2024-2025学年北师大版八年级数学下册课件 1.1 等腰三角形（课时4） 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质（28张PPT）

(共28张PPT)
北师大版八年级数学下册课件
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
课时4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
1等边三角形的判定
2含30°角的直角三角形的性质.（重点、难点）
3探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.
4.探索并证明定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
学习目标
新课导入
等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于
60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别
为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度
相等．
新课讲解
知识点1 等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等
腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的
结论，并与同伴交流.
新课讲解
定理　三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理　有一个角等于60°的等腰三角形是等
边三角形.
新课讲解
1．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；
判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等
边三角形．
2．应用注意事项：
判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用
的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择
适当的方法．
新课讲解
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
做一做
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一
个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此
你能发现什么结论？说说你的理由.
新课讲解
定理　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角 边等于斜边的一半.
新课讲解
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
要点精析：
(1)适用条件——含30°角的直角三角形，
(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关系．
课堂小结
等边三角形的判定方法：
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2) 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半．
拓展与延伸
已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是(　　)
A．直角三角形　 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形　　 D．等边三角形
D
拓展与延伸
分析：
如图，连接PO.
∵点P1与P关于OB对称，
∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.
同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.
∴OP1＝OP2，
∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB
＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.
∴△OP1P2为等边三角形．
(1)由等边三角形的定义判定：三边都　　　　的三角形是等边三角形.
(2)三个角都 的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是　　　　的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形的判定
相等
相等
60°
1.下列条件中，不能得到等边三角形的是(　　)
A.有两个角是60°的三角形
B.有一个角是60°的等腰三角形
C.有两个外角相等的等腰三角形
D.三边都相等的三角形
C
(1)等边三角形的性质：
①角：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
②边：等边三角形的三边都相等，是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.
(2)等边三角形的判定：
①三边相等→等边三角形；
②三角相等→等边三角形；
③等腰三角形+一个60°内角→等边三角形.
等边三角形的性质和判定的归纳
2.(北师8下P12、人教8上P80)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE与边AB，AC分别交于点D，E，求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
　　　　　　　　.
几何语言：如图，∵在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=AB或AB=2BC.
含30°角的直角三角形的性质
斜边的一半
3.如图，在△ABC中，∠C=90°.
(1)若∠A=30°，AB=8，则BC=　　　　　；
(2)若∠B=60°，BC=3，则AB=　　　　　.
4
6
注意：
(1)应用性质的前提条件必须是直角三角形；
(2)准确找出30°角所对的边.
有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用
4.(跨学科融合)(北师8下P13、人教8上P81)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°，则立柱BC=　　　　m，DE=　　　　m.
3.7
1.85
6.【例2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD的长.
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，AB=4，
∴BC=AB=×4=2.
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
故∠BCD=∠A=30°，
∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1.
9.如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC.
提示：“转化思想”的应用.
证明：连接BD.
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∴∠A=∠ABD.
∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=×（180°－20°）=30°，
∴∠ABD=30°，∴∠DBC=120°－30°=90°，
∴BD=DC，∴AD=DC.
7.【例3】(北师8下P35、人教8上P93)如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD=BE=CF.求证：△DEF是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°.
又∵AD=BE=CF，∴BD=CE=AF.
在△DBE和△ECF中，
∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE=EF，
同理EF=FD，∴DE=EF=FD，
∴△DEF是等边三角形.
请完成本节课课后对应习题
布置作业
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