2024-2025学年北师大版八年级数学下册 1.1 课时3 等腰三角形的判定与反证法 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
北师大版八年级数学下册课件
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时3 等腰三角形的判定与反证法
1等腰三角形的判定
2反证法.（重点、难点）
3.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
4.通过实例体会反证法的含义.
学习目标
新课导入
D
A
B
C
1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
①等腰三角形是轴对称图形.
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边
上的高重合(也称为“三线合一”).
②等腰三角形的两个底角相等(简写成
“等边对等角”) .
2、等腰三角形有哪些性质？
既是性质又是判定
新课讲解
知识点1 等腰三角形的判定
思考
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，
那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角
形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
新课讲解
如图，在△ABC中，∠B=∠C.
作△ABC的角平分线AD.
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2，
∠B=∠C ，
AD=AD,
∴△BAD ≌△CAD (AAS).
∴ AB=AC.
新课讲解
1．判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角
形．(简称等角对等边)
应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C, ∴AB＝AC.
2．等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
新课讲解
知识点2 反证法
想一想
小李认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结
论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
新课讲解
1．定义
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与
定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，
从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反
证法．
2．利用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
新课讲解
3．适宜用反证法证明的命题
反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如
下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：
(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不
能有两个钝角；
(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；
(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命
题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．
课堂小结
1．等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前
提是在同一个三角形内．
2．利用反证法解题的一般步骤：
(1)假设；
(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定
理、公理等相矛盾的结果；
(3)结论：肯定命题结论正确.
(北师8下P8)我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？画画看，你发现了什么？
探索等腰三角形的判定定理
我们可以发现，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.
1.(北师8下P8、人教8上P77)如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.(提示：添加辅助线，构造全等三角形)
证法一：证明：如图1，作∠BAC的平分线，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
∵∠B=∠C，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
∴AB=AC.
图1
证法二：证明：如图2，过点A作BC的垂线，垂足为D.
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠B=∠C，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
∴AB=AC.
图2
等腰三角形的判定定理
定理 有两个角　　　　　的三角形是等腰三角形.
简述为：　　
几何 语言 如图，在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴　　　　 　
注意 判定等腰三角形的方法有两种：
一种是定义法，另一种是判定定理
　等角对等边　
相等
AB=AC
2.(北师8下P8、人教8上P92)如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△ABD≌△DCA（SSS）.
∴∠ADB=∠DAC.
∴AE=DE.∴△AED是等腰三角形.
反证法
定义 在证明时，先假设命题的　　　　不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法
证明 步骤 (1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，应用正确的推导方法，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；
(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立
结论
3.(1)用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角小于或等于45°”时，应先假设(　　)
A.直角三角形中两个锐角都大于45°
B.直角三角形中两个锐角都不大于45°
C.直角三角形中有一个锐角大于45°
D.直角三角形中有一个锐角不大于45°
(2)用反证法证明“等角对等边”，应先假设
　 .
A
在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边不相等
4.【例1】(创新题)如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直尺DEMN按如图所示的方式摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P.
(1)猜想：△DOP是　　　　三角形；
等腰
(2)补全下面证明过程：
∵OC平分∠AOB，
∴　　　　=　　　　.
∵DN∥EM，∴　　　　=　　　　.
∴　　　　=　　　　.∴　　　　=　　　　.
∴△DOP是　　　　三角形.
∠DOP
∠BOP
∠DPO
∠BOP　
∠DOP
∠DPO
DO
DP
等腰
　　　　　　　　　　　　　　　　
7.(2024西安期末)如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD.
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE.
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠B=90°，
∴∠BDE=∠B，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形.
小结：遇到角平分线+平行线，可构造等腰三角形.
8.(北师8下P9)已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于.
证明：假设这五个正数没有一个大于或等于，即都小于，不妨设这五个正数分别为a，b，c，d，e，则a<，b<，c<，d<，e<.
∴a+b+c+d+e<1，这与已知条件a+b+c+d+e=1相矛盾.
∴假设不成立，
∴这五个正数中至少有一个大于或等于.
6.【例3】(北师8下P34改编、人教8上P34)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵∠DFB=∠EFC，∠ABE=∠ACD，BD=CE，
∴△DFB≌△EFC（AAS）.∴FB=FC.
∴∠FBC=∠FCB.
∴∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD，即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
请完成本节课后对应习题
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