求f(x)的最小值;
⑵若对所有的x∈[1,+∞)都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围．
∴g(x)是[1,+∞)上的增函数,g(x)的最小值是g(1)=1,
令g(x)=，则g′(x)=,
∵x∈[1,+∞),g′(x)≥0
∴a的取值范围是(-∞,1].
⑵依题意,得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,
即不等式a≤对于x∈[1,+∞)恒成立.
题型探究
【例4】已知函数f(x)=.
⑴若b=0,且f ′(x)≥0，求a的最小值；
⑵证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；
⑶若f(x)>-2当且仅当1题型4：与导数有关的综合性问题
解：
⑴若b=0,则f(x)=,x∈(0,2),
f ′(x)=,
∴-a≤,x∈(0,2),
∵f ′(x)≥0，
∴-a≤.
∵0∴,即x=1时，=2.
∴-a≤2，a≥-2，则a的最小值为-2.
题型探究
【例4】已知函数f(x)=.
⑴若b=0,且f ′(x)≥0，求a的最小值；
⑵证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；
⑶若f(x)>-2当且仅当1题型4：与导数有关的综合性问题
解：
⑵对 x∈(0,2)，则x-2∈(0,2)，
∴f(2-x)=,
f(x)+f(2-x)=2a，
∴点(x,f(x))与点(2-x,f(2-x))关于点(1,a)对称.
则曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称.
⑶由曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称，f(x)>-2当且仅当1∴x=1是的f(x)=-2的解，
∴f(1)=a=-2,f(x)=.
题型探究
【例4】已知函数f(x)=.
⑴若b=0,且f ′(x)≥0，求a的最小值；
⑵证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；
⑶若f(x)>-2当且仅当1题型4：与导数有关的综合性问题
解：
f(1)=a=-2,f(x)=.
∴f ′(x)=,
①当b≥-时，f ′(x)≥0,f(x)在（1,2）单调递增，
∴f(x)>-2=f(1),当且仅当1令f ′(x)=0，即-3bx2+6bx+2=0, >0,有两根，设为x1,x2,
②当b<-时,f ′(x)=,
∵ x1+x2=2,，
∴在（1，x0）上递减，f(x)∴x1<1综上，b的取值范围为[-,+∞).
初试身手
解：
4.函数f (x)＝x＋ax2＋b ln x的图象在点P(1，0)处的切线斜率为2．
⑴求a，b的值；
⑵证明：f (x)≤2x－2对任意正实数x恒成立．
⑴由题设可知f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1＋2ax＋，
∴f (1)＝1＋a＝0，f ′(1)＝1＋2a＋b＝2，
⑵证明：由(1)知f (x)＝x－x2＋3ln x(x＞0)，
∵曲线y＝f (x)在点P(1，0)处切线的斜率为2，
解得a＝－1，b＝3．
设g(x)＝2－x－x2＋3ln x，x＞0，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－，
则转化为证明2－x－x2＋3ln x≤0对任意正实数x恒成立，
初试身手
解：
4.函数f (x)＝x＋ax2＋b ln x的图象在点P(1，0)处的切线斜率为2．
⑴求a，b的值；
⑵证明：f (x)≤2x－2对任意正实数x恒成立．
∴当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0，
∴g(x)在x＝1处有最大值g(1)＝0，
即2－x－x2＋3ln x≤0对任意正实数x恒成立，
∴g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)≤0对任意正实数x恒成立，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－，
即f (x)≤2x－2对任意正实数x恒成立，原命题得证．
作业布置
作业： p104 复习参考题5 第8,18，19题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
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