九年级数学上册24.1放缩与相似形-沪教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 九年级数学上册24.1放缩与相似形-沪教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 454.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-17 09:54:28 | ||
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文档简介
24.1放缩与相似形
一、单选题
1．下列关于“相似形”的说法中正确的是（ ）
A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形
C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例
2．如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换
A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．对称变换
3．用一个2倍放大镜照一个，下面说法中错误的是（ ）
A．放大后，是原来的2倍
B．放大后，各边长是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似
C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似
5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（ ）
A．B． C． D．
6．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一个角是100°的两个等腰三角形
B．各有一个角是90°的两个等腰三角形
C．各有一个角是60°的两个等腰三角形
D．各有一个角是50°的两个等腰三角形
7．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
8．如图四边形四边形，，，，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
9．下列各组中两个图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
10．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（ ）
A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确；
C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确．
二、填空题
11．形状相同的图形叫做 ．
两个图形相似是指它们的 相同，与它们的位置无关；
是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．
12．仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有 (填序号)．
13．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是
14．下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有 ．(填序号)
15．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 ．
16．如图，四边形四边形，若，，则的度数为 ．
17．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最小边长为6，则另一个四边形的周长是 ．
18．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．
三、解答题
19．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？
20．如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，d的值．
21．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
22．如图，四边形相似于四边形，求，，的度数以及x，y，z的值．
23．如图，四边形四边形，且，，，，，．求、的大小和的长．
24．沿一张矩形纸较长两边的中点将纸一分为二，所得的两张矩形纸的边缘形状仍然与原来的矩形纸相似，那么这种矩形纸的长、宽之比是多少？
25．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据相似形的性质逐一判断即可．
【解析】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；
B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；
C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误；
D：全等形是相似形的特例，故选项D错误．
2．A
【分析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的概念并结合图形，得出正确结果．
【解析】解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
故选A．
3．A
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
【解析】解：因为放大前后的三角形相似，
放大后三角形的内角度数不变，
面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
故选A．
4．D
【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解．
【解析】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意；
故选：D
5．D
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
【解析】解：A．形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B．形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C．形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D．两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；
故选：D．
6．D
【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．
【解析】A、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；
B、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；
C、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；
D、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；
故选：D．
7．D
【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，
故选D．
8．D
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质列出对应边成比例即可求解．
【解析】解：四边形四边形，
，
，，，
，
．
故选：．
9．B
【分析】根据相似图形的定义进行分析即可．
【解析】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似．
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误．
【解析】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确；
如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确；
故选：B．
二、填空题
11． 相似图形 形状 全等图形
【解析】略
12．(1)(2)(5)
【分析】两个图形相似，则大小不同，但形状相同，据此可作出判断．
【解析】因为大小不同，形状相同的图形是相似形，所以相似的有(1)(2)(5)，
故答案为(1)(2)(5).
13．②③⑤
【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质、圆的性质逐一进行判断即可．
【解析】①所有的等腰三角形都相似，错误，如等腰锐角三角形与等腰直角三角形不相似；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误；
⑤所有的圆都相似，正确，
故答案为：②③⑤．
14．①③④
【分析】根据真命题的定义，结合相似多边形的判定方法逐条分析即可.
【解析】①∵正方形的角都等于90°
∴正方形的角都相等；
∵正方形的四条边相等，
∴正方形的对应边成比例，
∴所有的正方形都相似正确；
②矩形的角都相等，但边不一定成比例，如：
矩形ABCD中AB=CD=4，AD=BC=2;矩形A′B′C′D′中，A′B′=C′D′=3，A′D′=B′C′=1，
则AB: A′B′≠CD: C′D′,
∴所有的矩形都相似错误；
③∵两个菱形都有一个角都是150°，
∴两个菱形各有两个150°的角和两个30°的角，
∴两个菱形的对应角相等；
∵菱形的四条边相等，
∴菱形的对应边成比例，
∴有一个角都是150°的两个菱形相似正确；
④∵正六边形的角都等于60°
∴正六边形的角都相等；
∵正六边形的四条边相等，
∴正六边形的对应边成比例，
∴所有的正六边形都相似正确．
故答案为①③④.
15．1.6．
【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴CD：C′D′＝BC：B′C′，
∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，
∴C′D′＝1.6，
故答案为：1.6．
16．100
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【解析】∵四边形四边形，
，，
，
，
故答案为：．
17．36
【解析】根据对应边成比例，得出该四边形的另三条边的长分别是8，10，12．所以周长为6＋8＋10＋12＝36．
18．1
【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可．
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵余下的矩形矩形，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
三、解答题
19．解：d与（1）相似，e与（2）相似
理由是：（1）图形是半圆，而在图形中，只有（d）是半圆，所以图形与图形相似；
图形（2）是由五个小正方形组成，而在图形中，只有（e）是由五个小正方形组成，所以图形与图形相似；
故答案是： d与（1）相似，e与（2）相似．
20．∵两个五边形相似，
∴相似比是，
∴，
解得，，，．
21．∵两个四边形相似，
∴20：5=x：6=y：7，
解得：x=24，y=28，
∵四边形内角和等于360°，
∴α= =75°，
∴x=24，y=28，α=75°．
22．解：∵四边形相似于四边形
∴，，， ，∴，，，，，
又∵
∴
综上，，，，，，．
23．解：∵四边形四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形四边形，
∴，∵，，
∴，解得．
∴．
24．解：如图，
设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y：，
解得x：y=：1．
25．解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵，，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°，，
∴，，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：9×12＝54．
一、单选题
1．下列关于“相似形”的说法中正确的是（ ）
A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形
C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例
2．如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换
A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．对称变换
3．用一个2倍放大镜照一个，下面说法中错误的是（ ）
A．放大后，是原来的2倍
B．放大后，各边长是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似
C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似
5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（ ）
A．B． C． D．
6．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一个角是100°的两个等腰三角形
B．各有一个角是90°的两个等腰三角形
C．各有一个角是60°的两个等腰三角形
D．各有一个角是50°的两个等腰三角形
7．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
8．如图四边形四边形，，，，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
9．下列各组中两个图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
10．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（ ）
A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确；
C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确．
二、填空题
11．形状相同的图形叫做 ．
两个图形相似是指它们的 相同，与它们的位置无关；
是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．
12．仔细观察图中五组图形，两个图形相似的有 (填序号)．
13．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是
14．下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有 ．(填序号)
15．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 ．
16．如图，四边形四边形，若，，则的度数为 ．
17．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最小边长为6，则另一个四边形的周长是 ．
18．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．
三、解答题
19．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？
20．如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，d的值．
21．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
22．如图，四边形相似于四边形，求，，的度数以及x，y，z的值．
23．如图，四边形四边形，且，，，，，．求、的大小和的长．
24．沿一张矩形纸较长两边的中点将纸一分为二，所得的两张矩形纸的边缘形状仍然与原来的矩形纸相似，那么这种矩形纸的长、宽之比是多少？
25．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据相似形的性质逐一判断即可．
【解析】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；
B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；
C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误；
D：全等形是相似形的特例，故选项D错误．
2．A
【分析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的概念并结合图形，得出正确结果．
【解析】解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
故选A．
3．A
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
【解析】解：因为放大前后的三角形相似，
放大后三角形的内角度数不变，
面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
故选A．
4．D
【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解．
【解析】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意；
故选：D
5．D
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
【解析】解：A．形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B．形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C．形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D．两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；
故选：D．
6．D
【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．
【解析】A、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；
B、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；
C、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；
D、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；
故选：D．
7．D
【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，
故选D．
8．D
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质列出对应边成比例即可求解．
【解析】解：四边形四边形，
，
，，，
，
．
故选：．
9．B
【分析】根据相似图形的定义进行分析即可．
【解析】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似．
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误．
【解析】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确；
如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确；
故选：B．
二、填空题
11． 相似图形 形状 全等图形
【解析】略
12．(1)(2)(5)
【分析】两个图形相似，则大小不同，但形状相同，据此可作出判断．
【解析】因为大小不同，形状相同的图形是相似形，所以相似的有(1)(2)(5)，
故答案为(1)(2)(5).
13．②③⑤
【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质、圆的性质逐一进行判断即可．
【解析】①所有的等腰三角形都相似，错误，如等腰锐角三角形与等腰直角三角形不相似；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误；
⑤所有的圆都相似，正确，
故答案为：②③⑤．
14．①③④
【分析】根据真命题的定义，结合相似多边形的判定方法逐条分析即可.
【解析】①∵正方形的角都等于90°
∴正方形的角都相等；
∵正方形的四条边相等，
∴正方形的对应边成比例，
∴所有的正方形都相似正确；
②矩形的角都相等，但边不一定成比例，如：
矩形ABCD中AB=CD=4，AD=BC=2;矩形A′B′C′D′中，A′B′=C′D′=3，A′D′=B′C′=1，
则AB: A′B′≠CD: C′D′,
∴所有的矩形都相似错误；
③∵两个菱形都有一个角都是150°，
∴两个菱形各有两个150°的角和两个30°的角，
∴两个菱形的对应角相等；
∵菱形的四条边相等，
∴菱形的对应边成比例，
∴有一个角都是150°的两个菱形相似正确；
④∵正六边形的角都等于60°
∴正六边形的角都相等；
∵正六边形的四条边相等，
∴正六边形的对应边成比例，
∴所有的正六边形都相似正确．
故答案为①③④.
15．1.6．
【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴CD：C′D′＝BC：B′C′，
∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，
∴C′D′＝1.6，
故答案为：1.6．
16．100
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【解析】∵四边形四边形，
，，
，
，
故答案为：．
17．36
【解析】根据对应边成比例，得出该四边形的另三条边的长分别是8，10，12．所以周长为6＋8＋10＋12＝36．
18．1
【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可．
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵余下的矩形矩形，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
三、解答题
19．解：d与（1）相似，e与（2）相似
理由是：（1）图形是半圆，而在图形中，只有（d）是半圆，所以图形与图形相似；
图形（2）是由五个小正方形组成，而在图形中，只有（e）是由五个小正方形组成，所以图形与图形相似；
故答案是： d与（1）相似，e与（2）相似．
20．∵两个五边形相似，
∴相似比是，
∴，
解得，，，．
21．∵两个四边形相似，
∴20：5=x：6=y：7，
解得：x=24，y=28，
∵四边形内角和等于360°，
∴α= =75°，
∴x=24，y=28，α=75°．
22．解：∵四边形相似于四边形
∴，，， ，∴，，，，，
又∵
∴
综上，，，，，，．
23．解：∵四边形四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形四边形，
∴，∵，，
∴，解得．
∴．
24．解：如图，
设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y：，
解得x：y=：1．
25．解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵，，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°，，
∴，，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：9×12＝54．