考向四 功能关系-2025年高考物理专题复习课件

(共76张PPT)
专题六 功和能
考向四 功能关系
2025年高考物理专题复习资料
考点切片
考点1 对功能关系的理解
1.（2024湖南岳阳一中期末）一质量为 的物体以某一速度
冲上一个倾角为 的斜面，其运动过程中加速度的大小为
。这个物体沿斜面上升的最大高度为 ，则在这个过程中
( )
C
A.物体的重力势能增加了 B.物体的动能损失了
C.物体克服阻力做的功为 D.物体的机械能损失了
【解析】 上升过程中重力做功，所以重力势能增加 。
由牛顿第二定律可知，物体所受合外力为 ，由动能定理可知，物体
动能变化量为，则动能损失了 。
由动能定理得，解得物体克服阻力做的功为 ，
由功能关系可知，机械能损失了 。
2.（2024湖南长沙市雅礼中学开学考）如图甲所示，倾角为 的斜面足够长，质量为
的物块受沿斜面向上的拉力作用，静止在斜面中点处。现改变拉力 的大小
（方向始终沿斜面向上），物块由静止开始沿斜面向下运动，运动过程中物块的机械能
随离开点的位移变化关系如图乙所示，其中过程的图线为曲线, 过程的
图线为直线，物块与斜面间的动摩擦因数为 。物块从开始运动到位移为 的过程中
( )
D
A. 过程物块的加速度在不断减小
B.物块减少的机械能等于物块克服合力做的
功
C.物块减少的机械能等于物块克服摩擦力做
的功
D.物块减少的机械能小于减少的重力势能
【解析】 由题图可知，物块向下运动的过程中，其中 过程的图线为曲线，
斜率的绝对值逐渐减小，而斜率， ，联立可知，
，（【点拨】机械能随离开 点的位移x变化关系图像的斜率表
示除重力以外其他力在位移方向上的合力。）则 减小，物块受到的合力
增大，由牛顿第二定律可知物块的加速度增大。
物块向下运动的过程中，重力、拉力与摩擦力做功，物块减少的机械能等于
其克服拉力与摩擦力做功之和，不等于物块克服合力做的功。
物块由静止开始沿斜面向下运动，重力做正功，拉力与摩擦力做负功，物块速度
不断增大，说明重力做的功大于物块克服拉力与摩擦力做的功之和，所以物块减少的机
械能小于其减少的重力势能。
. .
跳跳学长有话说
常见的功能关系
做功 能量变化 表达式
重力做功 重力势能变化
弹簧弹力做功 弹性势能变化
合外力做功 动能变化
除重力和系统内弹力之外其他力做功 机械能变化
滑动摩擦力与介质阻力做功 系统内能变化
考点2 3种常见模型中的功能关系
题组1 弹簧模型中的功能关系
3.［多选］（2024河北石家庄二中模拟）如图所示，两物体、 用轻质弹簧相连，静止
在光滑水平面上，现同时对、两物体施加等大反向的水平恒力、，使、 同时
由静止开始运动，在运动过程中，对、 两物体及弹簧组成的系统，正确的说法是
（整个过程中弹簧不超过其弹性限度）( )
CD
A.机械能守恒
B.机械能不断增加
C.当弹簧伸长到最长时，系统的机械能最大
D.当弹簧弹力的大小与、的大小相等时，、 两物体速度最大
跳跳学长来避坑
对于本题的易错选项B，应考虑到当弹簧的弹力等于拉力时，、 两物体速度最大，之
后便是做减速运动，两物体的动能和外力做功转化为弹簧的弹性势能。当、 两物体
速度减为零时弹簧的弹性势能最大，、 两物体开始做反向的加速运动，在反向做加
速运动的过程中，、 均做负功，系统的机械能减少。
4.（2024福建泉州期中）如图所示，在竖直方向上、两物体通过劲度系数为 的轻质
弹簧相连，放在水平地面上；、两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连， 放在固定
的光滑斜面上。用手拿住，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证段细线竖直、
段细线与斜面平行。已知、的质量均为，斜面倾角为 ，重力加速度大小为
，滑轮的质量和摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放后沿斜面下滑，当
刚要离开地面时，的速度最大。则从释放到 刚离开地面的过程中( )
B
A.、 组成的系统机械能守恒
B.的质量为
C.物体沿斜面下滑的距离为
D.细线拉力对物体做的功为
【解析】 沿斜面下滑过程中，弹簧弹力对先做正功再做负功，和 组成的系统
机械能不守恒。
当具有最大速度时，和的合力均为零，对根据平衡条件可得 ，
对有，对有，可得的质量为 。
开始时，弹簧的压缩量为，刚要离开地面时，弹簧的弹力等于 的重力，
此时弹簧的伸长量为，因此物体 沿斜面下滑的距离
。
从释放到刚要离开地面时，弹簧的弹性势能变化量为零，和 组成的系统机械
能不变。（【提醒】弹簧的弹性势能与形变量有关，本题中，初始状态与 刚要离开地
面时，弹簧的形变量大小相等，故弹簧的弹性势能相等。）可得
，根据功能关系可得细线拉力对做的功 ，联立解
得 。
. .
. .
题组2 板块模型中的功能关系
5.［多选］（2024河南信阳一模）如图所示，质量为 的长木板放在粗糙的水平
地面上，质量为 的小物块置于长木板右端，小物块与长木板之间的动摩擦因
数，长木板与地面之间的动摩擦因数 。现给小物块施加一个水平向左
的恒力，给长木板施加一个水平向右的恒力。时撤掉力 ，小物
块始终未从长木板上掉下来。下列说法正确的是( )
BC
A.内长木板的加速度大小
B.内对小物块做了 的功
C.内小物块与长木板之间因摩擦产生热量
D.恒力对小物块、长木板系统做的功等于系统机械能的增加
量
图1
【解析】 对长木板进行受力分析，受力示意图如图1所示，根据
牛顿第二定律有，可得 。
图2
对小物块进行受力分析，小物块先在拉力、摩擦力的
作用下做匀加速直线运动，后在摩擦力作用下做匀减速直
线运动，根据牛顿第二定律分别有 ，
，代入数据解得，加速度大小分别为
和 ，以水平向右为位移的正方向，
长木板和小物块在内的图像如图2所示，
内小物块做匀加速直线运动，位移大小 ，拉力对小
物块做的功为 。（【易错】注意求拉力对小物块
做的功时应使用相对地面的位移。）
. .
. .
. .
两条图线围成的面积表示小物块相对于长木板运动的距离，由 图像可知
，内小物块与长木板之间因摩擦产生的热量 。
（【点拨】摩擦生热公式中的 是小物块相对长木板的位移大小。）
恒力对小物块和长木板组成的系统做的功等于系统机械能的增加量与摩擦产生的
热量之和。
. .
6.［多选］（2023全国乙卷）如图，一质量为、长为 的木板静止在光滑水平桌面上，
另一质量为的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度 开始运动。已知小物块
与木板间的滑动摩擦力大小为 ，当小物块从木板右端离开时( )
BD
A.木板的动能一定等于
B.木板的动能一定小于
C.小物块的动能一定大于
D.小物块的动能一定小于
【解析】 小物块和木板的运动示意图和 图像如图1、图2所示，根据动能
定理可知，对小物块有，对木板有，根据
图像与横轴围成的面积表示物体运动的位移可知， ，根据位移
关系可知，因此 ，即木板的动能一
定小于 。
图1
图2
将①、②两式相加得 ，变形得小物块离开木板
时的动能 。
7.（2024山东临沂期末）如图所示，放在足够大的水平桌面上的木板的质量 ，
木板右端叠放着质量 的小物块，整体处于静止状态。已知木板与桌面间的动摩
擦因数，小物块与木板间的动摩擦因数 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
重力加速度大小取，木板足够长。现对木板施加水平向右的恒定拉力 ，
作用时间后撤去拉力 ，木板和小物块继续运动一段时间后静止。求：
（1） 拉力 作用时，木板和小物块的加速度大小；
【答案】 3; 2
【解析】 受恒定外力的板块模型第一步：受力分析，求解小物块、木板共同运动的最
大加速度。
假设对木板施加水平向右的恒定拉力大小为 时，小物块与木板恰好不发生相对滑动，
此时小物块与木板间的摩擦力为最大静摩擦力
设小物块此时的加速度大小为，根据牛顿第二定律有
对整体有
解得
故对木板施加水平向右的恒定拉力 时，小物块与木板有相对滑动，由于最大静
摩擦力等于滑动摩擦力，对小物块有
对木板，根据牛顿第二定律可得
解得 。
（2） 木板和桌面摩擦产生的热量 。
【答案】 93.
【解析】 受恒定外力的板块模型第二步：列出速度、位移随时间变化的关系式，并确
定木板、小物块的速度、位移关系。
拉力作用时间后，木板和小物块的速度分别为 ，
这段时间木板的位移为
撤去拉力 后，由于木板的速度大于小物块的速度，因此小物块的加速度不变，继续做
匀加速直线运动，而木板做匀减速直线运动，此时木板的加速度大小为
设经过时间后二者共速，则
解得
该段时间内木板的位移为
共速后速度大小为
共速后由于
. .
（【点拨】判断两者共速后的运动状态，若两者相对滑动，此时木板的加速度为
应大于，即，则当 时，两者相对静止。）
因此木板和小物块保持相对静止做匀减速直线运动，直到停止，根据能量守恒可知此过
程木板和小物块的动能都转化为木板和桌面摩擦产生的热量，故从开始运动到最后静止
整个过程，木板和桌面摩擦产生的热量为
。（【点拨】摩擦生热为
摩擦力与相对位移的乘积。）
. .
跳跳学长有话说
将物块和木板看成一个系统。全程分析，由木板的位移可得，外力做功
，木板和小物块之间只有共速前有摩擦，共速前小物块做匀加速
直线运动，时间是，加速度为，代入位移公式得位移为 ，该时间内
木板位移大小为两段的和,即，两者相对位移差 ，小物块和
木板间的摩擦力做功 。共速前木板和桌面、木板和小物块之
间的摩擦力都做功，共速后只有木板和桌面之间的摩擦力做功，设木板与桌面的摩擦力
做功为，根据能量守恒可得 。
题组3 传送带模型中的功能关系
8.（2024广东广州三模）玉米收割后脱粒玉米用如图甲所示的传送带装置传送，可近似
为如图乙所示物理过程。将收割晒干的玉米投入脱粒机后，玉米粒从静止开始被传送到
底端与脱粒机相连的顺时针匀速转动的传送带上，一段时间后和传送带保持相对静止，
直至从传送带的顶端飞出最后落在水平地面上，不计空气阻力。已知玉米粒在此运动过
程中的速率为，加速度大小为，动能为，机械能为，玉米粒距离地面的高度为 ，
下列图像能近似反映上述物理过程的是( )
A. B.
C. D.
√
【解析】 根据题意可知，玉米粒在传送带上先做匀加速直线运动，后做匀速直线
运动。玉米粒从传送带抛出后到最高点过（【点拨】玉米粒静止放到传送带底端,玉米
粒的速度小于传送带的速度,因此玉米粒相对传送带向下滑动,在沿传送带向上的滑动摩
擦力作用下玉米粒相对地面沿传送带向上做匀加速直线运动,直至与传送带共速后做匀
速直线运动。）
程，速率不断减小，到最高点后速率再逐渐增大。（【点拨】玉米粒抛出后做斜抛运动，
竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，由 可知，玉米粒
抛出后的速率先减小后增大。）
根据题意可知，玉米粒在传送带上先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动，则
加速度先恒定不变，再变为零，玉米粒从传送带抛出后，加速度为重力加速度。
根据题意可知，玉米粒在传送带上运动时，动能先增大后不变。玉米粒从传送带
抛出后到落地过程，重力先做负功，后做正功，由动能定理可知动能先不断减小，到最
高点后再不断增大。
根据功能关系可知，除重力的其他力做的功等于机械能的变化量，玉米粒在传送
带上运动时，先受到沿传送带向上的滑动摩擦力后受到沿传送带向上的静摩擦力，可知
玉米粒的机械能一直增大。设倾斜传送带与水平面间的夹角为 ，玉米粒在传送带上做
加速运动时所受滑动摩擦力为，做匀速运动时所受静摩擦力为 ，玉米粒刚开始做匀
速运动时的高度为，机械能为 ，则根据功能关系可得玉米粒在传送带上加速阶段
，匀速阶段 ，受力分析可知
，则图像在加速阶段的斜率大于匀速阶段的斜率。玉米粒从传送带抛
出后到落回地面过程，只受重力作用，机械能不变。
9.（2024四川宜宾二模）图甲为皮带输送机简化模型图，皮带输送机倾角 ，顺
时针匀速转动，在输送带下端点无初速度放上货物。货物从下端点运动到上端 点的
过程中，其机械能与位移的关系图像（以 位置所在水平面为零势能面）如图乙所示。
货物视为质点，质量，重力加速度大小取， ，
。下列说法正确的是( )
C
A.货物与输送带间的动摩擦因数为0.825
B.输送带、两端点间的距离为
C.货物从下端点运动到上端点的时间为
D.皮带输送机因运送该货物而多消耗的能量
为
【解析】 在输送带下端点无初速度放上货物，结合 图像分析可知货物在输
送带上先做匀加速直线运动，再做匀速直线运动，货物做匀加速直线运动过程，货物受
沿输送带向上的滑动摩擦力作用，根据功能关系可知滑动摩擦力做的功等于货物机械能
的增加量，即，由图像可知， ，解得
。
由图像可知，货物沿输送带向上运动 后与输送带相对静止，此后货物的动能
不变，重力势能增加，根据功能关系有，由图像可知 ，
解得，则输送带两端点之间的距离为 。
设货物加速阶段的加速度大小为，有 ，设货物加速
阶段运动的时间为，有，输送带速度的平方 ，设货物匀速阶段运
动的时间为，有，货物运动的总时间为，解得 。
由能量守恒定律可得，输送机多消耗的能量为
。
（【点拨】输送机多消耗的能量转化为了货物与输送带间因滑动摩擦产生的热量和货物
机械能的增加量。）
. .
10.（2024福建省厦门双十中学月考）如图甲所示，绷紧的足够长的水平传送带始终以
恒定速率运行，一质量为、水平初速度大小为 的小物块，从与传送带等高
的光滑水平面上的 处滑上传送带；若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带
上运动的图像（以地面为参考系）如图乙所示。重力加速度大小取 ，则
( )
C
A.小物块向左运动的过程中离 处的最大距
离为
B.小物块返回点时动能增加了
C.小物块与传送带之间因摩擦产生的热量为
D. 时间内，传送带克服摩擦力做的功
为
【解析】 由图像可知，时小物块向左运动的距离最远，根据 图像
与横轴围成的面积表示位移可得 。
结合图像可得小物块的初动能，小物块返回
点时的动能，故小物块返回点时动能减少了 。
小物块做匀变速运动的加速度大小 ，由牛顿第二定律得
，可得。由图像可得传送带速度大小为 ，
内小物块在传送带上滑动，传送带的位移 ，方向向右。由图像可
知小物块向右做匀加速运动阶段运动的距离，则 内小物块的位移
，方向向左。小物块和传送带的相对位移 ，整个过
程中因摩擦产生的热量 。
前 内小物块与传送带间有相对运动，存在摩擦力，可得传送带克服摩擦力做的
功为 。
考点3 功能关系中的图像问题
11.（2023年6月浙江卷）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅
球在空中运动时的加速度大小、速度大小、动能和机械能随运动时间 的变化关
系中,正确的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 铅球在空中做平抛运动，加速度为重力加速度，恒定不变。
铅球的速度大小为，又，联立可得,所以
图像为曲线。
由于不计空气阻力，则铅球在空中运动过程中只有重力做功，机械能守恒，
不随时间发生变化，由动能定理有，又 ，联立可得
，所以 图线为二次函数图线的一部分。
12.［多选］（2024安徽马鞍山三模）质量为 的球竖直落入
深的水中后，下降过程中受到水的作用而做匀减速直线运
动，下降过程中球的机械能和重力势能随着球进入水的深度
变化的规律如图所示，重力加速度大小取 。则
( )
AC
A.球的质量为 B.球的动能减少了
C.球受到水的作用力大小为 D.球向下运动的时间约为
【解析】 由图像可知是以水底所在水平面为零重力势能参考平面的，则在水面处
的重力势能为 ,（【点拨】由球做匀减速直线运动可知水对球的作用力竖直向上，且
大于球的重力，由功能关系可得球机械能的减小量由功能关系可得球机械能的减小量
,球重力势能的减小量,可知 图像的斜率表示力的大小,由
可得题图中上边的图线是球机械能的变化图像,下边的图线是球重力势能的变
化图像。），根据，其中，可得球的质量为 。
球开始进入水中时的机械能为，则动能为 ，则到达水底时球的动能减少了
。
. .
. .
整个过程中球的机械能减小量为，又有 ，解得球受到水的作用力
大小为 。
球向下运动的加速度，初速度 ，则
球运动的时间 。
13.［多选］（2024福建龙岩一中期中）如图所示，光滑固定斜面
底端固定一轻质弹簧，一滑块从 点由静止释放，向下滑动过程
经点接触弹簧，最低到达点处。以为原点、平行斜面向下为
轴正方向建立一维坐标系，、处坐标分别为、。设滑块在
BD
A. B. C. D.
处的重力势能为0，下滑过程中，滑块的动能、重力势能、机械能、加速度 随位
移 的变化图像符合实际的是( )
【解析】 设斜面的倾角为 ，滑块接触弹簧前，在经过一小段位移 过程中，根
据动能定理得，整理得 ，滑块动能随位移均匀增加；
滑块接触弹簧后在经过一小段位移过程中，根据动能定理得 ，
整理得 ，由于弹簧弹力逐渐增大，图像斜率的绝对值先减小后增大。
滑块下滑过程中有 ，整理得 。
滑块接触弹簧前机械能守恒，滑块接触弹簧后，弹簧弹性势能增加，滑块机械能
减小。
滑块接触弹簧前，根据牛顿第二定律有，解得 ，滑块接
触弹簧后，根据牛顿第二定律有 ，解得
。
跳跳学长有话说
解答此类题关键点在于找出纵、横坐标轴所代表的物理量之间的函数关系，并通过斜率、
截距、拐点等进行判断。
觉醒集训
1.（2023年1月浙江卷）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身
而下。游客从跳台下落直到最低点过程中( )
B
A.橡皮绳弹性势能减小 B.游客的重力势能减小
C.游客的机械能保持不变 D.橡皮绳一绷紧游客的动能就开始减小
【解析】 游客从跳台下落直到最低点过程中，游客的重力做正功，重力势能减小。
橡皮绳绷紧后形变量一直增大，弹性势能一直增大。
橡皮绳绷紧后的过程，橡皮绳的弹力做负功，因此游客的机械能减小。
橡皮绳绷紧后游客先加速后减速，因此游客的动能先增大后减小。
2.（2024东北三省大联考）如图所示，倾角为 的斜面固定在水平桌面上，用平
行斜面向上的恒定推力将静止于斜面底端的物块推到斜面顶端，推力 做的功至少为
。已知物块与斜面间的动摩擦因数为，， 。若用水
平向左的恒定推力将物块推到顶端，推力 做的功至少为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 对物块做功最少物块应从斜面
底端缓慢运动到斜面顶端，（【点拨】物
块受重力、推力和摩擦力,由功能关系可
知推力和摩擦力做的功之和等于物块机械
能的变化量,有 ,可得
,由题意可知物块克
服摩擦力做的功及物块重力势能的变化量恒定,则动能变化量 为零即物块运动过
程中速度为0时推力做的功最小,因此物块应从斜面底端缓慢运动到斜面顶端。）用平行
斜面向上的推力 将位于斜面底端的物块推到斜面顶端，对物块受力分析如图1所示，
根据受力平衡可得，设斜面的长度为 ，则
。恒定推力 推物体时，对物块受力分析如图2所示，根据受力平衡可
得 ，
解得 ，则
，（【易错】注意推力方向与位移方向不同。正确。）
C
. .
3.（2025山东中学联盟模拟）编号为1、2、3的三个相同的小球从同
一高度以相同速率抛出，1球竖直上抛、2球平抛、3球竖直下抛，从
抛出到落地的过程中，下列说法正确的是( )
C
A.重力对三个球做的功 B.重力的平均功率大小
C.落地前瞬间重力的功率 D.落地时的速率
【解析】 设小球下落高度为，重力对三个球做功为 。
由于，，，所以 ，根据
可得重力的平均功率大小 。
由于重力做的功相等，根据动能定理可知，三个小球落地瞬间速度大小相等，
即 ，由于水平抛出的小球落地瞬间速度方向斜向下，所以竖直分速度较小，
则有，根据可得重力的瞬时功率大小 。
4.［多选］（2025山西部分学校开学考）如图所示，长为的轻杆一端连接在 处的铰链
上，另一端连接在质量为的小球上，轻绳穿过处的光滑圆环，一端连接在小球 上，
另一端吊着质量为的小球。用向上的力拉着小球，使、 两球均处于静止状态，
此时轻杆和连接小球的轻绳与水平方向的夹角均为 ，铰链和圆环在同一水平直线上，
不计小球大小，不计一切摩擦，重力加速度大小为。某时刻撤去拉力，从撤去 到轻
杆水平的过程中，下列说法正确的是( )
BD
A.撤去拉力的瞬间，小球 的加速度为零
B.轻杆对小球 不做功
C.当轻杆水平时，轻杆和轻绳对小球的拉力大小相等
D.当轻杆水平时，小球的速度大小为
【解析】 撤去拉力的瞬间，由受力分析可知，小球 受到的合外力不为零，加速
度不为零。
由于轻杆连着铰链，因此轻杆对小球的力始终沿杆的方向与小球 的速度方向垂
直，因此轻杆对小球 不做功。
由于小球绕铰链做圆周运动，当轻杆水平时，轻杆对小球 的拉力大于轻绳对小
球 的拉力。
设当轻杆水平时，设小球的速度为，此时小球 的速度为零，（【点拨】之后小
球从水平位置继续向下运动,与圆环间的轻绳长度开始增大,因此小球 将变为向上运
动,可知此时小球的速度减为了零。）小球下降的高度为，小球 下降的高度为
，根据系统机械能守恒，有 ，解得
。
. .
5.（2025黑龙江哈尔滨市第九中学月考）某新能源汽车生产厂家人员在平直公路上测试
汽车性能，时刻驾驶汽车由静止启动，时刻汽车达到额定功率，
时刻汽车速度达到最大，如图是车载电脑生成的汽车牵引力随速率倒数 变化的关系
图像。已知汽车和司机的总质量，所受阻力与总重力的比值恒为 ，重力
加速度大小取 ，则( )
C
A.汽车启动后做匀加速直线运动，直到速度达到最大
B.汽车在段做匀加速直线运动，在 段做匀速运动
C.汽车达到的最大速度大小为
D.从启动到速度达到最大过程中汽车通过的距离为
【解析】
.
时刻汽车的速度为 ，汽车额定功率为
，汽车达到的最大速度大小为
。
汽车做匀加速直线运动的位移大小为 ，汽车从功率达到额定功率
到速度达到最大过程中，根据动能定理有 ，解得
，则从启动到速度达到最大过程中汽车通过的距离为 。
6.［多选］（2025山东中学联盟模拟）如图所示，半径为 的光滑圆环固定在竖直面
内，为圆环的圆心，、两点等高。轻弹簧一端固定在圆环的最低点 ，另一端连接
圆环上的带孔小球，小球质量为。小球自圆环的最高点由静止释放，经过 点时弹
簧恰好恢复到原长，经过点时弹簧的长度为。已知弹簧的原长为 ，劲度系数为
，重力加速度大小为 ，不计空气阻力。在小球下滑过程中，下列说法正确的是
( )
A.小球经过点时的动能为
B.小球经过 点时的重力势能可能最小
C.小球经过点时的动能为
D.小球的动能与弹簧的弹性势能之和始终增大
CD
【解析】 小球和弹簧组成的系统机械能守恒，在小球下滑过程，小球的重力势能
一直减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和始终增大。
设、两点的高度差为，根据几何关系可得 ，其中 ，
，解得，从到 过程，根据系统机械能
守恒可得 。
由于在点时，弹簧的伸长量为，在 点时，弹簧的压缩量
为，可知在点和点弹簧的弹性势能相等，从到 过程，根据系统
机械能守恒可得 ，其中 ， ，
，联立解得小球经过 点时的动能为
，由于小球在点具有一定的动能，所以 点不是小球运动过程的最低点，
则小球经过 点时的重力势能不可能最小。
7.［多选］（2025河南南阳阶段练习）如图所示，质量 的物体（可视为质点）
从高为的光滑轨道上点由静止开始下滑，滑到水平传送带上的 点，物体和
传送带之间的动摩擦因数为，传送带、之间的距离 ，传送带一直以
的速率顺时针转动，重力加速度大小取 ，则( )
AC
A.物体从运动到的时间是
B.物体从运动到的过程中，摩擦力对物体做的功为
C.物体从运动到的过程中，因摩擦产生的热量为
D.物体从运动到 的过程中，带动传送带转动的电动机多
做的功为
【解析】 物体自点至点的过程，由机械能守恒定律有 ，代入数据
解得物体下滑到点的速度大小 ，则物体滑上传送带后，在滑动摩
擦力的作用下做匀加速运动,（【关键点】通过判断物体速度与传送带速度的大小关系
可以确定物体所受摩擦力的性质和方向,分析物体的运动状态。）加速度大小为
，物体从运动至速度与传送带的速度相等的过程用时 ，
匀加速运动的位移大小为 ，（【关键点】此处根据平均速
度法求解位移更便捷。）所以物体与传送带共速后向右做匀速运动，匀速运动的时间为
，故物体从运动到的时间为 。
物体运动到时的速度大小是，根据动能定理得物体从运动到 的过程
. .
. .
. .
中,摩擦力对物体做的功为 。（【另解】此处也可以由功的定
义式进行求解,即摩擦力对物体做的功为 。）
在时间内，传送带运动的路程为，故物体从运动到 的过程中,
因摩擦产生的热量为 。
（【易错】①注意区分与，并理解它们间的关系。②此处“ ”为物体相对传送带滑
动的距离，而非相对地面运动的位移大小 ）
电动机多做的功一部分转化为物体的动能，另一部分转化为内能，则物体从 运动
到的过程中,电动机多做的功为 。
. .
. .
. .
8.（2025陕西部分高中开学考）有一种内置发条的玩具小车，在推力作用下运动时，发
条收紧储存能量，每前进发条储能，最大可储能 。无推力作用时，发
条释放能量产生动力，每前进释放 ，直至储能释放完毕。该玩具小车在一
恒定推力作用下从静止开始在水平地面上沿直线前进了 ，推力与水平方向夹角为
指向斜下方，大小为 ；撤去推力后，小车继续沿直线前进。已知玩具小车质量
为，小车受到的外界阻力为其给水平地面压力的，重力加速度大小取 ,
， 。求：
（1） 从推力开始作用到撤去时外界阻力做的功；
【答案】
【解析】 由题知， ，将其沿竖直方向和水平方向分解可得
，
则地面对小车的支持力为
外界阻力
外界阻力做的功为 。
（2） 推力撤去时小车的速度大小；
【答案】
【解析】 推力做的功
发条储能
由动能定理有
解得 。
（3） 小车运动过程中的最大动能。
【答案】 1.
【解析】 推力撤去后，则有
则外界阻力为
小车每前进，外界阻力做的功为 ，发条释放能量
，因 ，所以发条储能释放完毕时小车动能最大，（ 【抓题眼】撤
去推力后，一方面发条释放储存的能量，转化为玩具车的动能，一方面阻力做负功消耗
玩具车的动能，利用能量守恒定律判断出小车此后动能的变化进而判断出小车动能最大
的时刻。）发条释放储能对应路程
外界阻力做的功为
由功能关系有1. 。
. .
. .
9.设问创新（2024辽宁沈阳联考）如图所示，在竖直平面内建立 坐标系，曲线轨道
部分的方程为，在原点处与轴相切，点的横坐标为 ；光滑圆弧轨
道所对的圆心角为 ，半径。质量的穿孔小球以 的水平速
度从点进入轨道，以的速度从 端滑出后无碰撞地进入圆弧轨道。重力加速度大
小取，， ，空气阻力忽略不计。
（1） 求小球滑到圆弧轨道最低点 时对轨道的压力；
【答案】 2. ，方向竖直向下
【解析】 过程机械能守恒，则有
其中
小球在圆弧轨道点处，根据牛顿第二定律有
联立解得
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为 ，方向竖直向下。
（2） 求小球在 轨道运动过程中克服摩擦力做的功；
【答案】
【解析】 过程，根据动能定理有
将代入方程
可得
解得 。
（3） 要使小球在 轨道运动过程中无机械能损失，可对小球施加一恒力。求此恒力
的大小和方向。
【答案】 1 ; 方向竖直向下
【解析】 要使小球与轨道无挤压，则小球须沿着 轨迹运动，而根据类平抛
运动的研究方法可得
，
联立可得
对照可得
竖直方向，根据牛顿第二定律有
解得 ，方向竖直向下。
跳跳学长有话说
（3）问的解题关键是读懂题的隐含条件，要使小球在 轨道运动过程中无机械能损失，
则该过程中没有摩擦力，全程没有正压力，小球完全按照 轨道轨迹运动，题中已给
出轨迹方程，由类平抛运动性质推出轨迹方程，求出类平抛运动的加速度 ，再结合牛
顿第二定律得出外力 。
觉醒原创
1.2024年7月18日，随着 次列车从兰考南站驶出，标志着日兰高铁全线贯通运营。
若发车前工作人员将两列车串联，两列车能以速度 向前方匀速运动，前方列车的输出
功率为，后方列车输出功率为 ，前方列车质量是后方列车质量的2倍，两列车受到
的阻力均为自身重力的 倍，则两列车连接处牵引装置的作用力为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 设两列车连接处牵引装置的作用力为，后方列车质量为 。
2.［多选］水上飞伞是一项锻炼勇气和毅力的水上娱乐活动，快艇启动后做加速运动，
飞伞升起张开，游客乘伞体验在空中飞翔的感觉，如图甲所示。某时刻，快艇中的速度
计显示的速率为 ，从此位置开始建立坐标系，得到快艇运动的加速度与位移关系
如图乙所示。下列说法正确的是( )
图甲
图乙
A.位置坐标为时，快艇运动的速率为
B.，快艇运动的时间为
C.，快艇运动的平均速度大于
D.，快艇运动的平均加速度小于
√
√
【解析】 题图乙给的为不常见的图像，从 图像可
以看出，加速度不是一定值，图像问题我们首先联想到用面积来
解答，此时我们可联想到牛顿第二定律和动能定理来解答，
，要求面积，等式两边同时乘，则 ,根据动能
定理可知，则 ，由题图
乙得,代入数据解得 。
作出快艇运动的 图像如图所示，（【点拨】快艇的加速度
随位移的增大而增大,可知快艇的加速度越来越大。\ 图像的斜率越来越大。）可见
快艇平均速度，运动的时间 ，运动的平均加速度
。
. .
3.［多选］质量为的运动员从高于水面 的跳台上自由落下，从运动
员接触水面开始，运动员受到的浮力、阻力随入水深度 的变化关系分别如图甲、
乙所示，假设运动员从入水开始身体始终沿竖直方向，不计空气阻力，重力加速度 取
，则( )
ACD
A.运动员的最大入水深度为
B.运动员恰完全入水时的动能为
C.从开始跳下到入水最深的整个过程中，运
动员重力做功的功率先增大后减小
D.从开始跳下到入水最深的整个过程中，运
动员的机械能减小了
【解析】 第一步：运动员运动过程不清晰，结合题图分析
对题图甲分析可知，运动员入水 时完全入水，之后所受浮力不变，阻力与速度有
关，入水最深时速度为零，受到的阻力为零，对整个运动过程由动能定理可得
浮阻，因， 浮
，阻 ，
代入可解得 ，A正确。
第二步：求解恰完全入水时的动能，需要结合最大入水深度
结合上述分析和题图乙可知，恰完全入水时受到的阻力大小为
，运动员从自由落下到完全入水，根据动
能定理有 ，解得
，B错误。
第三步：运动员所受重力不变，功率如何变化？需要看速度的变化情况
运动员入水前速度越来越大，入水后当阻力和浮力的合力大于运动员的重力时，运动员
的速度逐渐减小，由 可知重力做功的功率先增大后减小，C正确。
第四步：如何求解机械能的变化量？可根据重力势能的减少量计算
运动员在整个运动过程动能变化量为零，故其机械能减少量为
，D正确。