2024-2025学年人教版八年级数学下册 16.1 课时1 二次根式的概念及其有意义的条件 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
北师大版八年级数学下册课件
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
课时1 二次根式的概念及其有意义的条件
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
学习目标
新课讲解
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m．
新课讲解
知识点1 二次根式的概念及有意义的条件
合作探究
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示2，S，3， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
新课讲解
归纳
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
新课讲解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
新课讲解
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
新课讲解
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
新课讲解
归纳
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0.
新课讲解
知识点2 二次根式的双重非负性
问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
新课讲解
归纳
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
新课讲解
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
归纳
课堂小结
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且
≥0
当堂小练
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值
为______．
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
-1
0
当堂小练
4.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
一般地，我们把形如(a　　　　0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
二次根式
≥
1．下列各式是二次根式的是(　　)
A．　 B．　
C．　 D．a2
B
(1)二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．如可以写作．
(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．
正确理解二次根式的概念
2．下列各式是二次根式的是(　　)
A． B．　
C． D．
3．若是二次根式，则a的值不可以是(　　)
A．0　 B．　
C．90　 D．-2.1
C
D
(1)有意义 a≥　　　　．

(2)在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件．

(3)式子表示非负数a的算术平方根．
二次根式有意义的条件
0
4．(2024云南)若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为(　　)
A．x≥0 B．x≤0 C．x>0 D．x<0
A
8．【例2】当a取何值时，下列根式有意义
(1);　 (2);　 (3)．
解：(1)由题意得≥0，解得a≥-1.　
(2)由题意得≥0且2-a≠0，解得a<2.
(3)由题意得(a-1)2≥0，则a是任意实数.
小结:要使二次根式有意义,就要使其被开方数为非负数.
15．(2024烟台)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　．
16．(2024广西模拟改编)已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是　　　 　．
x>1
1(或2或3)
9．【例3】要使下列式子有意义，求a的取值范围．
(1)+; (2); (3)．
解：(1)由题意得a+1≥0且2-a≥0，解得-1≤a≤2.
(2)由题意得a+1≥0且2-a≠0，解得a≥-1且a≠2.
(3)由题意得a+1≥0且2-a>0，解得-1≤a<2.
小结:根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式(组)求解.
(核心教材母题：人教8下P2、北师8上P26)(跨学科融合)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h=5t2．如图，有一铁球从20 m高的建筑物上自由下落，到达地面需要　　　　s．
2
核心教材母题:教材是新中考命题的依据,近年来中考数学卷中都有较多题的素材来源于人教版和北师大版.本书将两个版本重合的教材母题进行汇总,并作为课堂例习题呈现.
★． (人教8下P3、北师8上P51)(运算能力)要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2，它的长与宽各应取多少
解：设长方形的长为3x cm，宽为2x cm，
根据边长与面积的关系，得3x·2x=18，6x2=18，x=±，
因为边长不能为负数，所以x=，所以3x=3，2x=2.
答：它的长是3 cm，宽是2 cm.
备注：每课时带★的题目为提高题．(难度系数越小，题目越难)
请完成本课课对应习题
布置作业
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