甘肃省白银市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷
1．（2024高二上·白银期末）小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
2．（2024高二上·白银期末）在等差数列中，，则（ ）
A．20 B．10 C． D．5
3．（2024高二上·白银期末）下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·白银期末）已知，则（ ）
A．4 B．3 C．5 D．1
5．（2024高二上·白银期末）如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·白银期末）已知函数是定义在上的奇函数，若，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
7．（2024高二上·白银期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二上·白银期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A．1280 B．300 C．1880 D．1560
9．（2024高二上·白银期末）已知虚数满足，则（ ）
A．的实部为
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第三象限
10．（2024高二上·白银期末）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024高二上·白银期末）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．曲线关于原点对称，且关于直线对称
B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过2
C．若是曲线上的任意一点，则的最大值为
D．已知，直线与曲线交于两点，则为定值
12．（2024高二上·白银期末）小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有 种选择.
13．（2024高二上·白银期末）已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的坐标为 ，点的横坐标为 ．
14．（2024高二上·白银期末）已知，函数在上单调递减，则的最大值为 .
15．（2024高二上·白银期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）为抛物线上的两点，若直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，求的面积.
16．（2024高二上·白银期末）已知的展开式中共有9项.
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数；
（3）求二项式系数最大的项.
17．（2024高二上·白银期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；
（2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；
（3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生.
18．（2024高二上·白银期末）已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（3）直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程.
19．（2024高二上·白银期末）若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程；
（3）若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】[ 【解答】解：由分步计数原理，则得出不同的选择方案共有种.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和分步乘法计数原理，从而求出不同的选择方案种数.
2．【答案】D
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得，则.
故答案为：D.
【分析】利用等差中项公式结合已知条件得出的值.
3．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由、的焦点都在轴上，则选项A、选项B不符合题意；
由、的焦点都在轴上，且渐近线分别为、，
则选项C符合题意，选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的标准方程判断出焦点位置，则判断出选项A和选项B；利用双曲线的焦点位置确定出渐近线方程，则可判断选项C和选项D，进而找出正确的选项.
4．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，得出或，
解得（舍去）或.
故答案为：C.
【分析】由组合数公式和已知的等量关系，从而列方程得出x的值.
5．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用向量加减、数乘的几何意义，从而用表示出.
6．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，
由是定义在上的奇函数，得，
∴，
∴，
又因为，∴.
故答案为：A.
【分析】根据是奇函数得到与的关系式，再由的值求出的值.
7．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：因为，即，
则，
整理可得．
故答案为：C.
【分析】根据题意结合两点距离公式，从而得出曲线的方程.
8．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2．
当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法，
故不同安排方法有种．
故答案为：D.
【分析】利用先分组再分配的方法结合排列数、组合数公式，再根据分类加法计数原理得出不同的安排方法种数.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：由，得，
所以的实部为的虚部为，
则在复平面内对应的点在第三象限.
故答案为：ACD.
【分析】根据共轭复数的定义得出复数，则得出复数z的实部和虚部，从而判断选项A和选项B；利用复数求模公式判断出选项C；利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，从而判断出点所在的象限，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令，得，故选项A正确；
令，得①，故选项B错误；
令，得②，
由①②得，故选项C正确；
令，得，
则，
得，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法结合已知条件得出的值和的值，则判断出选项A和选项B；令和，再代入得出的式子作差，从而判断出选项C；令结合选项A和变形，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；曲线与方程；图形的对称性
【解析】【解答】解：根据曲线方程，
若点在曲线上，易知点都满足曲线的方程，
所以曲线关于原点对称，且关于直线对称，故A正确；
令第一象限点在曲线上，则，
因为，则，解得，当且仅当时等号成立，
所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故B正确；
由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值，
所以，令，
将代入，可得，
故，解得，即的最大值为6，故C错误；
由题意知点关于原点对称，不妨设第一象限点，
则且，
则，
，
所以为定值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据曲线上任意点结合曲线方程判断是否在曲线上，则判断出选项A；令第一象限点在曲线上得，再利用基本不等式求最值的方法，从而求出的取值范围，则判断选项B；根据题意位于第二象限时，取得最大值，令得，再利用求出实数的取值范围，则判断选项C；设第一象限点，则且，再结合两点距离公式求出为定值，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】10
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，可得小沉的选择种数为.
故答案为：.
【分析】根据题意可知两瓶香水没有顺序要求，则问题是组合数问题，再结合组合数公式得出小沉共有的选择种数.
13．【答案】；9
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得抛物线的焦点为，设，
因为，所以．
故答案为：；.
【分析】由抛物线的几何性质可得焦点坐标；再由焦半径公式可求出点的横坐标.
14．【答案】10
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为在上单调递减，设，
所以在上单调递减，
所以，解得，
所以，解得，
当时，；
当时，，
故的最大值为10.
故答案为：10.
【分析】应用整体法结合正弦函数的单调区间列出不等式，即得，再结合得出的取值范围，则讨论k得出的最大值.
15．【答案】（1）解：因为抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，
故抛物线的标准方程为.
（2）解：因为直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，
所以，轴的非负半轴为的平分线，
根据抛物线的对称性，不妨设点，
则，则，解得，
所以点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，
所以，点到直线的距离为，
故的面积.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点到准线的距离为，再结合已知条件得出的值，从而得出抛物线标准方程.
（2）不妨设点，由已知条件列方程求出的值，再结合三角形的面积公式得出的面积.
（1）抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，
故抛物线的标准方程为.
（2）因为直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，
所以，轴的非负半轴为的平分线，
根据抛物线的对称性，不妨设点，则，
则，解得，
所以点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，
所以，点到直线的距离为，
故的面积.
16．【答案】（1）解：由题意得，解得.
（2）解：由（1）可知展开式的通项为.
令，解得，则，
故展开式中的系数为112.
（3）解：根据题意，可得二项式系数最大的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）利用二项式展开式中共有项结合已知条件，从而可得的值.
（2）利用二项式定理求出二项展开式的通项，令指数为4，则求出参数的值，再代入参数的值到通项，即可得出展开式中的系数.
（3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得出的通项，从而得出二项式系数最大的项.
（1）由题意得，解得.
（2）由（1）可知展开式的通项为.
令，解得，则.
故展开式中的系数为112.
（3）根据题意可得二项式系数最大的项为.
17．【答案】（1）解：先排2名指导老师，有种站法，
再排2名女大学生，有种站法，
最后排剩余的2名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
（2）解：先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法，
再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法，
最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
（3）解：先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法，
再排2名指导老师，有种站法，
最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，
利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法，
所以共有种不同的站法.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和分步乘法计数原理，即可得出2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻的站法种数.
（2）利用已知条件和插空法结合分步乘法计数原理，则得出2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生的站法种数.
（3）利用已知条件和捆绑法结合分步乘法计数原理，则得出2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生的站法种数.
（1）先排2名指导老师，有种站法，
再排2名女大学生，有种站法，
最后排剩余的2名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
（2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法，
再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法，
最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
（3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法，
再排2名指导老师，有种站法，
最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，
利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法，
所以共有种不同的站法.
18．【答案】（1）解：将点的坐标代入，得，解得，
故双曲线的离心率.
（2）解：根据题意易得直线的斜率存在，设，
则，两式相减得，
整理得，
因为线段的中点坐标为，
所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即，
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3.
（3）解：由题意得双曲线的右焦点为.
若以线段为直径的圆经过坐标原点，则.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
根据对称性不妨设，则，，所以直线的斜率存在，
则可设直线的方程为.
由，得，
，
所以，
因为，所以 ，
解得，
所以直线的方程为，
即为或.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程得出的值，再根据离心率公式，即可得出双曲线的离心率的值.
（2）设出点坐标，代入双曲线方程，再利用点差法和中点坐标公式，即可求出直线的斜率.
（3）根据直线斜率是否存在进行分类讨论，当直线斜率存在时，设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，再运用韦达定理和平面向量数量积为0，即可得出直线的方程.
（1）将点的坐标代入，得，解得，
故双曲线的离心率.
（2）根据题意易得直线的斜率存在，设，
则，两式相减得，
整理得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即.
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3.
（3）由题意得双曲线的右焦点为.
若以线段为直径的圆经过坐标原点，则.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
根据对称性不妨设，则，，
所以直线的斜率存在，
则可设直线的方程为.
由，得，
，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以直线的方程为，即或.
19．【答案】（1）解：根据题意可得，即，
因为四边形的面积为，所以，
由，解得或，
所以椭圆的标准方程为或.
（2）解：若椭圆的标准方程为，
则，，设椭圆的左顶点为，
则，，，
不符合题意，舍去，
若椭圆的标准方程为，则，，
设，则符合题意，故椭圆的标准方程为.
（3）解：由(2)得椭圆的方程为，
设，则.
若存在实数，使得，则，
得，.
因为函数在上单调递减，
在上单调递增，
所以，，
则，故的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据，四边形的面积为4，列出，则求解得出椭圆的标准方程.
(2)由(1)可分别讨论两个方程是否符合“内含椭圆”，即是否恒成立，从而得出满足要求的椭圆的标准方程.
(3)由(2)得椭圆：，由题意可知，再求出函数在上的最值，从而得出实数的取值范围.
（1）根据题意可得，即.
因为四边形的面积为，所以.
由，解得或，
所以椭圆的标准方程为或.
（2）若椭圆的标准方程为，则，，设椭圆的左顶点为，
则，，，不符合题意，舍去.
若椭圆的标准方程为，则，，设，
则，符合题意.
故椭圆的标准方程为.
（3）由(2)得椭圆的方程为.设，则.
若存在实数，使得，则，
得，
.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
则，故的取值范围为.
1 / 1甘肃省白银市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷
1．（2024高二上·白银期末）小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】[ 【解答】解：由分步计数原理，则得出不同的选择方案共有种.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和分步乘法计数原理，从而求出不同的选择方案种数.
2．（2024高二上·白银期末）在等差数列中，，则（ ）
A．20 B．10 C． D．5
【答案】D
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得，则.
故答案为：D.
【分析】利用等差中项公式结合已知条件得出的值.
3．（2024高二上·白银期末）下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由、的焦点都在轴上，则选项A、选项B不符合题意；
由、的焦点都在轴上，且渐近线分别为、，
则选项C符合题意，选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的标准方程判断出焦点位置，则判断出选项A和选项B；利用双曲线的焦点位置确定出渐近线方程，则可判断选项C和选项D，进而找出正确的选项.
4．（2024高二上·白银期末）已知，则（ ）
A．4 B．3 C．5 D．1
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，得出或，
解得（舍去）或.
故答案为：C.
【分析】由组合数公式和已知的等量关系，从而列方程得出x的值.
5．（2024高二上·白银期末）如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用向量加减、数乘的几何意义，从而用表示出.
6．（2024高二上·白银期末）已知函数是定义在上的奇函数，若，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，
由是定义在上的奇函数，得，
∴，
∴，
又因为，∴.
故答案为：A.
【分析】根据是奇函数得到与的关系式，再由的值求出的值.
7．（2024高二上·白银期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：因为，即，
则，
整理可得．
故答案为：C.
【分析】根据题意结合两点距离公式，从而得出曲线的方程.
8．（2024高二上·白银期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A．1280 B．300 C．1880 D．1560
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2．
当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法，
故不同安排方法有种．
故答案为：D.
【分析】利用先分组再分配的方法结合排列数、组合数公式，再根据分类加法计数原理得出不同的安排方法种数.
9．（2024高二上·白银期末）已知虚数满足，则（ ）
A．的实部为
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第三象限
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：由，得，
所以的实部为的虚部为，
则在复平面内对应的点在第三象限.
故答案为：ACD.
【分析】根据共轭复数的定义得出复数，则得出复数z的实部和虚部，从而判断选项A和选项B；利用复数求模公式判断出选项C；利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，从而判断出点所在的象限，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．（2024高二上·白银期末）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令，得，故选项A正确；
令，得①，故选项B错误；
令，得②，
由①②得，故选项C正确；
令，得，
则，
得，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法结合已知条件得出的值和的值，则判断出选项A和选项B；令和，再代入得出的式子作差，从而判断出选项C；令结合选项A和变形，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高二上·白银期末）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．曲线关于原点对称，且关于直线对称
B．曲线上任意一点到原点的距离都不超过2
C．若是曲线上的任意一点，则的最大值为
D．已知，直线与曲线交于两点，则为定值
【答案】A,B,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；曲线与方程；图形的对称性
【解析】【解答】解：根据曲线方程，
若点在曲线上，易知点都满足曲线的方程，
所以曲线关于原点对称，且关于直线对称，故A正确；
令第一象限点在曲线上，则，
因为，则，解得，当且仅当时等号成立，
所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故B正确；
由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值，
所以，令，
将代入，可得，
故，解得，即的最大值为6，故C错误；
由题意知点关于原点对称，不妨设第一象限点，
则且，
则，
，
所以为定值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据曲线上任意点结合曲线方程判断是否在曲线上，则判断出选项A；令第一象限点在曲线上得，再利用基本不等式求最值的方法，从而求出的取值范围，则判断选项B；根据题意位于第二象限时，取得最大值，令得，再利用求出实数的取值范围，则判断选项C；设第一象限点，则且，再结合两点距离公式求出为定值，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．（2024高二上·白银期末）小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有 种选择.
【答案】10
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，可得小沉的选择种数为.
故答案为：.
【分析】根据题意可知两瓶香水没有顺序要求，则问题是组合数问题，再结合组合数公式得出小沉共有的选择种数.
13．（2024高二上·白银期末）已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的坐标为 ，点的横坐标为 ．
【答案】；9
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得抛物线的焦点为，设，
因为，所以．
故答案为：；.
【分析】由抛物线的几何性质可得焦点坐标；再由焦半径公式可求出点的横坐标.
14．（2024高二上·白银期末）已知，函数在上单调递减，则的最大值为 .
【答案】10
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为在上单调递减，设，
所以在上单调递减，
所以，解得，
所以，解得，
当时，；
当时，，
故的最大值为10.
故答案为：10.
【分析】应用整体法结合正弦函数的单调区间列出不等式，即得，再结合得出的取值范围，则讨论k得出的最大值.
15．（2024高二上·白银期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）为抛物线上的两点，若直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，求的面积.
【答案】（1）解：因为抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，
故抛物线的标准方程为.
（2）解：因为直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，
所以，轴的非负半轴为的平分线，
根据抛物线的对称性，不妨设点，
则，则，解得，
所以点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，
所以，点到直线的距离为，
故的面积.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据焦点到准线的距离为，再结合已知条件得出的值，从而得出抛物线标准方程.
（2）不妨设点，由已知条件列方程求出的值，再结合三角形的面积公式得出的面积.
（1）抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，
故抛物线的标准方程为.
（2）因为直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，
所以，轴的非负半轴为的平分线，
根据抛物线的对称性，不妨设点，则，
则，解得，
所以点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，
所以，点到直线的距离为，
故的面积.
16．（2024高二上·白银期末）已知的展开式中共有9项.
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数；
（3）求二项式系数最大的项.
【答案】（1）解：由题意得，解得.
（2）解：由（1）可知展开式的通项为.
令，解得，则，
故展开式中的系数为112.
（3）解：根据题意，可得二项式系数最大的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）利用二项式展开式中共有项结合已知条件，从而可得的值.
（2）利用二项式定理求出二项展开式的通项，令指数为4，则求出参数的值，再代入参数的值到通项，即可得出展开式中的系数.
（3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得出的通项，从而得出二项式系数最大的项.
（1）由题意得，解得.
（2）由（1）可知展开式的通项为.
令，解得，则.
故展开式中的系数为112.
（3）根据题意可得二项式系数最大的项为.
17．（2024高二上·白银期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；
（2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；
（3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生.
【答案】（1）解：先排2名指导老师，有种站法，
再排2名女大学生，有种站法，
最后排剩余的2名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
（2）解：先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法，
再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法，
最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
（3）解：先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法，
再排2名指导老师，有种站法，
最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，
利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法，
所以共有种不同的站法.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和分步乘法计数原理，即可得出2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻的站法种数.
（2）利用已知条件和插空法结合分步乘法计数原理，则得出2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生的站法种数.
（3）利用已知条件和捆绑法结合分步乘法计数原理，则得出2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生的站法种数.
（1）先排2名指导老师，有种站法，
再排2名女大学生，有种站法，
最后排剩余的2名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
（2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法，
再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法，
最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法.
（3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法，
再排2名指导老师，有种站法，
最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，
利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法，
所以共有种不同的站法.
18．（2024高二上·白银期末）已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（3）直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程.
【答案】（1）解：将点的坐标代入，得，解得，
故双曲线的离心率.
（2）解：根据题意易得直线的斜率存在，设，
则，两式相减得，
整理得，
因为线段的中点坐标为，
所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即，
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3.
（3）解：由题意得双曲线的右焦点为.
若以线段为直径的圆经过坐标原点，则.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
根据对称性不妨设，则，，所以直线的斜率存在，
则可设直线的方程为.
由，得，
，
所以，
因为，所以 ，
解得，
所以直线的方程为，
即为或.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程得出的值，再根据离心率公式，即可得出双曲线的离心率的值.
（2）设出点坐标，代入双曲线方程，再利用点差法和中点坐标公式，即可求出直线的斜率.
（3）根据直线斜率是否存在进行分类讨论，当直线斜率存在时，设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，再运用韦达定理和平面向量数量积为0，即可得出直线的方程.
（1）将点的坐标代入，得，解得，
故双曲线的离心率.
（2）根据题意易得直线的斜率存在，设，
则，两式相减得，
整理得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即.
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3.
（3）由题意得双曲线的右焦点为.
若以线段为直径的圆经过坐标原点，则.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
根据对称性不妨设，则，，
所以直线的斜率存在，
则可设直线的方程为.
由，得，
，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以直线的方程为，即或.
19．（2024高二上·白银期末）若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程；
（3）若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围.
【答案】（1）解：根据题意可得，即，
因为四边形的面积为，所以，
由，解得或，
所以椭圆的标准方程为或.
（2）解：若椭圆的标准方程为，
则，，设椭圆的左顶点为，
则，，，
不符合题意，舍去，
若椭圆的标准方程为，则，，
设，则符合题意，故椭圆的标准方程为.
（3）解：由(2)得椭圆的方程为，
设，则.
若存在实数，使得，则，
得，.
因为函数在上单调递减，
在上单调递增，
所以，，
则，故的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1)根据，四边形的面积为4，列出，则求解得出椭圆的标准方程.
(2)由(1)可分别讨论两个方程是否符合“内含椭圆”，即是否恒成立，从而得出满足要求的椭圆的标准方程.
(3)由(2)得椭圆：，由题意可知，再求出函数在上的最值，从而得出实数的取值范围.
（1）根据题意可得，即.
因为四边形的面积为，所以.
由，解得或，
所以椭圆的标准方程为或.
（2）若椭圆的标准方程为，则，，设椭圆的左顶点为，
则，，，不符合题意，舍去.
若椭圆的标准方程为，则，，设，
则，符合题意.
故椭圆的标准方程为.
（3）由(2)得椭圆的方程为.设，则.
若存在实数，使得，则，
得，
.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
则，故的取值范围为.
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