2024-2025学年人教版八年级数学下册 16.1 课时2 二次根式的性质 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
北师大版八年级数学下册课件
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
课时2 二次根式的性质
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想
的思想方法.（重点）
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
3了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义．
学习目标
新课讲解
知识点1 （a≥0）的性质
合作探究
正方形的边长为 ，
用边长表示正方形的面积为 ，
又∵面积为a，
即 .
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？
新课讲解
归纳总结
的性质：
一般地， ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
新课讲解
本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
归纳
新课讲解
...
平方运算
算术平方根
-2
-0.1
...
2
...
观察两者有什么关系？
a(a＜0)
思考：当a＜0时， =
-a
新课讲解
归纳
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
的性质：
新课讲解
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
新课讲解
【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： .
解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b=-3b．
利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
注意
新课讲解
知识点3 代数式的定义
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
数
表示数的字母
想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式
整式
分式
二次根式
新课讲解
列代数式的要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
归纳总结
课堂小结
二次根式
性质
＝a (a ≥0).
拓展性质
|a|（a为全体实数）
当堂小练
1.化简 得（ ）
A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
C
2. 当1A.3 B.-3 C.1 D.-1
D
3.下列式子是代数式的有 ( )
①a2+b2 ; ② ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）;
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
C
当堂小练
4.化简：
（1） ＝ ; （2） ＝ ;
（3） ; （4） .
3
7
4
81
-1
0
1
2
a
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是 .
1
拓展与延伸
7.(1)已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0，
∴a=-2，
∴ .
(2)已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0，
∴a2=0，∴a=0，
∴
(1)符号语言：(双重非负性)≥0(a≥0)．
(2)文字语言：一个非负数的算术平方根是　　　　　．
(3)注意：(a≥0)的最小值为　　　　．
二次根式的性质1
非负数
0
1．a(a≥0)的算术平方根记作　　　　．
2．比较二次根式与0的大小：　　　　　．
3．(2024常州)若式子有意义，则实数x的值可能是
(　　)
A．-1 B．0
C．1 D．2
≥0
D
(1)符号语言：=　　　　(a≥0)．
(2)文字语言：一个非负数先开平方再平方，结果为　　　 ．
二次根式的性质2
a
它本身
4．(人教8下P3、北师8上P28改编)计算：
(1)=　　　　;
(2)=　　　　;
(3)=　　　　;
(4)=　　　　．
4
2
0
(1)符号语言：=　　　　(a≥0)．
(2)文字语言：一个非负数先平方再开平方，结果为　　　 ．
二次根式的性质3
a
它本身
5．(人教8下P4、北师8上P29改编)计算：
(1)=　　　　;
(2)=　　　　;
(3)=　　　　;
(4)=　　　　．
2
0.1
0
6．【例1】(人教8下P4、北师8上P28改编)计算：
(1)=　　　　; (2)(3)2=　　　　;
(3)=　　　　; (4)=　　　　．
3
18
小结：直接利用=a(a≥0)即可.
12．(人教8下P5)化简：
(1)(2024德阳)=　　　　;
(2)=　　　　;
(3)-=　　　　;
(4)=　　　　．
3
-
x2
8．【例3】在实数范围内分解因式：x3-6x．
小结：先提公因式,再用a=(a≥0)在实数范围内分解因式.
解：x3-6x=x(x2-6)=x(x+)(x-).
13．在实数范围内分解因式：4x2-8．
解：4x2-8=4(x2-2)=4(x+)(x-).
9．【例4】已知+=0，求x+y的值．
解：∵+=0，∴=0，=0，
∴x-1=0，y=0，∴x=1，∴x+y=1+0=1.
小结:解答此类题先依据“若几个非负数的和等于0,则这几个非负数分别等于0”列出方程组,解方程组求出字母的值,再把字母的值代入题目要求的式子中化简求值.
14．若+=0，求a2 025+b2 024的值．
解：∵+=0，∴=0，=0，
∴a+1=0，b-1=0，∴a=-1，b=1，
∴a2 025+b2 024=-1+1=0.
请完成本节课后对应习题
布置作业
THANKS