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6.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理---自检定时练--详解版
单选题
1.从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（ ）
A．3种 B．4种 C．7种 D．12种
【答案】D
【分析】根据分步乘法计数原理，可直接得出结果.
【详解】由分步乘法计数原理，可知从甲地到丙地不同的走法有种．
故选：D
2.学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（ ）
A．12种 B．14种
C．7种 D．9种
【答案】B
【分析】应用分类分步计数原理，求出甲安排为“定点投篮”、 不安排“定点投篮”两种情况分别写出安排方法数，即可得答案.
【详解】当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法.
当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，此时有种方法，
共有种，
故选：B
3.从集合中任取2个不同的数，作为直线的系数，则形成的不同的直线有（ ）
A．18条 B．20条 C．25条 D．10条
【答案】A
【分析】按照分步计数原理，再减去重复的直线，即可求解.
【详解】第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值，有4种取法，其中当，时，与当，时所得直线是相同的；
当，时，与当，时所得直线是相同的，
故共有（条）不同的直线．
故选：A
4.以下运算结果为的是（ ）
A．3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法
B．4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军）
C．3块地种植4种不同的蔬菜的种法
D．4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数
【答案】D
【分析】由分步乘法运算逐一验证即可求解.
【详解】对于A，3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法有种，故A错误；
对于B，4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军），共有种可能，故B错误；
对于C，3块地种植4种不同的蔬菜的种法有种，故C错误；
对于D，4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数有种，故D正确.
故选：D.
5.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（ ）
1 2 3 4 5 6 7 8 9表示如下
纵式：
横式：
A．81个 B．64个 C．18个 D．17个
【答案】B
【分析】首先根据分步计数原理计算不含0的所有两位数，再分类计算不满足条件的两位数，即可求解.
【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出（个）两位数，
其中个位和十位上的算筹都为1有（个）；
个位和十位上的算筹都为2有（个）；
个位和十位上的算筹都为3有（个）；
个位和十位上的算筹都为4有（个）；
个位和十位上的算筹都为5有（个），
共有（个），
所以个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（个）.
故选：B
6.用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．25 B．605 C．630 D．580
【答案】C
【分析】先计算所有的情况，然后计算不涂红色和只有一个圆涂红色，最后求差即可.
【详解】先涂第一个圆，由6种情况；再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有5种情况；涂第四个圆有5种情况；涂第五个圆有5种情况，利用计数原理可知，一共有种；
若没有红色，
先涂第一个圆，由5种情况；再涂第二个圆有4种情况；涂第三个圆有4种情况；涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种；
若红色涂一个圆，
当红色涂第一个圆，再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有4种情况；涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种；
当红色涂第二个圆，再涂第一个圆有5种情况，涂第三个圆有5种情况，涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种；
当红色涂第三个圆，再涂第二个圆有5种情况，涂第四个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种；
当红色涂第四个圆，再涂第三个圆有5种情况，涂第五个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况；涂第二个圆有4种情况；一共有种；
当红色涂第五个圆，再涂第四个圆有5种情况，涂第是三个圆有4种情况，涂第二个圆有4种情况；涂第一个圆有4种情况；一共有种；
所以红色至少涂两个圆的方案有.
故选:C
多选题
7.如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 向结点 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】先求出每一条线路单位时间内传递的最大信息量，再由分类加法原理求解即可
【详解】第一条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；
第二条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；
第三条线路单位时间内传递的最大信息量为 ；
第四条线路单位时间内传递的最大信息量为 ．
因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为 ，
故选：AB
8.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【答案】ABD
【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误.
【详解】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；
C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.
故选：ABD
填空题
9.人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”（首位不能是0）共有 个．
【答案】
【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.
【详解】先排千位，有8种选择，
再排百位，有8种选择，
最后排十位，有7种选择，
故共有，
故答案为：
10.如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式.
【答案】120
【分析】利用分类和分步计数原理，即可求解.
【详解】当陕西和贵州相同，陕西和贵州4种颜色，重庆3种颜色，四川有2种颜色，湖北有2种颜色，湖南有1种颜色，则共有种方法，
当陕西和贵州不同，湖北和贵州相同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州和湖北有2种颜色，湖南有2种颜色，四川有1种颜色，则共有种方法，
当陕西和贵州不同，湖北和贵州不同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州有2种颜色，湖北有1种颜色，湖南有1种颜色，四川有1种则共有种方法，
综上可知有种方法.
故答案为：120
解答题
11.现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中．
(1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？
(2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？
【答案】(1)625
(2)24
【分析】（1）每个窗格都有5种，由分步乘法计数原理计算可得；
（2）特殊的先放，即甲乙有4种，再依次放剩下的即可，最后由分步乘法计算原理计算即可；
【详解】（1）第1个窗格，从五类书中任选一类，有5种选法，
同理，第2，3，4个窗格也分别有5种选法，
由分步乘法计数原理可得，共有种放法．
（2）先放甲、乙，有4种放法；
再放丙，有3种放法；
然后放丁，有2种放法；
最后放戊，剩1种放法．
由分步乘法计数原理可得，共计种放法．
12.从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数．
(1)可以组成多少个三位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
【答案】(1)100
(2)48
(3)30
【分析】（1）根据分步乘法计数原理可得结果；
（2）根据分步乘法计数原理可得结果；
（3）根据组成三位偶数，末位数字可分两类，末位数字是0或者不是0，根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果；
【详解】（1）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方
法，第二、三位可以排0，因此，根据分步乘法计数原理共有（个）．
（2）三位数的首位不能为0，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二位可以排0，除
首位排的数字共有4种方法，第三位除前两位排的数字共有3种方法，因此，根据分步乘
法计数原理共有（个）．
（3）偶数末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类：
一类是末位数字是0，则有（种）排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，
所以有3种排法，十位有3种排法，因此有（种）排法．
因此有（种）排法．即可以排成30个无重复数字的三位偶数.
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6.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理---自检定时练--学生版
【1】知识清单
1.概念辨析
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
关键词 分类 分步
本质 每类方案都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是其中某一步的结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事.
各类（步）的关系 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的，即“分类互斥” 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”
原理
①分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案.在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
推广：完成一件事有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
②分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
推广：完成一件事需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法…做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议30分钟)
单选题
1.从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（ ）
A．3种 B．4种 C．7种 D．12种
2.学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（ ）
A．12种 B．14种
C．7种 D．9种
的系数，则形成的不同的直线有（ ）
A．18条 B．20条 C．25条 D．10条
4.以下运算结果为的是（ ）
A．3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法
B．4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军）
C．3块地种植4种不同的蔬菜的种法
D．4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数
5.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（ ）
1 2 3 4 5 6 7 8 9表示如下
纵式：
横式：
A．81个 B．64个 C．18个 D．17个
6.用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．25 B．605 C．630 D．580
多选题
7.如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 向结点 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）
A． B． C． D．
8.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
填空题
9.人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”（首位不能是0）共有 个．
10.如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式.
解答题
11.现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中．
(1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？
(2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？
12.从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数．
(1)可以组成多少个三位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A D B C AB ABD
9.【答案】
10.【答案】120
11.【答案】(1)625 (2)24
12.【答案】(1)100 (2)48 (3)30
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