九年级数学上册24.2比例线段同步测试-沪教版（含解析）

24.2比例线段
一、单选题
1．如图，若点D是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
2．已知点是线段的一个黄金分割点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如果点P把线段分割成和两段，下列数据能构成点P为线段黄金分割点的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（ ）
A．AP：BP=AB：AP B．
C． D．
5．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
6．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．点C是线段的黄金分割点（），若，则
8．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ．
9．点是线段上的一点，如果，，那么 ．
10．如图，若点，是线段的黄金分割点，，则的长度是 ．
11．已知线段，点P是它的黄金分割点，则的长为 ．
12．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ．
13．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比）．如图，B为的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号）
14．如图是意大利著名画家达 芬奇（年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内，图中四边形为正方形．已知点为线段的黄金分割点，且，．则 ．
15．如图所示，C是线段的黄金分割点，，D，E分别是，的中点．

（1）C也是线段 的黄金分割点；
（2）若线段的长为，线段 （结果不求近似值）．
16．如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ．
17．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯系统研究了黄金分割，其定义为：如图①，点C将线段分成两部分（），若，则称点C为线段的黄金分割点．如图②，在中，点D是边的黄金分割点（），且．若，则的长为 ．
18．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④．
请填写你认为正确的结论序号： ．
三、解答题
19．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．

20．已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长．
21．某校要设计一座高的雕像（如图），使雕像的点（肚脐）为线段（全身）的黄金分割点，上部（肚脐以上）与下部（肚脐以下）的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为多少（结果精确到）米． （，结果精确到）．
22．已知点C在线段AB上，且满足．
(1)若AB=1，求AC的长；
(2)若AC比BC大2，求AB的长．
23．如果一个矩形的宽长之比时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形是黄金矩形且，将矩形剪裁掉一个正方形后，剩余的四边形是否是黄金矩形？请说明理由.
24．中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．
(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；
(2)若，求的面积．（结果保留根号）
25．在中，，，把像这样的三角形叫做黄金三角形．
(1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）
注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．
(2)如图4中，平分交于，取的中点，连接并延长交的延长线于．试判断与之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．
答：与之间的数量关系是　　．
答案
一、单选题
1．D
【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义可得，即可求解．
【解析】解：∵点D是线段的黄金分割点（），，
∴．
故选：D
2．B
【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的比值是解题的关键，其中．根据黄金比是求出的长，即可得出答案．
【解析】解：∵点是线段的一个黄金分割点，
∴，
∴，
故选：B．
3．D
【分析】根据黄金分割的定义判断即可．
【解析】∵点P把线段分割成和两段，
∴，即，
∴，
A、∵，，
∴， 故A项错误；
B、∵，，
∴，故B项错误；
C、∵，，
∴，故C项错误；
D、∵，，
∴，故D项正确；
故选：D．
4．C
【分析】直接根据黄金分割的概念排除选项即可．
【解析】由题意得：
AP：BP=AB：AP，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，，故D正确．
故选C．
5．C
【分析】本题考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案．
【解析】解：点是线段的黄金分割点，
，
，
，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了黄金分割比，牢记黄金分割比是解题的关键．根据黄金分割比为求解即可．
【解析】解：∵是线段的黄金分割点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选B
二、填空题
7．
【分析】此题考查黄金分割，根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
【解析】解：由题意得：，
∵，，
∴，
解得：，负值已舍去．
故答案为．
8．
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金分割的概念、黄金比值为是解题的关键．根据黄金比值为计算即可．
【解析】解：点是线段的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了黄金分割，由题意得出点是的黄金分割点，得到，结合，，代入计算即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴点是的黄金分割点，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了黄金分割的定义，正确理解黄金分割的定义是解答本题的关键，根据黄金分割的定义，分别求得和的长，再根据，即可求得答案．
【解析】点，是线段的黄金分割点，
，，
．
11．1或
【分析】
本题考查的是黄金分割的概念，根据黄金比值计算即可．
【解析】解：∵点P是线段的黄金分割点，
当时，
，
当时，
，
故答案为：1或．
12．
【分析】本题考查了黄金分割点的应用，“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是” ，理解黄金分割点的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义列可得答案．
【解析】点是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．
由题意知，，即，计算求解即可．
【解析】解：由题意知，，即，
解得，，，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查黄金分割，由点为线段的黄金分割点，且可得，代入数据可求解．
【解析】解：∵点为线段的黄金分割点，且，，
∴
故答案为：
15．
【分析】（1）根据线段中点定义得，再根据点C是线段的黄金分割点，则，通过计算得，即可得到结论；
（2）根据点C是线段的黄金分割点，利用黄金比计算即可．
【解析】解：（1）分别是的中点，
，，
，
∵点C是线段的黄金分割点，，
，
，
，
，
，
，
即：，
∴点C是线段的黄金分割点；
（2），
，
点C是线段的黄金分割点，
，
，
．
故答案为：，．
16．
【分析】本题主要考查线段成比例的运算，黄金分割点的计算方法，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键．
根据点都是线段的黄金分割点，可得，根据线段的和差运算即可求解．
【解析】解：已知点为线段的黄金分割点，则（即），
∵点都是线段的黄金分割点，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查黄金分割以及等角对等边，根据点D是边的黄金分割点，可得出，再根据等角对等边可得出，代入求解即可．
【解析】解：∵点D是边的黄金分割点（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为．
18．①②③
【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键．
【解析】解：如图1，中，，，平分，
，，
和为相似的等腰三角形，
设，，
，
由相似得：，
（负值舍去），
点是线段的黄金分割点，
即：，，
∵BC=AD，
；
如图2，中，，，，
，，
和为相似的等腰三角形，
设，，则，
由相似得：，
（负值舍去），
点是线段的黄金分割点，
即：，，
，
；
如图，连接、、、、，
五边形为正五边形，，
，
，
，故①正确；
易证：，，
和为相似的等腰三角形，
由图2得：，
，故②正确；
由题得和为相似的等腰三角形，
由图2得：，
，
，
，故③正确；
在中，，，
由图1得：，
即：，故④错误，
故答案为：①②③．
三、解答题
19．解：设线段，较长的线段的长为，结合图形可得，
是线段的黄金分割点，
，即，
解得：（舍去负值），
，
答：黄金比为．
20．解：点P在线段上，，
点P是线段的黄金分割点，且，
，
线段的长度为，
．
21．解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为m．
依题意，得
解得（不合题意，舍去）．
经检验，是原方程的根．
∴雕像下部设计的高度应该为：．
22．（1）∵点C在线段AB上，且满足，
∴点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC=AB=，
∴AC的长为；
（2）∵AC比BC大2，
∴设AC=x,则BC=x-2，
∴AB=AC+BC=2x-2，
∵，
∴，
解得：（舍去），
∴AB=2x-2=，
∴AB的长为．
23．证明：设矩形的长为，
四边形为黄金矩形，
宽为，
四边形是正方形，
，
，
与的比是黄金比，
剩下的矩形也是一个黄金矩形
24．（1）证明：∵，，
又∵，
∴，
∴D是的黄金分割点；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．（1）解：如图所示：
（2）连接，如图：
∵在中，，，
∴，
∵平分交于，
∴，
∴，
∴
∵是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：