考向三 电容器和带电粒子在电场中的运动-2025年高考物理专题复习课件
文档属性
| 名称 | 考向三 电容器和带电粒子在电场中的运动-2025年高考物理专题复习课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 10.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-02-18 09:45:54 | ||
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文档简介
(共110张PPT)
专题八 静电场
考向三 电容器和带电粒子在电场中的运动
2025年高考物理专题复习资料
考点切片
考点1 电容器动态分析问题
题组1 分析电场强度、电荷量、电容等变化
解题觉醒
解题技巧：运用公式
1.（2024湖北武汉联考）如图所示，电容为、带电荷量为 的平行板电容器水平放置，
两板之间的距离为，上极板带正电，下极板接地，一带电荷量为 的小球（可视为质
点）恰好静止在两板的中央点，重力加速度为 ，下列说法正确的是( )
A.小球带正电
B.点的电势为
C.小球的质量为
D.若把上极板向上平移一小段距离，则小球向下运动
B
【解析】 小球处于二力平衡状态，所受电场力竖直向上，电场强度方向竖直向下，
则小球带负电。
由电容的定义式，解得上、下两极板间的电势差， 点处在两极板的正
中央，则点与下极板间的电势差为，因为下极板接地电势为0，所以 点的电势
。
两板间电场强度大小，根据小球在电场中平衡有 ，可得小球的质量
。
根据电容的决定式和定义式有，，又，可得
（【大招运用】判断电场强度时可直接运用大招49公式 。），则若把上极板
向上平移一小段距离，两极板间的电场强度不变，小球受到的电场力不变，仍处于静止
状态，不会向下运动。
. .
2.（2023湖南常德段考）如图所示，平行板电容器充
电后与电源断开，正极板接地，两板间有一个带负
电的试探电荷固定在 点，静电计的金属球与电容器
的负极板连接，外壳接地。以E表示两极板间的电场
强度， 表示点的电势，表示该试探电荷在 点
的电势能， 表示静电计指针的偏角。若保持负极
板不动，将正极板缓慢向右平移一小段距离
C
A.增大， 降低，减小， 增大 B.不变， 降低，增大， 减小
C.不变， 升高，减小， 减小 D.减小， 升高，减小， 减小
（静电计带电荷量可忽略不计），各物理量变化描述正确的是( )
【解析】 根据可知，若不变，则不变；根据可知，若 减
小，则增大，根据可知，不变，则减小， 减小；根据“正地大负地小”可知，
右移的是接地的正极板，则电势升高，带负电的电荷电势能减小。
题组2 分析电容器中的电势变化
解题觉醒
注意：此口诀适合正对面积不变，极板顺（或逆）电场移动，分析电容器的电势变化问题。
3.（2024广东广州一中期中）如图所示，、 是水平放置的平行板电容器的两块极板，
下极板接地，直流电源电动势恒定，内阻不计。将开关 闭合，电路稳定后，一带电
油滴位于两板中央的点且恰好处于静止状态，现将 极板向上平移一小段距离，则
( )
D
A.电容器的带电荷量将增大
B.在极板上移过程中，电阻 中有向左的电流
C.带电油滴将沿竖直方向向上运动
D. 点电势将降低
【解析】 将板向上平移一小段距离，板间距离 增大。运用常规方法，先分
析电容变化，由 可知，电容器的电容变小，再分析极板带电荷量变化，又
，电压 不变，因此电容器带电荷量减小，电容器放电，回路中有顺时针方向的
电流，即电阻 中有向右的电流。
根据电容器内部电场强度，不变， 增大，可知电场强度减小，油滴受到向
上的电场力减小，将沿竖直方向向下运动。
、两板间的电场强度减小，由（其中为到 的距离，
），可知 点电势降低（【大招运用】判断电势变化可运用大招50口诀，根据
“顺高逆低看场线”可知，板向上平移，逆电场线移动， 点电势降低。）。
. .
. .
考点2 带电粒子在非匀强电场中的运动
4.［多选］（2024山西大同模拟）如图所示，虚线、、、 是空间中静电场的四条等
势线，相邻等势线间的电势差恒定，一个带电荷量为的带正电小球套在以 点为圆心
的光滑绝缘水平圆环上，小球在 点时，给小球一个初速度使小球沿圆环做圆周运动，
圆环与等势线在同一水平面内，与等势线的交点分别为、、、，小球运动到 点
时对圆环的作用力恰好为零，小球在点的动能为，在点的动能为 ，小
球的半径为 ，则下列判断正确的是( )
AC
A.点电势比 点电势高
B.小球在点的速度比在 点速度大
C.、两点的电势差的绝对值为
D.小球在点受到的电场力大小为
【抓题眼】由题述小球套在“光滑绝缘水平圆环上”可知，计算时不需要考虑重力、摩擦
力的影响；且由“小球运动到点时对圆环的作用力恰好为零”可知，小球运动到 点时
只受电场力。
小球运动到点时电场力提供向心力，且小球带正电，则点电场强度方向由 点
指向圆心点，由此判断，、、、四点中， 点电势最低。
小球从点向 点运动，电场力做负功，动能减小。
相邻等势线间的电势差恒定，、两点电势差的绝对值 。
小球在点受到的电场力 ，根据能量守恒定律可知
，联立可得 。
5.（2024湖南长沙市雅礼中学月考）工业生产中有一种叫电子束焊接机的装置，其核心
部件由如图所示的高压辐向电场组成。该电场的电场线如图中带箭头的直线所示。一电
子在图中 点从静止开始在只受电场力的作用下沿着电场线做直线运动，设电子在该电
场中的运动时间为，位移为，速度为，受到的电场力为，电势能为 ，运动经过
的各点电势为 ，则下列四个图像可能合理的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 电子所受电场力的方向与电场强度方向相反，指向圆心，因此电子向圆
心运动，电场强度逐渐增大，根据可知，电场力 逐渐增大。
设电子的质量为，则电子的加速度 ，电子向圆心运动，电场强度增大，电
子的加速度增大，速度—时间图线的切线斜率增大。
电子向圆心运动，电场强度增大，所受电场力增大，电势能—位移图线的切线斜
率绝对值增大（【点拨】电场力增大，则电子移动相同的距离时电场力做的功增多，电
势能变化加快，即 图线的切线斜率绝对值增大。）。
电子向圆心运动，逆电场线运动电势升高，电场强度增大，电势—位移图线的切
线斜率增大。
6.［多选］（2023河南洛阳模拟）质子能量分析器由半径分别为和 的两个同心金属
半球面构成，过其球心的截面如图所示，、 球面上加有电压使质子偏转。一束电荷
量为、质量为的质子以不同的速度从偏转器左端 板的正中间小孔垂直入射，最后
到达偏转器右端的探测板，其中速度为的质子沿等势面做匀速圆周运动到达 板
正中间；速度为的质子到达板左边缘时的动能为，速度为的质子到达 板右边
缘时的动能为 。则下列说法正确的是( )
BC
A.等势面所在处电场强度的大小为
B.等势面所在处电场强度的大小为
C.
D.
【解析】 质子沿等势面做匀速圆周运动到达 板正中间，此种情况下的轨
道半径为，有，解得 。
设、间电势差为,、间电势差为，到达 板左边缘处的质子在运
动过程中，电场力对它做正功，根据动能定理可得；到达 板右边
缘处的质子在运动过程中，电场力对它做负功，根据动能定理可得
，根据电场线越密的地方电场强度越大可知，辐向电场靠近圆心
处电场强度大，则，则 ，即
。
考点3 带电粒子在匀强电场中的加速和偏转
7.［多选］（2024陕西西安模拟）如图所示，一平行板电容器连接在直流电源上，电容
器的两极板水平；两微粒、 带等量异种电荷，使它们分别静止于电容器的上、下极
板附近，与极板距离相等。现同时释放、 ，它们由静止开始运动。在随后的某时刻
，、经过电容器两极板间下半区域的同一水平面。、 间的相互作用和重力可忽略，
则下列说法正确的是( )
BD
A.的质量比的大 B.在时刻，的动能比 的大
C.在时刻，和的电势能相等 D.在时刻，和 的动量大小相等
【解析】 设微粒的质量为、带电荷量为、加速度大小为 ,两板间电场强度大
小为，两微粒只受电场力作用且两者所受电场力大小相等，由位移 且
知，微粒的加速度大，由知，微粒 的质量小。
由动能定理得知，位移大的微粒 的动能大。
时刻，、在同一等势面上，、 两微粒的电荷量虽相等，但电性相反，故电势
能不相等。
由动量定理得可知，时刻、 的动量大小相等。
8.（2024重庆七中期中）如图，空间内有一范围足够大的匀强电场，场强方向与梯形区
域平行，已知，，， ，
，一比荷为的带负电粒子由点沿方向以速率 进入该电场，
恰好可以通过 点。不计粒子的重力，下列说法正确的是( )
C
A. 点电势为零
B.场强方向由指向
C.该粒子到达点时速度大小为
D.该粒子到达点时速度方向与 边垂直
【解析】 如图，，，可知
的中点的电势为，可知为等势线，连接 ，作
的垂线，根据沿电场线方向电势降低可知，场强方向
由指向 。
由几何关系可知，为 的中点，有
，可得 。
电场强度的大小 ，垂直电
场强度方向粒子做匀速直线运动，则有 ，沿电场强度方向粒子做
匀加速直线运动，则有，解得， ，沿电场强度方
向粒子的速度，该粒子到达 点时速度大小
为 。
该粒子到达点时速度方向与 延长线的夹角的正
切值，可知 ，所以该粒子到达
点时速度方向不与 边垂直。
9.［多选］（2024陕西西安高新一中模拟）一带正电微粒从静止开始经电压 加速后，
射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为 。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方
向与极板夹角为 ，微粒运动轨迹的最高点到极板左、右两端的水平距离分别为 和
，到两极板距离均为 ，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是
( )
BD
A.
B.
C.微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D.仅改变微粒的质量或者电荷量，微粒在电容器中的运
动轨迹不变
【解析】
，与、 无关，D正确
10.（2024江西吉安期末）如图所示，水平放置
的带电平行板长度为，间距为 ，板间的匀
强电场的场强为 ，倾斜向上的有界匀强电场的
场强大小也为 ，竖直放置的带电平行板的间距
为 ，一带电粒子（重力忽略不计）的质量为
，带电荷量为，从水平板的左下边缘 点以
水平向右的速度进入电场，从右上边缘 点离开
后立即进入倾斜的匀强电场，然后沿电场方向
直线运动到竖直板的左下边缘点，最后运动到竖直板的右上边缘 点时，速度方向竖
直向上，已知、两点间的间距为，， ，求：
（1） 粒子在、 两点的速度的大小；
【答案】 ;
【解析】 粒子从 过程做类平抛运动，则有
，，
令点速度与水平方向的夹角为 ，则有
解得，， ，
粒子从 过程做匀加速直线运动，则有
解得 。
（2） 粒子从到 运动的总时间；
【答案】
【解析】 粒子从过程做匀加速直线运动，则有
粒子从过程做类斜抛运动，则有
则粒子从到运动的总时间
解得 。
（3） 、 两点间的电势差。
【答案】
【解析】 由于粒子最后运动到竖直板的右上边缘 点时，速度方向竖直向上，水平分
速度减为0，则有
结合上述解得 。
11.（2023北京卷）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物
（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气
和带电颗粒沿板方向的速度 保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被
收集。已知金属板长度为，间距为 ，不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1） 若不计空气阻力，质量为、电荷量为 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板
间的电压 ；
【答案】
【解析】 只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部被收集，水平
方向有
竖直方向有
对颗粒根据牛顿第二定律有
又
联立解得 。
（2） 若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度 方向相反，大小为
，其中为颗粒的半径， 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速后达到
最大速度。
① 半径为、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压 ；
【答案】
【解析】 颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向
，即
且
解得 。
② 已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径
为和的两种颗粒，若的颗粒恰好被收集，求 的颗粒被收
集的百分比。
【答案】 25%
【解析】 带电荷量的颗粒恰好 被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速
达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
，
在竖直方向颗粒匀速下落
的颗粒带电荷量为
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
，
设只有距下极板为以内的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落
解得 ，则 的颗粒被收集的百分比为
。
12.（2024河南周口模拟）图（a）为一种测量带电微粒速率分布的实验装置。图中直径
为的竖直圆筒壁上有一竖直狭缝，高度为 ，宽度忽略不计。紧贴圆筒内壁固定有高
度为的半圆柱面收集板，用于收集带电微粒；板的一竖直边紧贴狭缝 ，上
边与狭缝上端对齐，上边缘远离狭缝的顶点为点，另有一距点弧长为的点 ，俯视
图如图（b）所示。圆筒内存在一竖直向下的匀强电场，电场强度为 。令圆筒以角速
度 绕中心轴顺时针转动，同时由微粒源产生的微粒沿水平方向以不同的速率射入圆
筒，已知微粒质量均为，电荷量均为 ，忽略微粒自身的重力及微粒间的相互
作用。
（1） 求 点所在竖直线上收集到的微粒中，入射速率最大的微粒下落的距离；
【答案】
【解析】 打在 点所在竖直线上的微粒，入射速率最大时，圆筒转过的角度为
对应的时间为
加速度为
下落高度
联立可得 。
（2） 为了确保收集板任一竖直线上收集到的微粒速率相同，并且能收集到所有该速率
的微粒，求圆筒转动角速度 的取值范围。
【答案】
【解析】 设带电微粒进入圆筒后，圆筒转过一圈的过程中，能收集到的速率最小的微
粒下降的高度为，第一圈末时，过点的竖直线上收集的微粒下落高度为
能收集到的速率最小的微粒对应的弧长为
加速度为，
设圆筒的周期为，，
联立可得
因为，所以 成立，结果合理。
考点4 示波器模型
解题觉醒
1.题型特征:带电粒子由静止释放，先经过加速电场，后垂直进入偏转电场，射出后再打
在荧光屏上，不计粒子重力。
2.解题步骤
（1）加速电场阶段：列动能定理表达式求粒子离开加速电场时的速度
（2）偏转电场阶段：将粒子的运动分解为沿电场方向的匀速直线运动和垂直电场方向
的匀加速直线运动。
（3）利用相似三角形，如图中 ，求粒子打到荧光屏
上时位移的偏移量 。
13.［多选］（2024上海期中）如图所示为一种喷墨打印机的打印头的结构简图，其中
墨盒可以喷出极小的墨汁颗粒，此颗粒经过带电室带上电后垂直于电场方向射入偏转电
场，经过偏转电场后打到纸上。不考虑墨汁颗粒的重力，为使打在纸上的字迹缩小
（偏转距离减小），下列措施可行的是( )
AC
A.仅减小墨汁颗粒的带电荷量 B.仅减小偏转电场两极板间的距离
C.仅减小偏转电场的电压 D.仅减小墨汁颗粒的喷出速度
【解析】 墨汁颗粒以一定的初速度垂直射入偏转电场做类平抛运动，设偏转
电场两极板的长度为、两极板间的距离为、两极板间的电压为 ，墨汁颗粒的质量为
、电荷量为、初速度大小为，墨汁颗粒在偏转电场中的加速度大小为 、运动时间
为，则墨汁颗粒射出偏转电场时水平方向的位移，竖直方向的位移 ，
加速度，联立解得 。要缩小字迹，就要减小墨汁颗粒通过偏转电场过
程中竖直方向上的位移 ，由上式分析可知，可采用的方法有：减小墨汁颗粒的带电荷
量、增大偏转电场两极板间的距离、减小偏转电场的电压 、增大墨汁颗粒的喷出速度
等。
14.（2024北京期中）利用电场来加速和控
制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术
设备中有广泛的应用。如图所示，、 为
竖直放置的平行金属板，、 为板上正对
的小孔，两板间所加电压为，金属板 和
水平放置在板右侧，关于小孔、 所
在直线对称，两板间加有恒定的偏转电压。现有一质子和 粒子从小孔 处
先后由静止释放，经加速后穿过小孔水平向右进入偏转电场。已知 粒子的质量为 ，
电荷量为 。
（1） 求 粒子进入偏转电场时的速度大小。
【答案】
【解析】 根据动能定理有
解得 粒子进入偏转电场时的速度大小 。
（2） 请判断质子和 粒子在偏转电场中的运动轨迹是否相同，并说明理由。
【答案】 见解析
【解析】 建立如图所示的坐标系，以出发点为原点，水平向右为轴，向下为 轴，
设偏转极板、间的电压为，极板间距为，有，，
联立可得
与带电粒子的质量和电荷量无关，故质子和 粒子在偏转电场中的运动轨迹相同。
（3） 交换、两板的极性，使大量电子加速后连续不断地穿过小孔 水平向右进入
偏转电场，且进入偏转电场的速度均为。已知极板和 的长度
，间距，两极板间电压为 。已知电子质量
，电荷量。若要电子不能穿过偏转极板，求 至少
为多大。
【答案】
【解析】 设电子飞出偏转极板的时间为，当电子的侧位移为时，有
解得
若要电子不能穿过偏转极板，则需 。
15.（2024广东广州白云中学期中）一束电子从静止开
始经加速电压 加速后，水平射入水平放置的两
平行金属板中间，如图所示。金属板长为 ，两板间的
距离为 ，竖直放置的荧光屏与金属板右端的距离
，若在两金属板间加直流电压时，电子偏离中线打在荧光屏上的 点。
已知电子的质量为 、
电荷量为， ，不计电子重力及电子之间的相
互作用。
（1） 求电子刚进入偏转电场时的速度大小；
【答案】
【解析】 设电子刚进入偏转电场时的速度大小为，由动能定理可得
解得 。
（2） 求电子离开偏转电场后打在荧光屏上时、 间的距离；
【答案】
【解析】 电子在偏转电场中做类平抛运动，设运动时
间为，有，偏转位移
又加速度
解得
如图所示，由几何关系，可得 （【大招运用】
计算、 间的距离运用大招51，利用平抛推论和相似三角形解题。）
解得、间的距离 。
. .
. .
（3） 若在两金属板间加直流电压，电子打在荧光屏上 点（图中未画出），
则电子两次打在荧光屏上时的动能之比 是多少？
【答案】
【解析】 同理，改变金属板间电压后，有，偏转位移
解得
由动能定理可得电子两次打在荧光屏上时的动能分别为
则 。
考点5 带电粒子在等效重力场中的运动
解题觉醒
一、等效重力场中的抛体运动
1.题型特征
有重力的小球在匀强电场中竖直上抛，落到同一水平线上，分析位移、能量。
2.解题步骤
（1）时间关系：
（2）位移关系：
（3）分析能量：重画路径。
二、电场重力场 竖直圆模型
1.题型特征
（1）复合场：竖直重力场 匀强电场。
（2）带电体在等效重力场中做竖直圆周运动，带电体重力不能忽略。
2.解题步骤
（1）受力分析；
（2）确定等效最低点、最高点；
（3）依据圆周运动规律分析、列方程。
16.［多选］（2024天津市第一中学期中）在电场方向水平向
右的匀强电场中，一带电小球从 点竖直向上抛出，其运动
的轨迹如图所示，小球运动的轨迹上、 两点在同一水平线
上，点为轨迹的最高点，小球抛出时的动能为，在
点的动能为 ，不计空气的阻力，则( )
BD
A.从点运动到点电势能增加
B.小球水平位移与之比为
C.小球落到点时的动能为
D.小球从点运动到点的过程中动能有可能小于
【解析】 将小球的运动沿水平和竖直方向正交分解，水平分运动为初速度为零的匀加
速直线运动，竖直分运动为竖直上抛运动。
小球抛出时的动能为，在点的动能为，因此从点运动到 点电场力做
功为，则电势能减小 。
对于初速度为零的匀加速直线运动，从初始时刻开始在连续相等的两段时间间隔
内位移之比为 ，小球在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向上抛
和下落过程运动时间相等，因此 。
小球从点到点，小球所受电场力做功为,则从点到 点电场
力做功为 ,则由能量守恒定律可知，小球运动
到点时的动能为 。
图1
【大招运用】计算小球落到 点时的动能可运用大招52，
重新画小球的路径，如图1所示，依次标出每个过程重力
或电场力做的功，快速得出结果 。
图2
合运动与分运动具有等时性，设小球所受的重力为 ，
小球的质量为，从点到点运动时间为 ,则有
，，所以 ，由图2可得
，因此，小球从点运动到 点的过程
中速度最小时速度一定与等效重力垂直，如图2中的 点，
将小球在点的速度沿垂直于的方向和 所在直线的方向
分解，得最小速度 ，故最小动能
。
17.［多选］（2024重庆模拟）如图，在竖直平面内有水平向左的
匀强电场，在匀强电场中有一根长为 的绝缘细线，细线一端固定
在点，另一端系一质量为、电荷量大小为 的带电小球。小球静
止时细线与竖直方向成 角，此时让小球获得初速度且恰能绕 点
在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为 。则( )
ABC
A.匀强电场的电场强度大小为
B.小球获得初速度的大小为
C.小球从初始位置运动至轨迹的最左端减少的机械能为
D.小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【解析】 小球静止时细线与竖直方向成 角，对小球受力分析如图所示，
小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件有 ，解得
。
小球恰能绕点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点 由重力和电场力的合力
提供向心力（【点拨】等效重力场问题，小球运动到等效最高点时，速度最小。小球恰
好能做圆周运动的条件是，小球在等效最高点时，由重力和电场力的合力提供向心
力。），根据牛顿第二定律，有，则小球从初始位置运动到 点的过程中，
由动能定理可得 ，联立解得小球获得初
速度的大小为 。
. .
. .
小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小
球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端时机械能最小（【点拨】在整个运动过程中，
重力和电场力做功，即小球的动能、重力势能和电势能在相互转换，故小球电势能最大
时，小球的机械能最小，减少的机械能等于增加的电势能。电场力做正功，电势能减
少。），由功能关系和能量守恒定律可得，小球从初始位置运动至轨迹的最左端减少的
机械能电 。
小球从初始位置开始在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，电场力先做负功，
后做正功，再做负功，则其电势能先增大后减小再增大。
18.［多选］（2024内蒙古包头检测）如图所示，地面
上方某区域内存在水平向右的匀强电场，质量为 的带
正电小球以竖直向上的初速度由 点射入该区域，小
球刚好能到达的最高点为点。已知、 的连线与初
速度方向的夹角为 ，重力加速度为 ，
BD
A.小球所受电场力的大小为 B.小球通过点时的动能为
C.经过时间，小球距直线最远 D.经过时间 ，小球的动能最小
， ，不计空气阻力，从小球进入电场至运动到最高点的过程
中，下列说法正确的是( )
【解析】 设，小球从点到点经历的时间为，小球在 点的速度大小
为,小球从点到点水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，到达 点
时竖直方向的速度为零，水平方向有，竖直方向有 ，且
，，解得，水平方向的加速度大小 ，在水平方向由牛顿第二
定律得小球所受电场力的大小，则小球在 点的动能为
。
当小球的速度平行于时小球距直线最远，此时 ，其中沿电场方向
的分速度，垂直于电场方向的分速度，解得运动时间 。
由几何关系知，小球所受合外力与水平方向成 角斜向右下方，当小球的速度方
向与所受合力方向垂直时小球的动能最小，此时有 ，沿电场方向的分速度
，垂直于电场方向分速度，解得运动时间 。
【大招运用】A、B选项也可运用大招52求解。如图所示，
设过点的竖直线与过点的水平线的交点为 ，小球的电
荷量为，匀强电场的电场强度大小为,从点到 点运动
时间为，重新画小球的路径。对段与 段分别运用运
动学公式可知， ，由几何关系可
知，解得，A错误。小球在 点的动能等
于段电场力做的功，则，从点到 点重力做功
，解得 ，B正确。
19.［多选］（2024辽宁联考）一半径为 的光滑绝缘半圆弧轨道固
定在竖直平面内，为其竖直直径，为圆心，半径 ，
整个空间存在向左上方，与水平面成 角的匀强电场。一质量为
、带电荷量为 的小球（可视为质点），第一次从轨道最低
点由静止释放，到达点时速度刚好为零， 连线与水平面成
角。第二次小球从点以速度 水平向左射入，可使小球刚好
到达点，点速度大小为， ，则下列说法正确的是
( )
AC
A.电场强度
B.
C.
D.第二次小球从点到点的过程中，最大速度为
【解析】 类比单摆，因为小球到达 点时，速度为零
（【抓题眼】这句话表明了 点相当于最高点，小球所受
合外力方向沿弧的对称轴指向 点。），可确定图中的
与的合力在二者夹角 的角分线方向，由图中
的几何关系可知，可得 。
因为小球刚好到达 点，所以对轨道的压力为零，即
，可得 。
小球从点运动到 点，根据动能定理
，解得
. .
。
根据大招找最低点方法，可知过圆心作合力 与圆轨道的交点为等效最低点，设该
交点为，当小球到达等效最低点时，有圆周运动的最大速度，对小球从 点运动
到点，由动能定理可知，由图中的几何关系可知 ，联立
可得 。
考点6 带电粒子在周期场中的运动
解题觉醒
1.题型特征：带电粒子由静止开始在交变电场中运动，或垂直于电场方向射入加了交变电
场的极板之间，并给出
2.解题步骤
（1）定方向：规定
（2）画图像：且不变, 图像为
倾斜向上的直线；且不变, 图像
为倾斜向下的直线。
（3）明运动：根据 图像确定粒子运动
方向，上面积对应正向走，下面积对应负向走。
20.（2024浙江嘉兴期末）如图甲中高能医用电子直线加速器能让电子在真空场中被电
场力加速，产生高能电子束，图乙为加在直线加速器上、 间的电压，已知电子电荷
量为，质量为，交变电压大小始终为，周期为，时刻电子从轴线 上的紧
靠0号金属圆筒右侧由静止开始被加速，圆筒的长度的设计遵照一定的规律，使得粒子
“踏准节奏”在间隙处一直被加速。不计在两金属圆筒间隙中的运动时间，不考虑电场的
边缘效应，则( )
A.电子在1号圆筒内加速度大小为
B.电子在2号圆筒内运动时间
C.电子射出3号圆筒时的速度大小为
D.8号金属圆筒的长度为
√
【解析】 金属圆筒中电场为零，电子不受电场力作用，则电子在1号圆筒内加速
度为零。
电子每经过圆筒间狭缝时都要被加速，然后进入圆筒做匀速直线运动，所以电子
在圆筒中运动时间必须为 ，才能满足每次经过狭缝时被加速。
设电子进入3号圆筒时的速度为，由动能定理有，可得 ，
因为电子在圆筒中做匀速直线运动，则电子射出第3个圆筒时的速度大小为 。
设电子进入8号圆筒时的速度为，由动能定理有，可得 ，
而电子在圆筒中做匀速直线运动，由此可得8号圆筒的长度为 。
21.［多选］（2024湖南师大附中模拟）图1的平行金属板、 间加有图2所示的交变电
压，是、板间的中线，当电压稳定时，板间为匀强电场。时刻，比荷为
的带电粒子甲从点沿方向、以的速率进入板间， 时刻飞离电场，期间恰
好不与极板相碰。若在时刻，带电粒子乙以的速率沿从 点进入板间，已
知乙粒子在运动过程中也恰好不与极板碰撞，不计粒子受到的重力，则下列说法正确的
是( )
A. 时刻，乙粒子离开电场
B.乙粒子的比荷为
C.甲粒子离开电场时的速度大小为
D.甲、乙两粒子通过电场偏转的位移大小之
比为
√
√
【解析】 运用大招53分步进行分析。
第 一 步 定 方 向 这道题未给出粒子的电性，选项中也不涉及粒子偏转方向，可假设、 间电压为
时，粒子向上极板运动
第 二 步 画 图 像 根据题意，图像与图像变化情况相同，可根据 图像画出不同时间段
进入的粒子的 图像，如图所示。
_________________________________________________________________________________________
图线与时间轴围成的面积表示垂直于极板方向上的位移，图线 为甲的
图线，图线为乙的 图线
第 三 步 明 运 动 A（）设板长为，甲粒子带负电，则甲运动时间为 ，因乙粒子入射速度为甲的两倍，故运动时间为，因乙在 时刻飞入板间，则在 时刻飞出板间。
D（√）设板间距为 ,若粒子恰好不与极板碰撞，表示粒子在电场中竖直方向的最大位移大小刚好为，根据图像可知，在 时刻甲粒子恰好不碰到极板，该时刻甲粒子的位移的大小达到最大，而在 时刻，甲粒子出电场，此时位移是最大位移的一半，为，即甲在竖直方向上的位移为 ；同理，对乙粒子，根据图像可知在 时刻乙粒子恰好不与极板相撞，此时乙刚好飞出电场，即乙在竖直方向上的位移为，则偏转位移之比为 。
C（）时刻，甲粒子离开电场时具有竖直向上的分速度，速度不是 。
B（√）设甲、乙的加速度大小分别为、,质量分别为、 ,电荷量大小分别为、,对乙有 ，对甲有，因，故有，可得 ，又，，可得 。
觉醒集训
1.（2024湖南卷）真空中有电荷量为和的两个点电荷，分别固定在轴上 和0
处。设无限远处电势为0，正半轴上各点电势 随 变化的图像正确的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 根据点电荷周围的电势公式，设处 的电势为0，可得
，解得，故可知当时，；当时， ，D正
确。
2.［多选］（2023天津卷）如图所示，一个固定正电荷产生的电场中，同一个正电荷
两次以大小相同、方向不同的初速度从点出发，分别抵达点、点，且在、 点
时速度大小也一样，则下列说法正确的是( )
AD
A.点电势大于点电势 B.点电势大于 点电势
C.从点到点一直做减速运动 D.、 两点处电场强度大小相同
【解析】 由题知，同一个正电荷 两次以大小相同、方向不同的初速度
从点出发，分别抵达点、点，且在、点时速度大小也一样，这说明、 两
点的电势相同，根据运动轨迹可知，正电荷 所受电场力方向大致向右，则场源正电荷
位于点左侧，由于沿着电场线方向电势降低，所以点电势高于点电势，从到
一直做加速运动。
、两点在同一等势面上，且该电场是固定正电荷产生的电场，则、 到固定
正电荷的距离相等，则、 两点处电场强度大小相同。
3.（2024山东模拟）在轴上的、 两点分别固定
两个点电荷，如图是轴上各点电场强度 随位置
变化的关系图像，图中图线关于 点中心对称，
轴上、两点关于点对称。规定 轴正方向为
电场强度正方向，下列说法正确的是( )
D
A.、 两点固定的是等量异种电荷
B.从点到 点，电势逐渐降低
C.电势差
D.一正电荷从点自由释放，仅在电场力作用下运动到 点过程中其动能先增大后减小
【解析】 由电场方向随轴的变化可知，、 两点放置的是等量正点电荷
（【点拨】若、两点固定的是等量异种电荷，则点处 轴方向的场强不应为零，且
轴方向的场强图线应为关于、 中点对称的曲线。）。
由题图可知，从点到 点，场强方向先向右后向左，根据沿电场线方向电势降低
可知，电势先降低后升高。
图像与横轴围成的面积表示电势差，由题图可知图线关于点中心对称， 轴
上、两点关于点对称，故、与图线围成的面积大小相等，又因为 ,
，故 。
从点到点，场强方向先向右后向左，故正电荷从 点自由释放，先受到向右的
电场力，后受到向左的电场力，电场力先做正功，后做负功，其动能先增大后减小。
. .
4.（2024安徽安庆模拟）如图所示，两个完全相同的平行板电容器水平放置，上极板由
导线经二极管相互连接，下极板由导线直接连接且接地，开始时两电容器上极板带电荷
量相等。带电小球静止在左边电容器的中间位置，另一个带电小球 通过绝缘细线悬
挂在右边电容器的上极板上，且 球静止时距下极板的距离为两板间距的四分之一。两
球均可视为点电荷。以下说法正确的是( )
D
A.球电势能大于 球电势能
B.将左边电容器下极板上移少许，、 两
球开始所在位置处的电势均升高
C.将左边电容器下极板下移少许，稳定后左、
右两平行板电容器内电场强度大小相等
D.在左边电容器靠近下极板插入一电介质板，
稳定后右边电容器内电场强度大小不变
【解析】 开始时左右两电容器内场强相等，由于不知道 球的质量及所带电荷，
因此无法比较两者的电势能。
将左边电容器下极板上移少许，由可知，电容增大，由， ，
联立可得 （【点拨】由于二极管的单向导电性，右侧电容器上极板的电荷不能
移向左边电容器，因此左边电容器的带电荷量 不变。），可见左边电容器两极板间电
压减小，但是场强大小不变，对两点电势大小的计算有 ，由于两边场强均不
变，而左侧减小，右侧不变，因此左边球所在位置处电势减小，右边 球所在位置
处电势不变。
将左边电容器下极板下移少许，根据 可知，左边电容器电容减小，因此左
. .
. .
边电容器需要放电，即左边电容器内的电荷将移向右边电容器，根据， 联立
可得 ，可知，左边电容器内场强减小，而右边电容器内场强增大。
在左边电容器靠近下极板插入一电介质板，根据 可知，左边电容器电容变
大，而由于二极管的单向导电性，可知右边电容器中的电荷不能左移，因此，稳定后右
边电容器内电场强度大小不变。
5.（2024江西吉安泰和中学月考）两带电荷量分别为和 的点电荷
、分别固定在轴上的、两点，两电荷连线上各点电势 随坐
标变化的图像如图所示，其中点电势最高，且在轴上、 之间的
距离小于、 之间的距离。则下列说法正确的是( )
D
A.和 都带正电
B.的电荷量大于 的电荷量
C.在、之间将一点电荷沿轴从 点下侧移到上侧，电势能先减小后增大，则该点电
荷带正电
D.一点电荷只在电场力作用下沿轴从点运动到接近 点，加速度逐渐变大
【解析】 由题图可知，从到电势升高，则、间电场线方向由指向，从
到电势降低，则、间电场线方向由指向，则和 是同种电荷，都带负电。
在点， 图线的切线斜率为无穷大（【易错】注意 图线上各点切线斜
率绝对值不表示电场强度的大小，而是表示电场强度大小的倒数。），则 点的电场强
度大小为零，说明和两点电荷在 点产生的电场强度大小相等，方向相反（【易错】
此处注意电场强度的矢量性，叠加时应注意方向性。），由点电荷的电场强度公式
可知，因，故的电荷量小于 的电荷量。
负点电荷从点下侧移到 点上侧，电场力先做正功，后做负功，负点电荷的电势
能先减小后增大。
图线切线斜率绝对值表示电场强度大小的倒数，从点到点， 图线
切线斜率绝对值越来越小，故电场强度越来越大，则一点电荷只在电场力作用下沿 轴
从点运动到接近 点，加速度逐渐变大。
. .
. .
6.［多选］（2024河北衡水期末）如图所示，竖直平面内有两个固定的点电荷，电荷量
均为，与其连线中点的距离均为，质量为、电荷量为的试探电荷以 为圆心、
垂直两固定的点电荷的连线做匀速圆周运动，圆周上的两点、与 在同一直线上，
、两点各自和两个正点电荷连线与连线的夹角均为 ，已知静电力常量为
，重力忽略不计，则( )
BC
A.试探电荷做匀速圆周运动所需的向心力大小为
B.若将 增大，试探电荷仍能以 为圆心做匀速圆周运动，
则试探电荷的向心力可能变小
C.试探电荷做匀速圆周运动的角速度为
D.若在点由静止释放负点电荷，该电荷将加速到达 点
【解析】 以试探电荷为研究对象，其做匀速圆周运动，两正点电荷对其静电力的
合力提供向心力，做匀速圆周运动所需的向心力大小为 。
越大，越靠近 点，由等量同种点电荷产生的电场可知，电场强度可能变小，所
以 增大向心力有可能变小。
由可得，试探电荷做匀速圆周运动的角速度 。
、之间的电场强度方向向左，电场力向右，由到 ，电场力反向，故负点电荷
先加速后减速运动，到 点速度为零。
7.（2024重庆一中期中）一点电荷固定在空间点，在点上下空间内分别有、 两点
电荷在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。、两点电荷的电荷量分别为、 ，
质量分别为、 ，不计重力作用。则( )
A
A.， B.，
C.， D.，
【解析】 在不计重力的影响下，受力分析图如图所示，
由于、两点电荷都做匀速圆周运动，要保持、 ，各自所受
合力的大小始终保持相等，、 的相对距离不能发生改变，故
、的角速度要保持相等。对于、 各自竖直方向的合力为零，
有 ， ，整理可
得，由图可知,故 。
水平方向上，对点电荷有，对 点电荷有
，联立方程可得，由于 ，则
有 。
8.（2023重庆八中二模）空间中存在平行于纸面的匀强电场，在纸面内取 点为坐标原
点建立轴，如图甲所示。现有一个质量为、电荷量为的带电微粒，从 开始以
一定初速度从轴上的点开始沿逆时针方向做匀速圆周运动，圆心为、半径为 。已
知图甲中圆为其轨迹，为圆轨迹的一条直径。除电场力外微粒还受到一个变力 ，不
计其他力的作用。测得带电微粒所处位置的电势 随时间 的变化图像如图乙所示。下
列说法正确的是( )
A.电场强度的大小为，方向与轴正方向的夹角为
B.点与点的电势差
C.微粒在时所受变力 可能达到最大值
D.带电微粒做圆周运动的过程中变力的最大值为
√
图1
【解析】 根据匀强电场电场强度与电势差的关系可知，
场强 ，因为沿电场强度方向电势降
低，所以电场强度方向与轴正方向的夹角为 (【点拨】设
时微粒转到点,时转到 点，由题图乙可知微粒做圆周
运动的周期，则 时间内微粒转动
的角度为。则电场方向为图1中指向 的箭头所示方向。)。
点与点的电势差 。
. .
. .
图2
由于电场强度方向斜向左下方，因此微粒在 时位于等
效“最低点”，所受变力可能达到最大值，在 时位于等效“最
高点”，所受变力 可能达到最小值（【点拨】微粒做匀速圆周运
动所需的向心力大小不变，电场力不变，如图2所示,以向心力长度
为半径画圆，当与向心力反向时，最大；同向时， 最
小。）。
带电微粒做圆周运动的过程中变力的最大值为， ，因
此 。
. .
. .
. .
9.（2024陕西西安高新一中实验中学期末）如图（a）所示，真空室中电极 发出的电子
（初速度为零，不计重力）。经的加速电场后，由小孔沿水平金属板 、
两板间的中心线射入，、板长，相距，加在、 两板间的
电压随时间变化的图线如图（b）所示。设、 两板间的电场可以看作是均匀
的，且两板外无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的。两
板右侧放一记录圆筒，筒的左侧边缘与极板右端距离 ，筒绕其竖直轴匀速转
动，周期，筒的周长，筒能接收到通过、 板的全部电子。
（1） 对于恰能穿过、板的电子，在它通过时加在两板间的电压 应为多大？
【答案】
【解析】 对于恰能穿过、板的电子，设为电子沿、 板的中心线射入电场时的
初速度，由动能定理得
电子在中心线方向的运动为匀速直线运动，设电子穿过、板的时间为 ，则有
电子在垂直、板方向的运动为匀加速直线运动，对于恰能穿过、 板的电子，它在
垂直、板方向的加速度大小为
在它恰能通过时应满足
解得 。
（2） 以时［见图（b），此时］电子打到圆筒记录纸上的点作为 坐标系
的原点，并取 轴正方向竖直向上，试计算电子打到记录纸上的最高点的横坐标和纵坐标；
【答案】 和
【解析】 此电子从、板射出时沿方向的分速度为
此后，此电子做匀速直线运动，它打在记录纸上的点最高，设纵坐标为 ，根据几何
关系可得
解得
由题图（b）可知，加于两板电压的周期，的最大值 ，因为
，所以在一个周期内，只有开始的一段时间间隔内有电子通过、 板，则
有
由题意可知电子从发射到打在到记录纸上的时间可忽略不计。并且因为 ，所以电
子打在记录纸上的最高点不止一个，根据题中关于坐标原点与起始记录时刻的规定，第
一个最高点的横坐标为
第二个最高点的横坐标为
第三个最高点的横坐标为
由于记录筒的周长为 ，所以第三个最高点已与第一个最高点重合，由此推知记录
纸上能记录到的最高点只有两个，它们的坐标分别为和 。
（3） 在图（c）给出的坐标纸上定量地画出电子打到记录纸上的点形成的图线。
【答案】 见解析
【解析】 根据前面分析可知，在圆筒转动的第一个周期内，可以在圆筒上留下两条最
低点和最高点的连线，而在之后的周期中，上述连线对应重合。电压为 时，电子的偏
移量为
运用大招结论可知
解得
根据前面分析可知时刻打在记录纸上的横坐标为
由题图（b）可知在每个周期内都随 线性变
化，所以也随线性变化，则根据上述可知
随 呈线性关系，即记录纸上最低点和最高点
连线为直线，电子打到记录纸上所形成的图线
如图所示。
觉醒原创
1.［多选］如图所示，为一半圆的直径，为半圆的圆心， 为半圆上的
一点，与直径垂直，两个电荷量相等的负点电荷分别置于、 两点，
现使一个负试探电荷从点出发，沿半径向 点缓慢移动，一直移动到
点，则在移动过程中下列说法正确的是( )
AD
A.试探电荷 移动过程中的电势逐渐升高
B.试探电荷 的电势能逐渐增大
C.试探电荷 受到的静电力方向一直变化
D.试探电荷 受到的静电力大小先增大后减小
【解析】 根据等量同种负电荷电场线的分布可知负试探电荷 的移动方向与电场
线方向相反，所以电势逐渐升高。
根据 可知，负试探电荷 所在位置电势越高，电势能越小。
如图所示，设两点电荷的电荷量为，试探电荷所在处为， 与直
径的夹角为 ，圆半径为，则一点电荷在 点产生的电场强度大小为
，两点电荷在 点产生的合电场强度大小为
，方向始终指向圆心，所以试探电荷 受到
的静电力方向始终沿背离 的方向。
设 ，则有 ，令 ，
则，其导数为，根据数学知识分析可知时， ，
取得最大值，此时，，即点到点的距离为 时，
有最大值，两点电荷在半径 上产生的场强
有最大值，点到点的距离大于，则试探电荷
沿半径一直移动到点过程中电场强度先增大后减小，所以试探电荷 受到的静电力
也是先增大后减小。
2.如图所示，直角坐标系中、、、 四点的坐标分别
为、、、，有一带电荷量为
的长方体，其中心在坐标原点处， 轴与长方体左右两个面
垂直， 轴与长方体上下两个面垂直，长方体所带电荷均匀
B
A.，与轴正方向夹角为 B.，与轴正方向夹角为
C.，与轴正方向夹角为 D.，与轴正方向夹角为
分布，点放置一电荷量为的点电荷，此时 点的电场强度恰好为零。已知静
电力常量为，如果将放置在点的点电荷移到点，则 点的电场强度大小和方向为
( )
【解析】 点电荷在点产生的电场强度大小为 ，方
向沿轴正方向，因点的电场强度恰好为零，则长方体在
点产生的电场强度大小为，方向沿 轴负方向，
根据对称性可知长方体在 点产生的电场强度大小也为
，方向沿轴正方向，如图所示，从向 轴做垂线，
交点为，则，，设为 ，
，则，，将点电荷移到点后，其在 点产生的
电场强度大小也为，方向沿方向，与长方体在点产生的电场强度 方向的
夹角为 ，则点的合电场强度为，方向与 轴正方
向夹角为 ，选项B正确。
跳跳学长有话说
在求解非点电荷的电场强度时不能直接用公式求解，通常会用到等效和对称的思想，根
据非点电荷电场和点电荷电场之间的关系，确定非点电荷的电场强度。
3.如图所示，一光滑绝缘斜面固定于水平面上，与水平面间的夹
角为 ，斜面上开凿有一凹进斜面的光滑绝缘的圆形轨道
（圆形轨道属于斜面的一部分），圆形轨道与斜面底端相切，轨
道半径为，、分别为轨道的最高点和最低点，一带电小球
可以在圆形轨道内侧运动，小球的质量为 ，带电荷量为
，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为
，重力加速度大小为，， 。现给
【答案】
小球一个水平向右的初速度，当小球到达最高点 时速度大小
为，求此时小球对斜面的作用力 的大小。
【解析】 小球在最高点时，设轨道对小球指向圆心方向的弹力为 ，根据向心力
公式有
代入数据解得
小球在最高点时，设斜面对小球在垂直于斜面方向的弹力为 ，在垂直于斜面方向
上有
斜面对小球的作用力为
根据牛顿第三定律有小球对斜面的作用力 。
专题八 静电场
考向三 电容器和带电粒子在电场中的运动
2025年高考物理专题复习资料
考点切片
考点1 电容器动态分析问题
题组1 分析电场强度、电荷量、电容等变化
解题觉醒
解题技巧：运用公式
1.（2024湖北武汉联考）如图所示，电容为、带电荷量为 的平行板电容器水平放置，
两板之间的距离为，上极板带正电，下极板接地，一带电荷量为 的小球（可视为质
点）恰好静止在两板的中央点，重力加速度为 ，下列说法正确的是( )
A.小球带正电
B.点的电势为
C.小球的质量为
D.若把上极板向上平移一小段距离，则小球向下运动
B
【解析】 小球处于二力平衡状态，所受电场力竖直向上，电场强度方向竖直向下，
则小球带负电。
由电容的定义式，解得上、下两极板间的电势差， 点处在两极板的正
中央，则点与下极板间的电势差为，因为下极板接地电势为0，所以 点的电势
。
两板间电场强度大小，根据小球在电场中平衡有 ，可得小球的质量
。
根据电容的决定式和定义式有，，又，可得
（【大招运用】判断电场强度时可直接运用大招49公式 。），则若把上极板
向上平移一小段距离，两极板间的电场强度不变，小球受到的电场力不变，仍处于静止
状态，不会向下运动。
. .
2.（2023湖南常德段考）如图所示，平行板电容器充
电后与电源断开，正极板接地，两板间有一个带负
电的试探电荷固定在 点，静电计的金属球与电容器
的负极板连接，外壳接地。以E表示两极板间的电场
强度， 表示点的电势，表示该试探电荷在 点
的电势能， 表示静电计指针的偏角。若保持负极
板不动，将正极板缓慢向右平移一小段距离
C
A.增大， 降低，减小， 增大 B.不变， 降低，增大， 减小
C.不变， 升高，减小， 减小 D.减小， 升高，减小， 减小
（静电计带电荷量可忽略不计），各物理量变化描述正确的是( )
【解析】 根据可知，若不变，则不变；根据可知，若 减
小，则增大，根据可知，不变，则减小， 减小；根据“正地大负地小”可知，
右移的是接地的正极板，则电势升高，带负电的电荷电势能减小。
题组2 分析电容器中的电势变化
解题觉醒
注意：此口诀适合正对面积不变，极板顺（或逆）电场移动，分析电容器的电势变化问题。
3.（2024广东广州一中期中）如图所示，、 是水平放置的平行板电容器的两块极板，
下极板接地，直流电源电动势恒定，内阻不计。将开关 闭合，电路稳定后，一带电
油滴位于两板中央的点且恰好处于静止状态，现将 极板向上平移一小段距离，则
( )
D
A.电容器的带电荷量将增大
B.在极板上移过程中，电阻 中有向左的电流
C.带电油滴将沿竖直方向向上运动
D. 点电势将降低
【解析】 将板向上平移一小段距离，板间距离 增大。运用常规方法，先分
析电容变化，由 可知，电容器的电容变小，再分析极板带电荷量变化，又
，电压 不变，因此电容器带电荷量减小，电容器放电，回路中有顺时针方向的
电流，即电阻 中有向右的电流。
根据电容器内部电场强度，不变， 增大，可知电场强度减小，油滴受到向
上的电场力减小，将沿竖直方向向下运动。
、两板间的电场强度减小，由（其中为到 的距离，
），可知 点电势降低（【大招运用】判断电势变化可运用大招50口诀，根据
“顺高逆低看场线”可知，板向上平移，逆电场线移动， 点电势降低。）。
. .
. .
考点2 带电粒子在非匀强电场中的运动
4.［多选］（2024山西大同模拟）如图所示，虚线、、、 是空间中静电场的四条等
势线，相邻等势线间的电势差恒定，一个带电荷量为的带正电小球套在以 点为圆心
的光滑绝缘水平圆环上，小球在 点时，给小球一个初速度使小球沿圆环做圆周运动，
圆环与等势线在同一水平面内，与等势线的交点分别为、、、，小球运动到 点
时对圆环的作用力恰好为零，小球在点的动能为，在点的动能为 ，小
球的半径为 ，则下列判断正确的是( )
AC
A.点电势比 点电势高
B.小球在点的速度比在 点速度大
C.、两点的电势差的绝对值为
D.小球在点受到的电场力大小为
【抓题眼】由题述小球套在“光滑绝缘水平圆环上”可知，计算时不需要考虑重力、摩擦
力的影响；且由“小球运动到点时对圆环的作用力恰好为零”可知，小球运动到 点时
只受电场力。
小球运动到点时电场力提供向心力，且小球带正电，则点电场强度方向由 点
指向圆心点，由此判断，、、、四点中， 点电势最低。
小球从点向 点运动，电场力做负功，动能减小。
相邻等势线间的电势差恒定，、两点电势差的绝对值 。
小球在点受到的电场力 ，根据能量守恒定律可知
，联立可得 。
5.（2024湖南长沙市雅礼中学月考）工业生产中有一种叫电子束焊接机的装置，其核心
部件由如图所示的高压辐向电场组成。该电场的电场线如图中带箭头的直线所示。一电
子在图中 点从静止开始在只受电场力的作用下沿着电场线做直线运动，设电子在该电
场中的运动时间为，位移为，速度为，受到的电场力为，电势能为 ，运动经过
的各点电势为 ，则下列四个图像可能合理的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 电子所受电场力的方向与电场强度方向相反，指向圆心，因此电子向圆
心运动，电场强度逐渐增大，根据可知，电场力 逐渐增大。
设电子的质量为，则电子的加速度 ，电子向圆心运动，电场强度增大，电
子的加速度增大，速度—时间图线的切线斜率增大。
电子向圆心运动，电场强度增大，所受电场力增大，电势能—位移图线的切线斜
率绝对值增大（【点拨】电场力增大，则电子移动相同的距离时电场力做的功增多，电
势能变化加快，即 图线的切线斜率绝对值增大。）。
电子向圆心运动，逆电场线运动电势升高，电场强度增大，电势—位移图线的切
线斜率增大。
6.［多选］（2023河南洛阳模拟）质子能量分析器由半径分别为和 的两个同心金属
半球面构成，过其球心的截面如图所示，、 球面上加有电压使质子偏转。一束电荷
量为、质量为的质子以不同的速度从偏转器左端 板的正中间小孔垂直入射，最后
到达偏转器右端的探测板，其中速度为的质子沿等势面做匀速圆周运动到达 板
正中间；速度为的质子到达板左边缘时的动能为，速度为的质子到达 板右边
缘时的动能为 。则下列说法正确的是( )
BC
A.等势面所在处电场强度的大小为
B.等势面所在处电场强度的大小为
C.
D.
【解析】 质子沿等势面做匀速圆周运动到达 板正中间，此种情况下的轨
道半径为，有，解得 。
设、间电势差为,、间电势差为，到达 板左边缘处的质子在运
动过程中，电场力对它做正功，根据动能定理可得；到达 板右边
缘处的质子在运动过程中，电场力对它做负功，根据动能定理可得
，根据电场线越密的地方电场强度越大可知，辐向电场靠近圆心
处电场强度大，则，则 ，即
。
考点3 带电粒子在匀强电场中的加速和偏转
7.［多选］（2024陕西西安模拟）如图所示，一平行板电容器连接在直流电源上，电容
器的两极板水平；两微粒、 带等量异种电荷，使它们分别静止于电容器的上、下极
板附近，与极板距离相等。现同时释放、 ，它们由静止开始运动。在随后的某时刻
，、经过电容器两极板间下半区域的同一水平面。、 间的相互作用和重力可忽略，
则下列说法正确的是( )
BD
A.的质量比的大 B.在时刻，的动能比 的大
C.在时刻，和的电势能相等 D.在时刻，和 的动量大小相等
【解析】 设微粒的质量为、带电荷量为、加速度大小为 ,两板间电场强度大
小为，两微粒只受电场力作用且两者所受电场力大小相等，由位移 且
知，微粒的加速度大，由知，微粒 的质量小。
由动能定理得知，位移大的微粒 的动能大。
时刻，、在同一等势面上，、 两微粒的电荷量虽相等，但电性相反，故电势
能不相等。
由动量定理得可知，时刻、 的动量大小相等。
8.（2024重庆七中期中）如图，空间内有一范围足够大的匀强电场，场强方向与梯形区
域平行，已知，，， ，
，一比荷为的带负电粒子由点沿方向以速率 进入该电场，
恰好可以通过 点。不计粒子的重力，下列说法正确的是( )
C
A. 点电势为零
B.场强方向由指向
C.该粒子到达点时速度大小为
D.该粒子到达点时速度方向与 边垂直
【解析】 如图，，，可知
的中点的电势为，可知为等势线，连接 ，作
的垂线，根据沿电场线方向电势降低可知，场强方向
由指向 。
由几何关系可知，为 的中点，有
，可得 。
电场强度的大小 ，垂直电
场强度方向粒子做匀速直线运动，则有 ，沿电场强度方向粒子做
匀加速直线运动，则有，解得， ，沿电场强度方
向粒子的速度，该粒子到达 点时速度大小
为 。
该粒子到达点时速度方向与 延长线的夹角的正
切值，可知 ，所以该粒子到达
点时速度方向不与 边垂直。
9.［多选］（2024陕西西安高新一中模拟）一带正电微粒从静止开始经电压 加速后，
射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为 。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方
向与极板夹角为 ，微粒运动轨迹的最高点到极板左、右两端的水平距离分别为 和
，到两极板距离均为 ，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是
( )
BD
A.
B.
C.微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D.仅改变微粒的质量或者电荷量，微粒在电容器中的运
动轨迹不变
【解析】
，与、 无关，D正确
10.（2024江西吉安期末）如图所示，水平放置
的带电平行板长度为，间距为 ，板间的匀
强电场的场强为 ，倾斜向上的有界匀强电场的
场强大小也为 ，竖直放置的带电平行板的间距
为 ，一带电粒子（重力忽略不计）的质量为
，带电荷量为，从水平板的左下边缘 点以
水平向右的速度进入电场，从右上边缘 点离开
后立即进入倾斜的匀强电场，然后沿电场方向
直线运动到竖直板的左下边缘点，最后运动到竖直板的右上边缘 点时，速度方向竖
直向上，已知、两点间的间距为，， ，求：
（1） 粒子在、 两点的速度的大小；
【答案】 ;
【解析】 粒子从 过程做类平抛运动，则有
，，
令点速度与水平方向的夹角为 ，则有
解得，， ，
粒子从 过程做匀加速直线运动，则有
解得 。
（2） 粒子从到 运动的总时间；
【答案】
【解析】 粒子从过程做匀加速直线运动，则有
粒子从过程做类斜抛运动，则有
则粒子从到运动的总时间
解得 。
（3） 、 两点间的电势差。
【答案】
【解析】 由于粒子最后运动到竖直板的右上边缘 点时，速度方向竖直向上，水平分
速度减为0，则有
结合上述解得 。
11.（2023北京卷）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物
（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气
和带电颗粒沿板方向的速度 保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被
收集。已知金属板长度为，间距为 ，不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1） 若不计空气阻力，质量为、电荷量为 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板
间的电压 ；
【答案】
【解析】 只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部被收集，水平
方向有
竖直方向有
对颗粒根据牛顿第二定律有
又
联立解得 。
（2） 若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度 方向相反，大小为
，其中为颗粒的半径， 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速后达到
最大速度。
① 半径为、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压 ；
【答案】
【解析】 颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向
，即
且
解得 。
② 已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径
为和的两种颗粒，若的颗粒恰好被收集，求 的颗粒被收
集的百分比。
【答案】 25%
【解析】 带电荷量的颗粒恰好 被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速
达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
，
在竖直方向颗粒匀速下落
的颗粒带电荷量为
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
，
设只有距下极板为以内的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落
解得 ，则 的颗粒被收集的百分比为
。
12.（2024河南周口模拟）图（a）为一种测量带电微粒速率分布的实验装置。图中直径
为的竖直圆筒壁上有一竖直狭缝，高度为 ，宽度忽略不计。紧贴圆筒内壁固定有高
度为的半圆柱面收集板，用于收集带电微粒；板的一竖直边紧贴狭缝 ，上
边与狭缝上端对齐，上边缘远离狭缝的顶点为点，另有一距点弧长为的点 ，俯视
图如图（b）所示。圆筒内存在一竖直向下的匀强电场，电场强度为 。令圆筒以角速
度 绕中心轴顺时针转动，同时由微粒源产生的微粒沿水平方向以不同的速率射入圆
筒，已知微粒质量均为，电荷量均为 ，忽略微粒自身的重力及微粒间的相互
作用。
（1） 求 点所在竖直线上收集到的微粒中，入射速率最大的微粒下落的距离；
【答案】
【解析】 打在 点所在竖直线上的微粒，入射速率最大时，圆筒转过的角度为
对应的时间为
加速度为
下落高度
联立可得 。
（2） 为了确保收集板任一竖直线上收集到的微粒速率相同，并且能收集到所有该速率
的微粒，求圆筒转动角速度 的取值范围。
【答案】
【解析】 设带电微粒进入圆筒后，圆筒转过一圈的过程中，能收集到的速率最小的微
粒下降的高度为，第一圈末时，过点的竖直线上收集的微粒下落高度为
能收集到的速率最小的微粒对应的弧长为
加速度为，
设圆筒的周期为，，
联立可得
因为，所以 成立，结果合理。
考点4 示波器模型
解题觉醒
1.题型特征:带电粒子由静止释放，先经过加速电场，后垂直进入偏转电场，射出后再打
在荧光屏上，不计粒子重力。
2.解题步骤
（1）加速电场阶段：列动能定理表达式求粒子离开加速电场时的速度
（2）偏转电场阶段：将粒子的运动分解为沿电场方向的匀速直线运动和垂直电场方向
的匀加速直线运动。
（3）利用相似三角形，如图中 ，求粒子打到荧光屏
上时位移的偏移量 。
13.［多选］（2024上海期中）如图所示为一种喷墨打印机的打印头的结构简图，其中
墨盒可以喷出极小的墨汁颗粒，此颗粒经过带电室带上电后垂直于电场方向射入偏转电
场，经过偏转电场后打到纸上。不考虑墨汁颗粒的重力，为使打在纸上的字迹缩小
（偏转距离减小），下列措施可行的是( )
AC
A.仅减小墨汁颗粒的带电荷量 B.仅减小偏转电场两极板间的距离
C.仅减小偏转电场的电压 D.仅减小墨汁颗粒的喷出速度
【解析】 墨汁颗粒以一定的初速度垂直射入偏转电场做类平抛运动，设偏转
电场两极板的长度为、两极板间的距离为、两极板间的电压为 ，墨汁颗粒的质量为
、电荷量为、初速度大小为，墨汁颗粒在偏转电场中的加速度大小为 、运动时间
为，则墨汁颗粒射出偏转电场时水平方向的位移，竖直方向的位移 ，
加速度，联立解得 。要缩小字迹，就要减小墨汁颗粒通过偏转电场过
程中竖直方向上的位移 ，由上式分析可知，可采用的方法有：减小墨汁颗粒的带电荷
量、增大偏转电场两极板间的距离、减小偏转电场的电压 、增大墨汁颗粒的喷出速度
等。
14.（2024北京期中）利用电场来加速和控
制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术
设备中有广泛的应用。如图所示，、 为
竖直放置的平行金属板，、 为板上正对
的小孔，两板间所加电压为，金属板 和
水平放置在板右侧，关于小孔、 所
在直线对称，两板间加有恒定的偏转电压。现有一质子和 粒子从小孔 处
先后由静止释放，经加速后穿过小孔水平向右进入偏转电场。已知 粒子的质量为 ，
电荷量为 。
（1） 求 粒子进入偏转电场时的速度大小。
【答案】
【解析】 根据动能定理有
解得 粒子进入偏转电场时的速度大小 。
（2） 请判断质子和 粒子在偏转电场中的运动轨迹是否相同，并说明理由。
【答案】 见解析
【解析】 建立如图所示的坐标系，以出发点为原点，水平向右为轴，向下为 轴，
设偏转极板、间的电压为，极板间距为，有，，
联立可得
与带电粒子的质量和电荷量无关，故质子和 粒子在偏转电场中的运动轨迹相同。
（3） 交换、两板的极性，使大量电子加速后连续不断地穿过小孔 水平向右进入
偏转电场，且进入偏转电场的速度均为。已知极板和 的长度
，间距，两极板间电压为 。已知电子质量
，电荷量。若要电子不能穿过偏转极板，求 至少
为多大。
【答案】
【解析】 设电子飞出偏转极板的时间为，当电子的侧位移为时，有
解得
若要电子不能穿过偏转极板，则需 。
15.（2024广东广州白云中学期中）一束电子从静止开
始经加速电压 加速后，水平射入水平放置的两
平行金属板中间，如图所示。金属板长为 ，两板间的
距离为 ，竖直放置的荧光屏与金属板右端的距离
，若在两金属板间加直流电压时，电子偏离中线打在荧光屏上的 点。
已知电子的质量为 、
电荷量为， ，不计电子重力及电子之间的相
互作用。
（1） 求电子刚进入偏转电场时的速度大小；
【答案】
【解析】 设电子刚进入偏转电场时的速度大小为，由动能定理可得
解得 。
（2） 求电子离开偏转电场后打在荧光屏上时、 间的距离；
【答案】
【解析】 电子在偏转电场中做类平抛运动，设运动时
间为，有，偏转位移
又加速度
解得
如图所示，由几何关系，可得 （【大招运用】
计算、 间的距离运用大招51，利用平抛推论和相似三角形解题。）
解得、间的距离 。
. .
. .
（3） 若在两金属板间加直流电压，电子打在荧光屏上 点（图中未画出），
则电子两次打在荧光屏上时的动能之比 是多少？
【答案】
【解析】 同理，改变金属板间电压后，有，偏转位移
解得
由动能定理可得电子两次打在荧光屏上时的动能分别为
则 。
考点5 带电粒子在等效重力场中的运动
解题觉醒
一、等效重力场中的抛体运动
1.题型特征
有重力的小球在匀强电场中竖直上抛，落到同一水平线上，分析位移、能量。
2.解题步骤
（1）时间关系：
（2）位移关系：
（3）分析能量：重画路径。
二、电场重力场 竖直圆模型
1.题型特征
（1）复合场：竖直重力场 匀强电场。
（2）带电体在等效重力场中做竖直圆周运动，带电体重力不能忽略。
2.解题步骤
（1）受力分析；
（2）确定等效最低点、最高点；
（3）依据圆周运动规律分析、列方程。
16.［多选］（2024天津市第一中学期中）在电场方向水平向
右的匀强电场中，一带电小球从 点竖直向上抛出，其运动
的轨迹如图所示，小球运动的轨迹上、 两点在同一水平线
上，点为轨迹的最高点，小球抛出时的动能为，在
点的动能为 ，不计空气的阻力，则( )
BD
A.从点运动到点电势能增加
B.小球水平位移与之比为
C.小球落到点时的动能为
D.小球从点运动到点的过程中动能有可能小于
【解析】 将小球的运动沿水平和竖直方向正交分解，水平分运动为初速度为零的匀加
速直线运动，竖直分运动为竖直上抛运动。
小球抛出时的动能为，在点的动能为，因此从点运动到 点电场力做
功为，则电势能减小 。
对于初速度为零的匀加速直线运动，从初始时刻开始在连续相等的两段时间间隔
内位移之比为 ，小球在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向上抛
和下落过程运动时间相等，因此 。
小球从点到点，小球所受电场力做功为,则从点到 点电场
力做功为 ,则由能量守恒定律可知，小球运动
到点时的动能为 。
图1
【大招运用】计算小球落到 点时的动能可运用大招52，
重新画小球的路径，如图1所示，依次标出每个过程重力
或电场力做的功，快速得出结果 。
图2
合运动与分运动具有等时性，设小球所受的重力为 ，
小球的质量为，从点到点运动时间为 ,则有
，，所以 ，由图2可得
，因此，小球从点运动到 点的过程
中速度最小时速度一定与等效重力垂直，如图2中的 点，
将小球在点的速度沿垂直于的方向和 所在直线的方向
分解，得最小速度 ，故最小动能
。
17.［多选］（2024重庆模拟）如图，在竖直平面内有水平向左的
匀强电场，在匀强电场中有一根长为 的绝缘细线，细线一端固定
在点，另一端系一质量为、电荷量大小为 的带电小球。小球静
止时细线与竖直方向成 角，此时让小球获得初速度且恰能绕 点
在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为 。则( )
ABC
A.匀强电场的电场强度大小为
B.小球获得初速度的大小为
C.小球从初始位置运动至轨迹的最左端减少的机械能为
D.小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【解析】 小球静止时细线与竖直方向成 角，对小球受力分析如图所示，
小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件有 ，解得
。
小球恰能绕点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点 由重力和电场力的合力
提供向心力（【点拨】等效重力场问题，小球运动到等效最高点时，速度最小。小球恰
好能做圆周运动的条件是，小球在等效最高点时，由重力和电场力的合力提供向心
力。），根据牛顿第二定律，有，则小球从初始位置运动到 点的过程中，
由动能定理可得 ，联立解得小球获得初
速度的大小为 。
. .
. .
小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小
球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端时机械能最小（【点拨】在整个运动过程中，
重力和电场力做功，即小球的动能、重力势能和电势能在相互转换，故小球电势能最大
时，小球的机械能最小，减少的机械能等于增加的电势能。电场力做正功，电势能减
少。），由功能关系和能量守恒定律可得，小球从初始位置运动至轨迹的最左端减少的
机械能电 。
小球从初始位置开始在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，电场力先做负功，
后做正功，再做负功，则其电势能先增大后减小再增大。
18.［多选］（2024内蒙古包头检测）如图所示，地面
上方某区域内存在水平向右的匀强电场，质量为 的带
正电小球以竖直向上的初速度由 点射入该区域，小
球刚好能到达的最高点为点。已知、 的连线与初
速度方向的夹角为 ，重力加速度为 ，
BD
A.小球所受电场力的大小为 B.小球通过点时的动能为
C.经过时间，小球距直线最远 D.经过时间 ，小球的动能最小
， ，不计空气阻力，从小球进入电场至运动到最高点的过程
中，下列说法正确的是( )
【解析】 设，小球从点到点经历的时间为，小球在 点的速度大小
为,小球从点到点水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，到达 点
时竖直方向的速度为零，水平方向有，竖直方向有 ，且
，，解得，水平方向的加速度大小 ，在水平方向由牛顿第二
定律得小球所受电场力的大小，则小球在 点的动能为
。
当小球的速度平行于时小球距直线最远，此时 ，其中沿电场方向
的分速度，垂直于电场方向的分速度，解得运动时间 。
由几何关系知，小球所受合外力与水平方向成 角斜向右下方，当小球的速度方
向与所受合力方向垂直时小球的动能最小，此时有 ，沿电场方向的分速度
，垂直于电场方向分速度，解得运动时间 。
【大招运用】A、B选项也可运用大招52求解。如图所示，
设过点的竖直线与过点的水平线的交点为 ，小球的电
荷量为，匀强电场的电场强度大小为,从点到 点运动
时间为，重新画小球的路径。对段与 段分别运用运
动学公式可知， ，由几何关系可
知，解得，A错误。小球在 点的动能等
于段电场力做的功，则，从点到 点重力做功
，解得 ，B正确。
19.［多选］（2024辽宁联考）一半径为 的光滑绝缘半圆弧轨道固
定在竖直平面内，为其竖直直径，为圆心，半径 ，
整个空间存在向左上方，与水平面成 角的匀强电场。一质量为
、带电荷量为 的小球（可视为质点），第一次从轨道最低
点由静止释放，到达点时速度刚好为零， 连线与水平面成
角。第二次小球从点以速度 水平向左射入，可使小球刚好
到达点，点速度大小为， ，则下列说法正确的是
( )
AC
A.电场强度
B.
C.
D.第二次小球从点到点的过程中，最大速度为
【解析】 类比单摆，因为小球到达 点时，速度为零
（【抓题眼】这句话表明了 点相当于最高点，小球所受
合外力方向沿弧的对称轴指向 点。），可确定图中的
与的合力在二者夹角 的角分线方向，由图中
的几何关系可知，可得 。
因为小球刚好到达 点，所以对轨道的压力为零，即
，可得 。
小球从点运动到 点，根据动能定理
，解得
. .
。
根据大招找最低点方法，可知过圆心作合力 与圆轨道的交点为等效最低点，设该
交点为，当小球到达等效最低点时，有圆周运动的最大速度，对小球从 点运动
到点，由动能定理可知，由图中的几何关系可知 ，联立
可得 。
考点6 带电粒子在周期场中的运动
解题觉醒
1.题型特征：带电粒子由静止开始在交变电场中运动，或垂直于电场方向射入加了交变电
场的极板之间，并给出
2.解题步骤
（1）定方向：规定
（2）画图像：且不变, 图像为
倾斜向上的直线；且不变, 图像
为倾斜向下的直线。
（3）明运动：根据 图像确定粒子运动
方向，上面积对应正向走，下面积对应负向走。
20.（2024浙江嘉兴期末）如图甲中高能医用电子直线加速器能让电子在真空场中被电
场力加速，产生高能电子束，图乙为加在直线加速器上、 间的电压，已知电子电荷
量为，质量为，交变电压大小始终为，周期为，时刻电子从轴线 上的紧
靠0号金属圆筒右侧由静止开始被加速，圆筒的长度的设计遵照一定的规律，使得粒子
“踏准节奏”在间隙处一直被加速。不计在两金属圆筒间隙中的运动时间，不考虑电场的
边缘效应，则( )
A.电子在1号圆筒内加速度大小为
B.电子在2号圆筒内运动时间
C.电子射出3号圆筒时的速度大小为
D.8号金属圆筒的长度为
√
【解析】 金属圆筒中电场为零，电子不受电场力作用，则电子在1号圆筒内加速
度为零。
电子每经过圆筒间狭缝时都要被加速，然后进入圆筒做匀速直线运动，所以电子
在圆筒中运动时间必须为 ，才能满足每次经过狭缝时被加速。
设电子进入3号圆筒时的速度为，由动能定理有，可得 ，
因为电子在圆筒中做匀速直线运动，则电子射出第3个圆筒时的速度大小为 。
设电子进入8号圆筒时的速度为，由动能定理有，可得 ，
而电子在圆筒中做匀速直线运动，由此可得8号圆筒的长度为 。
21.［多选］（2024湖南师大附中模拟）图1的平行金属板、 间加有图2所示的交变电
压，是、板间的中线，当电压稳定时，板间为匀强电场。时刻，比荷为
的带电粒子甲从点沿方向、以的速率进入板间， 时刻飞离电场，期间恰
好不与极板相碰。若在时刻，带电粒子乙以的速率沿从 点进入板间，已
知乙粒子在运动过程中也恰好不与极板碰撞，不计粒子受到的重力，则下列说法正确的
是( )
A. 时刻，乙粒子离开电场
B.乙粒子的比荷为
C.甲粒子离开电场时的速度大小为
D.甲、乙两粒子通过电场偏转的位移大小之
比为
√
√
【解析】 运用大招53分步进行分析。
第 一 步 定 方 向 这道题未给出粒子的电性，选项中也不涉及粒子偏转方向，可假设、 间电压为
时，粒子向上极板运动
第 二 步 画 图 像 根据题意，图像与图像变化情况相同，可根据 图像画出不同时间段
进入的粒子的 图像，如图所示。
_________________________________________________________________________________________
图线与时间轴围成的面积表示垂直于极板方向上的位移，图线 为甲的
图线，图线为乙的 图线
第 三 步 明 运 动 A（）设板长为，甲粒子带负电，则甲运动时间为 ，因乙粒子入射速度为甲的两倍，故运动时间为，因乙在 时刻飞入板间，则在 时刻飞出板间。
D（√）设板间距为 ,若粒子恰好不与极板碰撞，表示粒子在电场中竖直方向的最大位移大小刚好为，根据图像可知，在 时刻甲粒子恰好不碰到极板，该时刻甲粒子的位移的大小达到最大，而在 时刻，甲粒子出电场，此时位移是最大位移的一半，为，即甲在竖直方向上的位移为 ；同理，对乙粒子，根据图像可知在 时刻乙粒子恰好不与极板相撞，此时乙刚好飞出电场，即乙在竖直方向上的位移为，则偏转位移之比为 。
C（）时刻，甲粒子离开电场时具有竖直向上的分速度，速度不是 。
B（√）设甲、乙的加速度大小分别为、,质量分别为、 ,电荷量大小分别为、,对乙有 ，对甲有，因，故有，可得 ，又，，可得 。
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1.（2024湖南卷）真空中有电荷量为和的两个点电荷，分别固定在轴上 和0
处。设无限远处电势为0，正半轴上各点电势 随 变化的图像正确的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 根据点电荷周围的电势公式，设处 的电势为0，可得
，解得，故可知当时，；当时， ，D正
确。
2.［多选］（2023天津卷）如图所示，一个固定正电荷产生的电场中，同一个正电荷
两次以大小相同、方向不同的初速度从点出发，分别抵达点、点，且在、 点
时速度大小也一样，则下列说法正确的是( )
AD
A.点电势大于点电势 B.点电势大于 点电势
C.从点到点一直做减速运动 D.、 两点处电场强度大小相同
【解析】 由题知，同一个正电荷 两次以大小相同、方向不同的初速度
从点出发，分别抵达点、点，且在、点时速度大小也一样，这说明、 两
点的电势相同，根据运动轨迹可知，正电荷 所受电场力方向大致向右，则场源正电荷
位于点左侧，由于沿着电场线方向电势降低，所以点电势高于点电势，从到
一直做加速运动。
、两点在同一等势面上，且该电场是固定正电荷产生的电场，则、 到固定
正电荷的距离相等，则、 两点处电场强度大小相同。
3.（2024山东模拟）在轴上的、 两点分别固定
两个点电荷，如图是轴上各点电场强度 随位置
变化的关系图像，图中图线关于 点中心对称，
轴上、两点关于点对称。规定 轴正方向为
电场强度正方向，下列说法正确的是( )
D
A.、 两点固定的是等量异种电荷
B.从点到 点，电势逐渐降低
C.电势差
D.一正电荷从点自由释放，仅在电场力作用下运动到 点过程中其动能先增大后减小
【解析】 由电场方向随轴的变化可知，、 两点放置的是等量正点电荷
（【点拨】若、两点固定的是等量异种电荷，则点处 轴方向的场强不应为零，且
轴方向的场强图线应为关于、 中点对称的曲线。）。
由题图可知，从点到 点，场强方向先向右后向左，根据沿电场线方向电势降低
可知，电势先降低后升高。
图像与横轴围成的面积表示电势差，由题图可知图线关于点中心对称， 轴
上、两点关于点对称，故、与图线围成的面积大小相等，又因为 ,
，故 。
从点到点，场强方向先向右后向左，故正电荷从 点自由释放，先受到向右的
电场力，后受到向左的电场力，电场力先做正功，后做负功，其动能先增大后减小。
. .
4.（2024安徽安庆模拟）如图所示，两个完全相同的平行板电容器水平放置，上极板由
导线经二极管相互连接，下极板由导线直接连接且接地，开始时两电容器上极板带电荷
量相等。带电小球静止在左边电容器的中间位置，另一个带电小球 通过绝缘细线悬
挂在右边电容器的上极板上，且 球静止时距下极板的距离为两板间距的四分之一。两
球均可视为点电荷。以下说法正确的是( )
D
A.球电势能大于 球电势能
B.将左边电容器下极板上移少许，、 两
球开始所在位置处的电势均升高
C.将左边电容器下极板下移少许，稳定后左、
右两平行板电容器内电场强度大小相等
D.在左边电容器靠近下极板插入一电介质板，
稳定后右边电容器内电场强度大小不变
【解析】 开始时左右两电容器内场强相等，由于不知道 球的质量及所带电荷，
因此无法比较两者的电势能。
将左边电容器下极板上移少许，由可知，电容增大，由， ，
联立可得 （【点拨】由于二极管的单向导电性，右侧电容器上极板的电荷不能
移向左边电容器，因此左边电容器的带电荷量 不变。），可见左边电容器两极板间电
压减小，但是场强大小不变，对两点电势大小的计算有 ，由于两边场强均不
变，而左侧减小，右侧不变，因此左边球所在位置处电势减小，右边 球所在位置
处电势不变。
将左边电容器下极板下移少许，根据 可知，左边电容器电容减小，因此左
. .
. .
边电容器需要放电，即左边电容器内的电荷将移向右边电容器，根据， 联立
可得 ，可知，左边电容器内场强减小，而右边电容器内场强增大。
在左边电容器靠近下极板插入一电介质板，根据 可知，左边电容器电容变
大，而由于二极管的单向导电性，可知右边电容器中的电荷不能左移，因此，稳定后右
边电容器内电场强度大小不变。
5.（2024江西吉安泰和中学月考）两带电荷量分别为和 的点电荷
、分别固定在轴上的、两点，两电荷连线上各点电势 随坐
标变化的图像如图所示，其中点电势最高，且在轴上、 之间的
距离小于、 之间的距离。则下列说法正确的是( )
D
A.和 都带正电
B.的电荷量大于 的电荷量
C.在、之间将一点电荷沿轴从 点下侧移到上侧，电势能先减小后增大，则该点电
荷带正电
D.一点电荷只在电场力作用下沿轴从点运动到接近 点，加速度逐渐变大
【解析】 由题图可知，从到电势升高，则、间电场线方向由指向，从
到电势降低，则、间电场线方向由指向，则和 是同种电荷，都带负电。
在点， 图线的切线斜率为无穷大（【易错】注意 图线上各点切线斜
率绝对值不表示电场强度的大小，而是表示电场强度大小的倒数。），则 点的电场强
度大小为零，说明和两点电荷在 点产生的电场强度大小相等，方向相反（【易错】
此处注意电场强度的矢量性，叠加时应注意方向性。），由点电荷的电场强度公式
可知，因，故的电荷量小于 的电荷量。
负点电荷从点下侧移到 点上侧，电场力先做正功，后做负功，负点电荷的电势
能先减小后增大。
图线切线斜率绝对值表示电场强度大小的倒数，从点到点， 图线
切线斜率绝对值越来越小，故电场强度越来越大，则一点电荷只在电场力作用下沿 轴
从点运动到接近 点，加速度逐渐变大。
. .
. .
6.［多选］（2024河北衡水期末）如图所示，竖直平面内有两个固定的点电荷，电荷量
均为，与其连线中点的距离均为，质量为、电荷量为的试探电荷以 为圆心、
垂直两固定的点电荷的连线做匀速圆周运动，圆周上的两点、与 在同一直线上，
、两点各自和两个正点电荷连线与连线的夹角均为 ，已知静电力常量为
，重力忽略不计，则( )
BC
A.试探电荷做匀速圆周运动所需的向心力大小为
B.若将 增大，试探电荷仍能以 为圆心做匀速圆周运动，
则试探电荷的向心力可能变小
C.试探电荷做匀速圆周运动的角速度为
D.若在点由静止释放负点电荷，该电荷将加速到达 点
【解析】 以试探电荷为研究对象，其做匀速圆周运动，两正点电荷对其静电力的
合力提供向心力，做匀速圆周运动所需的向心力大小为 。
越大，越靠近 点，由等量同种点电荷产生的电场可知，电场强度可能变小，所
以 增大向心力有可能变小。
由可得，试探电荷做匀速圆周运动的角速度 。
、之间的电场强度方向向左，电场力向右，由到 ，电场力反向，故负点电荷
先加速后减速运动，到 点速度为零。
7.（2024重庆一中期中）一点电荷固定在空间点，在点上下空间内分别有、 两点
电荷在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。、两点电荷的电荷量分别为、 ，
质量分别为、 ，不计重力作用。则( )
A
A.， B.，
C.， D.，
【解析】 在不计重力的影响下，受力分析图如图所示，
由于、两点电荷都做匀速圆周运动，要保持、 ，各自所受
合力的大小始终保持相等，、 的相对距离不能发生改变，故
、的角速度要保持相等。对于、 各自竖直方向的合力为零，
有 ， ，整理可
得，由图可知,故 。
水平方向上，对点电荷有，对 点电荷有
，联立方程可得，由于 ，则
有 。
8.（2023重庆八中二模）空间中存在平行于纸面的匀强电场，在纸面内取 点为坐标原
点建立轴，如图甲所示。现有一个质量为、电荷量为的带电微粒，从 开始以
一定初速度从轴上的点开始沿逆时针方向做匀速圆周运动，圆心为、半径为 。已
知图甲中圆为其轨迹，为圆轨迹的一条直径。除电场力外微粒还受到一个变力 ，不
计其他力的作用。测得带电微粒所处位置的电势 随时间 的变化图像如图乙所示。下
列说法正确的是( )
A.电场强度的大小为，方向与轴正方向的夹角为
B.点与点的电势差
C.微粒在时所受变力 可能达到最大值
D.带电微粒做圆周运动的过程中变力的最大值为
√
图1
【解析】 根据匀强电场电场强度与电势差的关系可知，
场强 ，因为沿电场强度方向电势降
低，所以电场强度方向与轴正方向的夹角为 (【点拨】设
时微粒转到点,时转到 点，由题图乙可知微粒做圆周
运动的周期，则 时间内微粒转动
的角度为。则电场方向为图1中指向 的箭头所示方向。)。
点与点的电势差 。
. .
. .
图2
由于电场强度方向斜向左下方，因此微粒在 时位于等
效“最低点”，所受变力可能达到最大值，在 时位于等效“最
高点”，所受变力 可能达到最小值（【点拨】微粒做匀速圆周运
动所需的向心力大小不变，电场力不变，如图2所示,以向心力长度
为半径画圆，当与向心力反向时，最大；同向时， 最
小。）。
带电微粒做圆周运动的过程中变力的最大值为， ，因
此 。
. .
. .
. .
9.（2024陕西西安高新一中实验中学期末）如图（a）所示，真空室中电极 发出的电子
（初速度为零，不计重力）。经的加速电场后，由小孔沿水平金属板 、
两板间的中心线射入，、板长，相距，加在、 两板间的
电压随时间变化的图线如图（b）所示。设、 两板间的电场可以看作是均匀
的，且两板外无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的。两
板右侧放一记录圆筒，筒的左侧边缘与极板右端距离 ，筒绕其竖直轴匀速转
动，周期，筒的周长，筒能接收到通过、 板的全部电子。
（1） 对于恰能穿过、板的电子，在它通过时加在两板间的电压 应为多大？
【答案】
【解析】 对于恰能穿过、板的电子，设为电子沿、 板的中心线射入电场时的
初速度，由动能定理得
电子在中心线方向的运动为匀速直线运动，设电子穿过、板的时间为 ，则有
电子在垂直、板方向的运动为匀加速直线运动，对于恰能穿过、 板的电子，它在
垂直、板方向的加速度大小为
在它恰能通过时应满足
解得 。
（2） 以时［见图（b），此时］电子打到圆筒记录纸上的点作为 坐标系
的原点，并取 轴正方向竖直向上，试计算电子打到记录纸上的最高点的横坐标和纵坐标；
【答案】 和
【解析】 此电子从、板射出时沿方向的分速度为
此后，此电子做匀速直线运动，它打在记录纸上的点最高，设纵坐标为 ，根据几何
关系可得
解得
由题图（b）可知，加于两板电压的周期，的最大值 ，因为
，所以在一个周期内，只有开始的一段时间间隔内有电子通过、 板，则
有
由题意可知电子从发射到打在到记录纸上的时间可忽略不计。并且因为 ，所以电
子打在记录纸上的最高点不止一个，根据题中关于坐标原点与起始记录时刻的规定，第
一个最高点的横坐标为
第二个最高点的横坐标为
第三个最高点的横坐标为
由于记录筒的周长为 ，所以第三个最高点已与第一个最高点重合，由此推知记录
纸上能记录到的最高点只有两个，它们的坐标分别为和 。
（3） 在图（c）给出的坐标纸上定量地画出电子打到记录纸上的点形成的图线。
【答案】 见解析
【解析】 根据前面分析可知，在圆筒转动的第一个周期内，可以在圆筒上留下两条最
低点和最高点的连线，而在之后的周期中，上述连线对应重合。电压为 时，电子的偏
移量为
运用大招结论可知
解得
根据前面分析可知时刻打在记录纸上的横坐标为
由题图（b）可知在每个周期内都随 线性变
化，所以也随线性变化，则根据上述可知
随 呈线性关系，即记录纸上最低点和最高点
连线为直线，电子打到记录纸上所形成的图线
如图所示。
觉醒原创
1.［多选］如图所示，为一半圆的直径，为半圆的圆心， 为半圆上的
一点，与直径垂直，两个电荷量相等的负点电荷分别置于、 两点，
现使一个负试探电荷从点出发，沿半径向 点缓慢移动，一直移动到
点，则在移动过程中下列说法正确的是( )
AD
A.试探电荷 移动过程中的电势逐渐升高
B.试探电荷 的电势能逐渐增大
C.试探电荷 受到的静电力方向一直变化
D.试探电荷 受到的静电力大小先增大后减小
【解析】 根据等量同种负电荷电场线的分布可知负试探电荷 的移动方向与电场
线方向相反，所以电势逐渐升高。
根据 可知，负试探电荷 所在位置电势越高，电势能越小。
如图所示，设两点电荷的电荷量为，试探电荷所在处为， 与直
径的夹角为 ，圆半径为，则一点电荷在 点产生的电场强度大小为
，两点电荷在 点产生的合电场强度大小为
，方向始终指向圆心，所以试探电荷 受到
的静电力方向始终沿背离 的方向。
设 ，则有 ，令 ，
则，其导数为，根据数学知识分析可知时， ，
取得最大值，此时，，即点到点的距离为 时，
有最大值，两点电荷在半径 上产生的场强
有最大值，点到点的距离大于，则试探电荷
沿半径一直移动到点过程中电场强度先增大后减小，所以试探电荷 受到的静电力
也是先增大后减小。
2.如图所示，直角坐标系中、、、 四点的坐标分别
为、、、，有一带电荷量为
的长方体，其中心在坐标原点处， 轴与长方体左右两个面
垂直， 轴与长方体上下两个面垂直，长方体所带电荷均匀
B
A.，与轴正方向夹角为 B.，与轴正方向夹角为
C.，与轴正方向夹角为 D.，与轴正方向夹角为
分布，点放置一电荷量为的点电荷，此时 点的电场强度恰好为零。已知静
电力常量为，如果将放置在点的点电荷移到点，则 点的电场强度大小和方向为
( )
【解析】 点电荷在点产生的电场强度大小为 ，方
向沿轴正方向，因点的电场强度恰好为零，则长方体在
点产生的电场强度大小为，方向沿 轴负方向，
根据对称性可知长方体在 点产生的电场强度大小也为
，方向沿轴正方向，如图所示，从向 轴做垂线，
交点为，则，，设为 ，
，则，，将点电荷移到点后，其在 点产生的
电场强度大小也为，方向沿方向，与长方体在点产生的电场强度 方向的
夹角为 ，则点的合电场强度为，方向与 轴正方
向夹角为 ，选项B正确。
跳跳学长有话说
在求解非点电荷的电场强度时不能直接用公式求解，通常会用到等效和对称的思想，根
据非点电荷电场和点电荷电场之间的关系，确定非点电荷的电场强度。
3.如图所示，一光滑绝缘斜面固定于水平面上，与水平面间的夹
角为 ，斜面上开凿有一凹进斜面的光滑绝缘的圆形轨道
（圆形轨道属于斜面的一部分），圆形轨道与斜面底端相切，轨
道半径为，、分别为轨道的最高点和最低点，一带电小球
可以在圆形轨道内侧运动，小球的质量为 ，带电荷量为
，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为
，重力加速度大小为，， 。现给
【答案】
小球一个水平向右的初速度，当小球到达最高点 时速度大小
为，求此时小球对斜面的作用力 的大小。
【解析】 小球在最高点时，设轨道对小球指向圆心方向的弹力为 ，根据向心力
公式有
代入数据解得
小球在最高点时，设斜面对小球在垂直于斜面方向的弹力为 ，在垂直于斜面方向
上有
斜面对小球的作用力为
根据牛顿第三定律有小球对斜面的作用力 。
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