浙江省绍兴上虞区2024年九年级下学期初中毕业生学业水平测试数学试卷
1．（2024·上虞模拟）要使运筫式子“”成立，则“”内应填入的数是（ ）．
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：∵
∴.
故答案为：A.
【分析】一个加数=和-另一个加数，据此解答即可.
2．（2024·上虞模拟）上虞越窑青瓷的历史文化渊源流长．如图是一只平放在水平桌面上的青花瓷碗，它的主视图是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
3．（2024·上虞模拟）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；多项式除以单项式；完全平方式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原式=a-b，故A错误，
B、原式=3a3，故B正确；
C、原式=a2+2ab+6，故C错误；
D、原式=a6，故D错误；
故答案选：B.
【分析】A.多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；
B.单项式乘以单项式，系数相乘，同底数幂相乘；
C.完全平方公式：(a ± b)2= a2±2ab+b2；
D.幂的乘方，底数不变，指数相乘.
4．（2024·上虞模拟）在周长为24的菱形中，若，则的长为（ ）．
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
5．（2024·上虞模拟）为做好“上虞氧气吉象音乐节”的安保工作，某基层公安派出所需从2名男警和2名女警中抽调两人前去音乐节现场做志愿者．则恰好抽到一名男警和一名女警的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
6．（2024·上虞模拟）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”。意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶，1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，则下列方程组正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，
∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，
∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒3斛，
∴x+5y=2，
∴得到方程组：，
故答案选：A.
【分析】设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，根据大小桶所盛酒的数量列方程即可.
7．（2024·上虞模拟）已知点，，都在二次函数的图象上，点在点的左侧，则下列选项正确的是（ ）．
A．若，则． B．若，则．
C．若，则． D．若，则．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令y=2得：(x-1)2-2=2，
(x-1)2=4，
解得：x=-1或x=3，
∵A点在B点的左边，
∴a=-1，b=3，
令y=7得：(x-1)2-2=7，
(x-1)2=9，
解得：x=-2或x=4，
当c<0时，c=-2，此时c
当c>0时，c=4，此时aA，若c<0，则cB，若c<0，则cC，若c>0，则aD，若c>0，则a【分析】先解出a、b、c的值，再比较大小.
8．（2024·上虞模拟）如图，在四边形ABCD过分别是对角线AC，BD的中点，连结MB，MD，MN．则下列判断不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，M为AC的中点，
∴MB=AC，MD=AC，即MB=MD，故A正确；
∵MB=MD，N是BD的中点，
∴MN⊥BD，故B正确；
在Rt△ABC中，M为AC的中点，
∴AM=BM，
∴∠BAC=∠ABM，
∴∠BMC=∠BAC+∠ABM=2∠BAC，故C正确；
当∠BMD=90°时，BM=MD，N是BD的中点，则MN=BD，
没有条件说明∠BMD=90°，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得AM=MB=MD=AC，由N是BD的中点，利用等腰三角形的性质可得∠BAC=∠ABM，MN⊥BD，根据三角形外角的性质可得∠BMC=∠BAC+∠ABM=2∠BAC，故A、B、C正确，而当∠BMD=90°时，则MN=BD，故不一定正确.
9．（2024·上虞模拟）点，是一次函数图象上的两点，若点在如图的位置，则下列可能表示的点是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，2a+1=b，2c+1=d，
∴(3a，3b)即为(3a，6a+3)，(3c，3d)即为(3c，6c+3)，则点P和所求点在直线y=2x+3上.
∵直线y=2x+3与y=2x+1平行，
∴点B可能表示(3c，3d).
故答案为：B.
【分析】利用点M在直线上的条件求解b的表达式，利用点P的坐标确定其在直线上的位置，接着，利用直线的平行关系确定点(3c，3d)的位置，通过观察题图即可确定答案.
10．（2024·上虞模拟）如图，在由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”印，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，连结HF并延长，分别交边AD，BC于点M，N．若，则MN的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，FG=GH=EH=EF=2，∠FEH=∠EFG=90°，∠GFH=45°，
∴FH=EF=2，∠AFB=90°，∠BFN=∠GFH=45°，
∵Rt△AED≌Rt△BFA≌Rt△CGB≌Rt△DHC，且tan∠BAF==，
∴AE=BF=AF，∠CBG=∠BAF，
∴BF=AE=EF=2，tan∠CBG=tan∠BAF=，
过点N作NP⊥BG于点P，如图：
则∠BPN=∠FPN=90°，∠PFN=∠PNF=45°，
∴tan∠CBG==，FN=PF=PN，即BP=2PN，
∵BF=BP+FP，
∴2PN+PN=2，
∴PN=，FN=，
同理可得：MH=，
∴MN=MH+FH+MH=+2+=.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质、全等三角形的性质及勾股定理可求FH=2，∠BFN=∠GFH=45°，BF=AE=EF=2，tan∠CBG=tan∠BAF=，过点N作NP⊥BG于点P，可得FN=PF=PN，利用解直角三角形可求BP=2PN，由BF=BP+FP可得2=2PN+PN，可求PN长，同理可得MH，根据MN=MH+FH+MH即可求解.
11．（2024·上虞模拟）分解因式：
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
12．（2024·上虞模拟）不等式的解是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：2(1+x)< 6，
2+2x<6，
2x<6-2，
2x<4，
x<2.
故答案为：x<2.
【分析】不等式去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解.
13．（2024·上虞模拟）如图，将一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则 ．
【答案】20°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵ 直尺 的对边平行，∠2=50°，
∴∠4=∠2=50°，
∵∠1=30°，
∴∠3=∠4-∠1=20°.
故答案为：20.
【分析】由平行线的性质可得∠4=∠2=50°，再利用三角形外角的性质可得∠3=∠4-∠1，即可求解.
14．（2024·上虞模拟）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠于点，并使较长边与相切于点．记角尺的直角顶点为，量得，，则的半径长为 ．
【答案】20
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：设圆的半径为rcm，
如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，
∵∠ADC=∠DCB=∠B=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，
∴CD=AB=8cm，AD=BC=16cm，
∴OD=(r-8)cm，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
即r2=(r-8)2+16，
解得：r=20，
即该圆的半径为 20cm.
故答案为：20.
【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2=(r-8)2+162，求出r即可.
15．（2024·上虞模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点．则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求余弦值
16．（2024·上虞模拟）如图，反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴的正半轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，点经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上．则的值为 ．
【答案】
【知识点】轴对称的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
∵点A坐标为(-1，1)，
∴k=-1×1--1，
∴反比例函数解析式为，
∵OB=AB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB =45°，
∵PO⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B'关于直线l对称，
∴PB=PB'， BB'⊥PQ，
∴∠B'PQ=∠OPQ=45°，∠B'PB=90°，
∴B'P⊥y轴，
∴点B'的坐标为，
∵PB=PB'，
∴，
整理得t2-t-1=0，解得，(不符合题意，舍去)，
∴t的值为.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为(-1，1)得到k=-1，即反比例函数解析式为，且OB=1，则可判断△OAB为直角三角形，所以∠AOB=60°，再利用PO⊥OA可得到∠OPO=30°，然后轴对称的性质得PB=PB'，BB'⊥PO，所以∠BPQ=∠B'PO=30°，于是得到B'P⊥y轴，则点B'的坐标可表示为，于是利用PB=PB'得，然后解方程可得到满足条件的t的值.
17．（2024·上虞模拟）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式
（2）解：4x=x+1
3x-1=0
经检验，是原分式方程的解，
∴原方程的解为
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 (1)先根据特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
18．（2024·上虞模拟）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，P各点都在格点上请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图.
（1）找出格点D，连结CD，AD，使四边形ABCD是平行四边形.
（2）过点Р作一条直线l，使直线l平分平行四边形ABCD的周长和面积.
【答案】（1）解：如图，取格点D，使AD=BC，AD∥BC，连接AD，CD，
则四边形ABCD是平行四边形.
（2）解：如图，连接AC、BD交于点O，过点P，O画直线L即可.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图，取格点D，使AD=BC且AD∥BC，则四边形ABCD即为所求；
（2）连接AC、BD交于点O，过点PO画直线L即可.
19．（2024·上虞模拟）为进一步增强学生的自我保护意识，某校组织七、八年级学生开展“校园安全知识竞赛”.本次竞赛满分为10分，所有学生的成绩均为整数分，9分及以上为优秀等级.在两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计整理，获得如下统计图表.
七年级抽取学生的竞赛成绩统计表
成绩（分） 4 6 7 8 9 10
个数 2 4 3 6 3 2
七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 7.4 7.4
中位数 8 a
众数 b 7
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= .
（2）该校七、八年级共有学生1000名，估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数．
（3）你认为哪个年级的学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好 请说明理由．
【答案】（1）7.5；8
（2）解：人．
所以估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数为250人．
（3）解：七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
理由如下：从平均数来看，两年级相同．从“中位数”“众数”这两个统计量来看，七年级均高于八年级，从而说明七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）将八年级竞赛成绩从小到大排列，第10个数据和第11个数据分别为7和8，
∴a==7.5，
由统计表知：七年级抽取学生竞赛成绩8出现6次，此时最多，则众数b=8.
故答案为：7.5；8.
【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可；
（2）利用样本中七八年级优秀人数所占比例，乘以1000即得结论；
（3）根据平均数、中位数、众数的意义解答即可.
20．（2024·上虞模拟）某款便捷式手机支架如图1所示，通过调节两支架夹角的大小可改变手机屏幕的高度．图2是该款手机支架的平面示意图，已知，．
（1）当时，求点到水平桌面的距离．
（2）当由调整到时，则点到水平桌面的距离将抬高多少？（结果精确到．参考数据：，，．）
【答案】（1）解：如图1，当时，，．
过点作于点，
在中，，，
．
点到水平桌面的距离为
（2）解：如图2，当由调整到时，则，
过点作于点，，
在中，，，
．
当由调整到时，点到水平桌面的距离将抬高
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
21．（2024·上虞模拟）图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min内只进水不出水，在接下来的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：min）之间的关系如图2所示．
（1）当时，求关于的函数解析式．
（2）当容器内的水量为时，求对应的时间．
（3）每分钟的进水和出水各是多少升
【答案】（1）解：当时，设关于的函数解析式为，
两点在函数图象上，
．
关于的函数解析式为．
（2）解：当容器内的水量为时，即，由（1）知，
对应的时间
（3）解：每分钟的进水量为．
每分钟的出水量为
每分钟的进水量为，出水量为．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）解析式，求出y=26时x值即可；
（3）由前4分钟的图象求出每分钟的进水量，再根据后8分钟的水量变化求出每分钟的出水量即可.
22．（2024·上虞模拟）【特例发现】正方形ABCD与正方形AEFG如图1所示放置，G，A，B三点在同一直线上，点在边AD上，连结BE，DG通过推理证明，我们可得到两个结论：①BE=DG；②BE⊥DG.
（1）【旋转探究】将正方形AEFG绕点按顺时针方向旋转一定角度到图2所示的位置，则在“特例发现”中所得到的关于BE与DG的两个结论还成立吗 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
（2）【迁移拓广】如图3，在矩形ABCD与矩形AEFG中，鄀．连结BE，DG．探索线段BE与线段DG存在怎样的数量关系和位置关系 为什么
（3）【联想发散】如图与均为正三角形，连结BD，CE．则线段BD与线段CE的数垍关系是 ；直线BD与直线CE相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为 ．
【答案】（1）解：结论仍然成立．理由如下：
在正方形ABCD与正方形AEFG中，
，
延长DG交AB于点，交BE于点，
在与中，
（2）解：有结论：①；②．
理由如下：
（3）；
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图，延长BD交CE的延长线于点O，CO交AD于J，
∵ △ABC与均为正三角形 ，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∴∠JDO=∠AEJ，
∵∠EJA=∠DJO，
∴∠O=∠EAD=60°
∴BD=CE， 直线BD与直线CE相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为60°.
故答案为：BD=CE，60°.
【分析】（1）先证（SAS），可得延长DG交AB于点，交BE于点，利用角的转化可推出，继而得解；
（2）由矩形的性质及AB=2AD，AE=2AG，证得，于是有以及 再利用角的转化可推出继而得解；
（3）延长BD交CE的延长线于点O，CO交AD于J，证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，∠ADB=∠AEC，利用角的转化可得∠O=∠EAD，继而得解.
23．（2024·上虞模拟）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，．
（1）填空：该二次函数的解析式为 ．
（2）已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由．
（3）过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积．
【答案】（1）
（2）解：，两点在该二次函数的图象上，
，，
又，，，
．
，，
（3）解：，，．．
设，则，．
下分两种情况：
①当时，即，如图1．
，，，
，解得：，．（均不合题意，舍去）
②当时，若，如图2．
，，，
，解得：（不合题意，舍去），．
此时以，，，为顶点的四边形的面积为．
若，如图3．
，，，
，解得：（不合题意，舍去），．
此时以，，，为顶点的四边形的面积为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)∵OC=3，
∴C(0，3)，
∵当x=1时，y=0，
∴A(1，0)，
把A(1，0)，C(0，3)代入y=x2+bx+c中得，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3；
【分析】(1)先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
(2)先求出12-x2，即可得到y1>y2；
(3)先求出点B的坐标，再求出直线BC解析式为y=-x+3，设P(m，-m+3)，则M(m，0)，N(m，m2-4m+3)，则PM=|-m+3|，MN=|m2-4m+3|，根据，得到|m2-4m+3|=3|-m+3|，解方程求出m的值从而确定点PM的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可.
24．（2024·上虞模拟）如图，内接于，，与直径交于点．
（1）如图1，若，．则的长为 ．
（2）如图2，在上取点，使，连结并延长交于点．求证：平分．
（3）如图3，在（2）的条件下，已知，．求线段的长．
【答案】（1）4
（2）解：如图1，
，，
，，
．即平分
（3）解：，不妨设，则，
如图2，延长交的延长线于点，连结，
是直径，，又平分，
，，
而为等腰三角形，，
，，，
由，与均为等腰三角形，
，，
而，，，
而，
，，解得（负值已舍去）．
，，，
由（2）知，点是弧的中点，，
在中，，，，．
，，，，
，．
．
线段的长为
【知识点】相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，连接BO，
∵∠C=45°，
∴∠BOA=90°，即：B是的中点，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∵∠BAC=60°
∴∠ABC=75°，∠OBE=75°-45°=30°，
在Rt△BOE中，
∵∠OBE=30°，
∴BE=2OE=4；
故答案为：4.
【分析】(1)如图，连接BO，∠BAC=60°，可得∠ABC=75°，∠OBE=75°-45°=30°，即可求解；
(2)如图2，∠BGA=∠C+∠FAC=45°+∠FAC，∠BAC=∠BAD+∠DAE=45°+∠DAF，而BG=BA，∠BGA=∠BAC，∠FAC=∠DAF即可求解；
(3)证△FCH∽△ADH和△ABE∽△CAB即可求解.
1 / 1浙江省绍兴上虞区2024年九年级下学期初中毕业生学业水平测试数学试卷
1．（2024·上虞模拟）要使运筫式子“”成立，则“”内应填入的数是（ ）．
A．-2 B．2 C． D．
2．（2024·上虞模拟）上虞越窑青瓷的历史文化渊源流长．如图是一只平放在水平桌面上的青花瓷碗，它的主视图是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2024·上虞模拟）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2024·上虞模拟）在周长为24的菱形中，若，则的长为（ ）．
A．3 B．6 C． D．
5．（2024·上虞模拟）为做好“上虞氧气吉象音乐节”的安保工作，某基层公安派出所需从2名男警和2名女警中抽调两人前去音乐节现场做志愿者．则恰好抽到一名男警和一名女警的概率是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024·上虞模拟）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”。意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶，1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，则下列方程组正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2024·上虞模拟）已知点，，都在二次函数的图象上，点在点的左侧，则下列选项正确的是（ ）．
A．若，则． B．若，则．
C．若，则． D．若，则．
8．（2024·上虞模拟）如图，在四边形ABCD过分别是对角线AC，BD的中点，连结MB，MD，MN．则下列判断不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·上虞模拟）点，是一次函数图象上的两点，若点在如图的位置，则下列可能表示的点是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2024·上虞模拟）如图，在由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”印，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，连结HF并延长，分别交边AD，BC于点M，N．若，则MN的长为（ ）．
A． B． C． D．
11．（2024·上虞模拟）分解因式：
12．（2024·上虞模拟）不等式的解是 ．
13．（2024·上虞模拟）如图，将一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则 ．
14．（2024·上虞模拟）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠于点，并使较长边与相切于点．记角尺的直角顶点为，量得，，则的半径长为 ．
15．（2024·上虞模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点．则的值为 ．
16．（2024·上虞模拟）如图，反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴的正半轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，点经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上．则的值为 ．
17．（2024·上虞模拟）（1）计算：．
（2）解方程：．
18．（2024·上虞模拟）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，P各点都在格点上请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图.
（1）找出格点D，连结CD，AD，使四边形ABCD是平行四边形.
（2）过点Р作一条直线l，使直线l平分平行四边形ABCD的周长和面积.
19．（2024·上虞模拟）为进一步增强学生的自我保护意识，某校组织七、八年级学生开展“校园安全知识竞赛”.本次竞赛满分为10分，所有学生的成绩均为整数分，9分及以上为优秀等级.在两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计整理，获得如下统计图表.
七年级抽取学生的竞赛成绩统计表
成绩（分） 4 6 7 8 9 10
个数 2 4 3 6 3 2
七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 7.4 7.4
中位数 8 a
众数 b 7
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= .
（2）该校七、八年级共有学生1000名，估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数．
（3）你认为哪个年级的学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好 请说明理由．
20．（2024·上虞模拟）某款便捷式手机支架如图1所示，通过调节两支架夹角的大小可改变手机屏幕的高度．图2是该款手机支架的平面示意图，已知，．
（1）当时，求点到水平桌面的距离．
（2）当由调整到时，则点到水平桌面的距离将抬高多少？（结果精确到．参考数据：，，．）
21．（2024·上虞模拟）图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min内只进水不出水，在接下来的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：min）之间的关系如图2所示．
（1）当时，求关于的函数解析式．
（2）当容器内的水量为时，求对应的时间．
（3）每分钟的进水和出水各是多少升
22．（2024·上虞模拟）【特例发现】正方形ABCD与正方形AEFG如图1所示放置，G，A，B三点在同一直线上，点在边AD上，连结BE，DG通过推理证明，我们可得到两个结论：①BE=DG；②BE⊥DG.
（1）【旋转探究】将正方形AEFG绕点按顺时针方向旋转一定角度到图2所示的位置，则在“特例发现”中所得到的关于BE与DG的两个结论还成立吗 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
（2）【迁移拓广】如图3，在矩形ABCD与矩形AEFG中，鄀．连结BE，DG．探索线段BE与线段DG存在怎样的数量关系和位置关系 为什么
（3）【联想发散】如图与均为正三角形，连结BD，CE．则线段BD与线段CE的数垍关系是 ；直线BD与直线CE相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为 ．
23．（2024·上虞模拟）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，．
（1）填空：该二次函数的解析式为 ．
（2）已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由．
（3）过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积．
24．（2024·上虞模拟）如图，内接于，，与直径交于点．
（1）如图1，若，．则的长为 ．
（2）如图2，在上取点，使，连结并延长交于点．求证：平分．
（3）如图3，在（2）的条件下，已知，．求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：∵
∴.
故答案为：A.
【分析】一个加数=和-另一个加数，据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；多项式除以单项式；完全平方式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、原式=a-b，故A错误，
B、原式=3a3，故B正确；
C、原式=a2+2ab+6，故C错误；
D、原式=a6，故D错误；
故答案选：B.
【分析】A.多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；
B.单项式乘以单项式，系数相乘，同底数幂相乘；
C.完全平方公式：(a ± b)2= a2±2ab+b2；
D.幂的乘方，底数不变，指数相乘.
4．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
5．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，
∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，
∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒3斛，
∴x+5y=2，
∴得到方程组：，
故答案选：A.
【分析】设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，根据大小桶所盛酒的数量列方程即可.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令y=2得：(x-1)2-2=2，
(x-1)2=4，
解得：x=-1或x=3，
∵A点在B点的左边，
∴a=-1，b=3，
令y=7得：(x-1)2-2=7，
(x-1)2=9，
解得：x=-2或x=4，
当c<0时，c=-2，此时c当c>0时，c=4，此时aA，若c<0，则cB，若c<0，则cC，若c>0，则aD，若c>0，则a【分析】先解出a、b、c的值，再比较大小.
8．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，M为AC的中点，
∴MB=AC，MD=AC，即MB=MD，故A正确；
∵MB=MD，N是BD的中点，
∴MN⊥BD，故B正确；
在Rt△ABC中，M为AC的中点，
∴AM=BM，
∴∠BAC=∠ABM，
∴∠BMC=∠BAC+∠ABM=2∠BAC，故C正确；
当∠BMD=90°时，BM=MD，N是BD的中点，则MN=BD，
没有条件说明∠BMD=90°，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得AM=MB=MD=AC，由N是BD的中点，利用等腰三角形的性质可得∠BAC=∠ABM，MN⊥BD，根据三角形外角的性质可得∠BMC=∠BAC+∠ABM=2∠BAC，故A、B、C正确，而当∠BMD=90°时，则MN=BD，故不一定正确.
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，2a+1=b，2c+1=d，
∴(3a，3b)即为(3a，6a+3)，(3c，3d)即为(3c，6c+3)，则点P和所求点在直线y=2x+3上.
∵直线y=2x+3与y=2x+1平行，
∴点B可能表示(3c，3d).
故答案为：B.
【分析】利用点M在直线上的条件求解b的表达式，利用点P的坐标确定其在直线上的位置，接着，利用直线的平行关系确定点(3c，3d)的位置，通过观察题图即可确定答案.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，FG=GH=EH=EF=2，∠FEH=∠EFG=90°，∠GFH=45°，
∴FH=EF=2，∠AFB=90°，∠BFN=∠GFH=45°，
∵Rt△AED≌Rt△BFA≌Rt△CGB≌Rt△DHC，且tan∠BAF==，
∴AE=BF=AF，∠CBG=∠BAF，
∴BF=AE=EF=2，tan∠CBG=tan∠BAF=，
过点N作NP⊥BG于点P，如图：
则∠BPN=∠FPN=90°，∠PFN=∠PNF=45°，
∴tan∠CBG==，FN=PF=PN，即BP=2PN，
∵BF=BP+FP，
∴2PN+PN=2，
∴PN=，FN=，
同理可得：MH=，
∴MN=MH+FH+MH=+2+=.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质、全等三角形的性质及勾股定理可求FH=2，∠BFN=∠GFH=45°，BF=AE=EF=2，tan∠CBG=tan∠BAF=，过点N作NP⊥BG于点P，可得FN=PF=PN，利用解直角三角形可求BP=2PN，由BF=BP+FP可得2=2PN+PN，可求PN长，同理可得MH，根据MN=MH+FH+MH即可求解.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：2(1+x)< 6，
2+2x<6，
2x<6-2，
2x<4，
x<2.
故答案为：x<2.
【分析】不等式去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解.
13．【答案】20°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵ 直尺 的对边平行，∠2=50°，
∴∠4=∠2=50°，
∵∠1=30°，
∴∠3=∠4-∠1=20°.
故答案为：20.
【分析】由平行线的性质可得∠4=∠2=50°，再利用三角形外角的性质可得∠3=∠4-∠1，即可求解.
14．【答案】20
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：设圆的半径为rcm，
如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，
∵∠ADC=∠DCB=∠B=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，
∴CD=AB=8cm，AD=BC=16cm，
∴OD=(r-8)cm，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
即r2=(r-8)2+16，
解得：r=20，
即该圆的半径为 20cm.
故答案为：20.
【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2=(r-8)2+162，求出r即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求余弦值
16．【答案】
【知识点】轴对称的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
∵点A坐标为(-1，1)，
∴k=-1×1--1，
∴反比例函数解析式为，
∵OB=AB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB =45°，
∵PO⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B'关于直线l对称，
∴PB=PB'， BB'⊥PQ，
∴∠B'PQ=∠OPQ=45°，∠B'PB=90°，
∴B'P⊥y轴，
∴点B'的坐标为，
∵PB=PB'，
∴，
整理得t2-t-1=0，解得，(不符合题意，舍去)，
∴t的值为.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为(-1，1)得到k=-1，即反比例函数解析式为，且OB=1，则可判断△OAB为直角三角形，所以∠AOB=60°，再利用PO⊥OA可得到∠OPO=30°，然后轴对称的性质得PB=PB'，BB'⊥PO，所以∠BPQ=∠B'PO=30°，于是得到B'P⊥y轴，则点B'的坐标可表示为，于是利用PB=PB'得，然后解方程可得到满足条件的t的值.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：4x=x+1
3x-1=0
经检验，是原分式方程的解，
∴原方程的解为
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 (1)先根据特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
18．【答案】（1）解：如图，取格点D，使AD=BC，AD∥BC，连接AD，CD，
则四边形ABCD是平行四边形.
（2）解：如图，连接AC、BD交于点O，过点P，O画直线L即可.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图，取格点D，使AD=BC且AD∥BC，则四边形ABCD即为所求；
（2）连接AC、BD交于点O，过点PO画直线L即可.
19．【答案】（1）7.5；8
（2）解：人．
所以估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数为250人．
（3）解：七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
理由如下：从平均数来看，两年级相同．从“中位数”“众数”这两个统计量来看，七年级均高于八年级，从而说明七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）将八年级竞赛成绩从小到大排列，第10个数据和第11个数据分别为7和8，
∴a==7.5，
由统计表知：七年级抽取学生竞赛成绩8出现6次，此时最多，则众数b=8.
故答案为：7.5；8.
【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可；
（2）利用样本中七八年级优秀人数所占比例，乘以1000即得结论；
（3）根据平均数、中位数、众数的意义解答即可.
20．【答案】（1）解：如图1，当时，，．
过点作于点，
在中，，，
．
点到水平桌面的距离为
（2）解：如图2，当由调整到时，则，
过点作于点，，
在中，，，
．
当由调整到时，点到水平桌面的距离将抬高
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
21．【答案】（1）解：当时，设关于的函数解析式为，
两点在函数图象上，
．
关于的函数解析式为．
（2）解：当容器内的水量为时，即，由（1）知，
对应的时间
（3）解：每分钟的进水量为．
每分钟的出水量为
每分钟的进水量为，出水量为．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）解析式，求出y=26时x值即可；
（3）由前4分钟的图象求出每分钟的进水量，再根据后8分钟的水量变化求出每分钟的出水量即可.
22．【答案】（1）解：结论仍然成立．理由如下：
在正方形ABCD与正方形AEFG中，
，
延长DG交AB于点，交BE于点，
在与中，
（2）解：有结论：①；②．
理由如下：
（3）；
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图，延长BD交CE的延长线于点O，CO交AD于J，
∵ △ABC与均为正三角形 ，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∴∠JDO=∠AEJ，
∵∠EJA=∠DJO，
∴∠O=∠EAD=60°
∴BD=CE， 直线BD与直线CE相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为60°.
故答案为：BD=CE，60°.
【分析】（1）先证（SAS），可得延长DG交AB于点，交BE于点，利用角的转化可推出，继而得解；
（2）由矩形的性质及AB=2AD，AE=2AG，证得，于是有以及 再利用角的转化可推出继而得解；
（3）延长BD交CE的延长线于点O，CO交AD于J，证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，∠ADB=∠AEC，利用角的转化可得∠O=∠EAD，继而得解.
23．【答案】（1）
（2）解：，两点在该二次函数的图象上，
，，
又，，，
．
，，
（3）解：，，．．
设，则，．
下分两种情况：
①当时，即，如图1．
，，，
，解得：，．（均不合题意，舍去）
②当时，若，如图2．
，，，
，解得：（不合题意，舍去），．
此时以，，，为顶点的四边形的面积为．
若，如图3．
，，，
，解得：（不合题意，舍去），．
此时以，，，为顶点的四边形的面积为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)∵OC=3，
∴C(0，3)，
∵当x=1时，y=0，
∴A(1，0)，
把A(1，0)，C(0，3)代入y=x2+bx+c中得，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3；
【分析】(1)先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
(2)先求出12-x2，即可得到y1>y2；
(3)先求出点B的坐标，再求出直线BC解析式为y=-x+3，设P(m，-m+3)，则M(m，0)，N(m，m2-4m+3)，则PM=|-m+3|，MN=|m2-4m+3|，根据，得到|m2-4m+3|=3|-m+3|，解方程求出m的值从而确定点PM的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可.
24．【答案】（1）4
（2）解：如图1，
，，
，，
．即平分
（3）解：，不妨设，则，
如图2，延长交的延长线于点，连结，
是直径，，又平分，
，，
而为等腰三角形，，
，，，
由，与均为等腰三角形，
，，
而，，，
而，
，，解得（负值已舍去）．
，，，
由（2）知，点是弧的中点，，
在中，，，，．
，，，，
，．
．
线段的长为
【知识点】相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，连接BO，
∵∠C=45°，
∴∠BOA=90°，即：B是的中点，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∵∠BAC=60°
∴∠ABC=75°，∠OBE=75°-45°=30°，
在Rt△BOE中，
∵∠OBE=30°，
∴BE=2OE=4；
故答案为：4.
【分析】(1)如图，连接BO，∠BAC=60°，可得∠ABC=75°，∠OBE=75°-45°=30°，即可求解；
(2)如图2，∠BGA=∠C+∠FAC=45°+∠FAC，∠BAC=∠BAD+∠DAE=45°+∠DAF，而BG=BA，∠BGA=∠BAC，∠FAC=∠DAF即可求解；
(3)证△FCH∽△ADH和△ABE∽△CAB即可求解.
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