考向四 带电粒子在叠加场中的运动-2025年高考物理专题复习课件

(共66张PPT)
专题十 磁场
考向四 带电粒子在叠加场中的运动
2025年高考物理专题复习资料
考点切片
考点1 带电粒子在叠加场中的直线和圆周运动
1.［多选］（2024重庆八中月考）真空中存在着如图所示的相互
垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为 ，磁感应强度大
小为，一质量为，电荷量为 的带负电小球恰能在此空间中做
直线运动，观察到某时刻小球速度 的方向如图中所示。重力加
速度为 ，下列说法中正确的是( )
ACD
A.小球做匀速直线运动 B.小球做匀变速直线运动
C. D.
【解析】 若小球不做匀速直线运动,速度大小在改变,小球受到的洛伦兹力大
小在改变,由于小球所受电场力和重力不变,故可知小球所受合外力在改变,合外力与速度
方向不可能一直在同一直线上,即不可能在此空间中做直线运动,故小球一定做匀速直线
运动。
小球做匀速直线运动,受力分析如图所示,
,,,联立解得 ,
。
2.［多选］（2024安徽卷）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁
场，电场强度大小为，磁感应强度大小为。一质量为的带电油滴 ，在纸面内做半
径为的圆周运动，轨迹如图所示。当运动到最低点 时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，
二者带电荷量、质量均相同。Ⅰ在点时与的速度方向相同，并做半径为 的圆周运动，
轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为 ，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、
Ⅱ分开后的相互作用，则( )
ABD
A.油滴带负电，所带电荷量的大小为
B.油滴做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
【解析】 油滴做圆周运动,故重力与电场力平衡,可知其带负电,由 ,解得
。
由洛伦兹力提供向心力有,解得,解得油滴 做圆周运动的速度大
小为 。
设小油滴Ⅰ的速度大小为,得,解得 ,周期为
。
带电油滴 分离前后动量守恒（【点拨】带电油滴在其速度方向上的合外力为零,故
带电油滴在其速度方向上的动量守恒,可以对其速度方向上列动量守恒求解。
）,设分离后小油滴Ⅱ的速度为,取油滴 分离前瞬间的速度方向为正方向,得
,解得 ,由于分离后的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡,分
离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反,由左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运
动。
. .
考点2 带电粒子在叠加场中的复杂曲线运动
大招62 对应练习
解题觉醒
1.题型特征：带电粒子在磁场中所受除洛伦兹力外的合力不为零，粒子的速度大小和方
向都会改变，粒子运动轨迹是一条摆线。
2.解题技巧
配速法：把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力
（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀
速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动可以看成匀速直线运动与匀速圆周运动的合运动，
这种方法叫配速法。
3.［多选］（2024山西晋城一中检测）空间内存在电场强度大小
、方向水平向左的匀强电场和磁感应强度大小
、方向垂直纸面向里的匀强磁场（图中均未画出）。
一质量、带电荷量的小球从 点由静止释放，
小球在竖直面内的运动轨迹如图中实线所示，轨迹上的点离
最远且与的距离为，已知小球经过 点时的速度大小为
，重力加速度取 。下列说法正确的是( )
BCD
A.在运动过程中，小球的机械能守恒 B.小球经过 点时的速度最大
C.小球经过点时的速度为0 D.
【解析】 小球在运动过程中有电场力做功,机械能与电势能之间发生转化,因此在
运动过程中,小球的机械能不守恒。
根据题中数据有 ,即重力与电场力大小相
等,由于两者方向垂直,如图所示,则两力的合力大小为
,根据配速法,由于小球在 点处于静
止,则两个分速度 大小相等,方向相反,结合题意知其中一个速
度沿方向,另一个沿反方向,速度大小满足, 解得
（【大招运用】运用大招配速法。带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场（或重力场）
中运动,若所受洛伦兹力与电场力（或重力）不平衡而做复杂的曲线运动时,采用配速法,
为带电粒子配上一对等大反向的速度或对带电粒子的初速度进行分解。那么带电粒子复
杂的曲线运动就可等效为沿某一方向的匀速直线运动和沿某一方向的匀速圆周运动的合
. .
. .
运动。）,沿方向和反方向的两个速度分别产生两个洛伦兹力和,与 二力平衡,
小球受到做匀速圆周运动,所以小球的实际运动是沿 方向的匀速直线运动和初速度
沿方向的圆周运动的合运动,则 ,由洛伦兹力提供向心
力有,解得,由于轨迹上的点离 最远,
可知,匀速圆周分运动恰好对应半个周期,此时圆周运动的分速度方向平行于虚线向下,即
小球的两个分速度方向相同,则合速度最大,即小球经过 点时的速度最大,且最大值为
。
根据上述分析知,小球经过 点时,再一次回到了虚线上,可知匀速圆周分运动恰好对
应一个周期,此时圆周运动的分速度方向平行于虚线向上,即小球的两个分速度方向相反,
则合速度最小,最小值为 。
根据上述分析知,小球距离虚线最远的距离 。
4.［多选］（2024宁夏银川一中模拟）如图所示，一质量为、电荷量为 的带电粒子，
以初速度从左端中央沿虚线射入正交的电场强度大小为 的匀强电场和磁感强度大小
为的匀强磁场区域中。若，则粒子从右端某点 （图中未标出）离开时的速率为
，偏移量为 ，粒子的重力不计，下列说法正确的是( )
AD
A.粒子从点离开时的速率
B.粒子有可能从虚线的下方离开磁场
C.粒子在电磁场中运动的最大速度为
D.粒子在该区域中运动的加速度大小恒为
【解析】 粒子从进入复合场到点的过程中,只有电场力做功,由于 ,可知
,洛伦兹力大于电场力,粒子向上偏转,电场力做负功,由动能定理有
,解得 。
运用大招配速法,设,将粒子的速度分解为水平向右的 和水平向右的
,则粒子的运动可分解为以速度 向右的匀速直线运动（电场力和洛伦兹力平衡）
和以初速度 向右的逆时针方向的匀速圆周运动,当粒子经过圆周运动周期的整数倍
回到最低点时,两分运动速度同向,合速度最大为 ,粒子的合力大小为匀速圆周运动的合
力大小,为,由牛顿第二定律 知加速度大小恒为
。
5.（2024甘肃卷）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其
原理如图所示。Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度
大小为 ，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度
大小为，方向垂直纸面向里。从 点释放的带电粒子
（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、
再由 点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的
点处，运动轨迹如图中虚线所示。
（1） 粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。
【答案】 带正电;
【解析】 粒子在Ⅲ区域磁场中向上偏转,根据左手定则可知,粒子带正电
粒子在Ⅱ区域中做直线运动,必是匀速直线运动,则有
粒子在Ⅰ区域中,根据动能定理有
联立解得 。
（2） 求点到 点的距离。
【答案】
【解析】 粒子在Ⅲ区域磁场中做匀速圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系有
结合（1）问解得 。
（3） 若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为（略大于 ，方向不变，
粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的点上。求粒子打在 点的速度大小。
【答案】
【解析】 将粒子进入速度选择器时的速度分解为水平向右的速度大小为 和水
平向左的速度大小为,则粒子在速度选择器中的运动就分解为了以速度 向
右的匀速直线运动和以速率 逆时针的匀速圆周运动（【点拨】粒子在磁场与其他场的
双场叠加场中的曲线运动问题,一般采用配速法求解。）由于粒子垂直打在 点,则粒子
在点的速度 。
. .
. .
跳跳学长 有话说
粒子
Ⅲ区域：洛伦兹力提供向心力
Ⅱ区域：分解
垂直打在速度选择器右挡板的点
考点3 带电粒子在叠加场中运动的科技应用
6.（2024海南琼海嘉积中学期末）如图所示，平
行金属板间分布着竖直向下，电场强度
的匀强电场和垂直纸面向里、
磁感应强度的匀强磁场，直线 与两
金属板平行且等间距。从左侧的点沿直线
射入大量不同速率的带正电粒子，不计粒子重
力及粒子间的相互作用，则有( )
D
A.速率的粒子，向直线 上方偏离，速率将逐渐减小
B.速率的粒子，向直线 下方偏离，速率将逐渐增大
C.速率的粒子，由于电荷量 未知，不能确定粒子的运动轨迹
D.若粒子带负电，速率为，将沿直线 匀速运动
【解析】 速率 的带正电粒子,受到电场力方向竖直向下,电场力大
小；由左手定则可知受到的洛伦兹力竖直向上,洛伦兹力大小 ,比较可
知得,则带正电粒子向直线 下方偏离。
当速率的带正电粒子从左侧的点沿直线 射入时,比较可知得
,则带正电粒子向直线 上方偏离。
速率的粒子从左侧的点沿直线 射入时,受到的洛伦兹力与电场
力大小相等、方向相反,粒子受到的合力为零,粒子沿直线 做匀速直线运动。
若粒子带负电,速率为的粒子从左侧的点沿直线 射入时,受到电
场力方向竖直向上,由左手定则可知受到的洛伦兹力竖直向下,受到的洛伦兹力与电场力
仍相等,则带负电粒子将沿直线 匀速运动。
【点拨】在速度选择器中,粒子的受力特点：同时受到方向相反的电场力和洛伦兹力作
用。粒子能匀速通过速度选择器的条件：电场力和洛伦兹力平衡,即,, 与
粒子电性和质量无关。只有速度为 ,沿特定方向射入的粒子才能沿直线匀速通过速
度选择器。
7.（2024广西南宁二中模拟）磁流体发电机又叫等离子体发电机，如图所示，高温燃烧
室在 的高温下将气体全部电离为正离子与负离子，即高温等离子体。高温等离
子体经喷管提速后以 的速度进入矩形发电通道。发电通道有垂直于喷射速度
方向的匀强磁场，磁感应强度为 ，等离子体在通道内发生偏转，在两极间形成电势
差，已知发电通道长，宽，高 ，等离子体的电阻率
，则以下判断正确的是( )
C
A.稳定工作时，发电机的电动势为
B.开关 断开时，高温等离子体不能匀速通过发电
通道
C.当外接电阻为 时，电流表示数为
D.当外接电阻为 时，发电机输出功率最大
【解析】 发电机稳定工作时,离子在复合场中有 ,则发电机电动势
。
开关断开时,高温等离子体在洛伦兹力作用下发生偏转,导致极板间存在电压,当电场
力与洛伦兹力平衡时,高温等离子体可以匀速通过发电通道。
由电阻定律有 ,得发电机内阻为 ,由闭合电路欧姆定律得,当外接
电阻为 时,电流为 。
根据电源输出功率和外电阻关系可知,当外电路总电阻 时,发电机输出
功率最大。
8.［多选］（2024河南联考）电磁流量计可以测量截面
为圆形的污水管内污水流量，其简化结构如图所示，污
水管直径为，管壁绝缘，其左右两侧有一对电极和 ，
通电线圈通有图示方向电流，形成的磁场方向与污水管
垂直，磁感应强度大小为 ，已知单位时间内流过管道
横截面的液体体积叫作液体的流量。当污水沿如图所示
的方向流过测量管时，稳定工作后电压表示数为 ，则
下列说法正确的是( )
AC
A.极电势高，极电势低 B.极电势低， 极电势高
C.该污水管的流量为 D.该污水管的流量为
【点拨】污水处理器稳定工作后,污水中带电粒子不再发生偏转。
由安培定则可知通电线圈在污水管区域形成的磁场方向竖直向下,由左手定则
可知污水中正离子受力向左侧,负离子受力向右侧,所以极电势高, 极电势低。
稳定工作时,粒子所受电场力与洛伦兹力大小相等,即,解得 ,流
量,可得流量 。
9.（2023年1月浙江卷）某兴趣小组设计的测量
大电流的装置如图所示，通有电流 的螺绕环在
霍尔元件处产生的磁场 ，通有待测电流
的直导线 垂直穿过螺绕环中心，在霍尔元
件处产生的磁场。调节电阻 ，当电流
表示数为时，元件输出霍尔电压 为零，则
待测电流 的方向和大小分别为( )
D
A., B., C., D.,
【解析】 霍尔元件输出的电压为零,则霍尔元件中的载流子不发生偏转,即霍尔元
件所在处的磁感应强度为零,故螺绕环在霍尔元件处所产生磁场的磁感应强度与直导线
在霍尔元件处所产生磁场的磁感应强度大小相等、方向相反,即,解得 ,
又由安培定则可知螺绕环在霍尔元件处产生的磁场方向竖直向下,则直导线在该处产生
的磁场方向应竖直向上,由安培定则可知直导线中的电流方向由到 。
觉醒集训
1.（2024湖北武汉六中月考）图中关于磁场中的四种仪器的说法错误的是( )
D
A.图甲中要使粒子获得的最大动能增大，可以
增大D形盒的半径
B.图乙中不改变质谱仪各区域的电场、磁场时击
中光屏同一位置的粒子比荷相同
C.图丙是载流子为负电荷的霍尔元件通过如图所
示电流和加上如图磁场时 侧带负电荷
D.图丁长宽高分别为、、 的电磁流量计加上
如图所示磁场，若流量 恒定，则前后两个金属
侧面的电压与、、 均无关
【解析】 在回旋加速度器中,由洛伦兹力充当向心力有,可得 ,可
知,在回旋加速器所处磁场一定的情况下,粒子射出回旋加速度的最终速度跟D形盒的半
径有关,半径越大获得的速度越大,动能就越大,因此题图甲中要使粒子获得的最大动能增
大,可以增大D形盒的半径。
粒子经过质谱仪的速度选择器时,只有满足的粒子才能被选择,可得 ,
显然,经过质谱仪的速度选择器区域的粒子速度 都相同,经过偏转磁场时击中光屏同一位
置的粒子在偏转磁场中做圆周运动的轨迹半径相等,根据牛顿第二定律有 ,
可得,由此可知,打在同一位置的粒子的比荷 都相同。
在霍尔元件中,因载流子带负电,而电流的方向为正电荷定向移动的方向,可知带负电
的载流子移动方向与电流方向相反,根据左手定则可知,带负电的载流子在洛伦兹力的作
用下向着霍尔元件的侧偏转,使 侧带上负电。
经过电磁流量计的带电粒子会在洛伦兹的作用下向着前后两个侧面偏转,使前后两
个侧面产生电势差,从而形成电场,当前后两个侧面带上足够多的电荷后将形成稳定的电
场,此时满足,其中表示液体的流速,即此时两侧电压达到最大值,则有 ,
联立可得,而流量,解得,则前后两个金属侧面的电压与、 无关,
但与 有关。
本题选择错误选项,故选D。
2.如图所示，用天平测量匀强磁场的磁感应强度，下列各选
项所示的载流线框匝数相同，边长 相等，将它们分别挂
在天平的右臂下方，线框中通有大小相同的电流，天平处
于平衡状态。若磁场发生微小变化，天平最容易失去平衡
的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 天平原本处于平衡状态,所以线框所受安培力变化越大,天平越容易失去
平衡,由于线框平面与磁感应强度方向垂直,且线框不全在磁场区域内,所以线框与磁场边
界的交点间的长度等于线框在磁场中的有效长度（【点拨】导线的有效长度等于导线两
端点对应直线的长度。）,由选项图可知,A选项线框的有效长度最长,磁感应强度 和电
流大小相等,所以 变化时A选项线框所受的安培力变化最大,天平最容易失去平衡。
3.［多选］（2025重庆联考）如图所示，水平面上固定有一内
表面为四分之一光滑圆弧面的滑块，点为圆弧的最低点，
点与圆心等高，且。空间分布有从圆心 沿圆弧半
径方向向外辐射的磁场，圆弧面上的磁感应强度大小均为 。
现将一根不太长且质量分布均匀的导体棒静置在 点，然后
在该导体棒中通以垂直纸面的电流（电路未画出），若仅通
AD
A.导体棒 中通的是垂直纸面向里的电流
B.导体棒 中通的是垂直纸面向外的电流
C.导体棒 受到圆弧面的作用力一直增大
D.导体棒 受到圆弧面的作用力一直减小
过逐渐改变导体棒中的电流大小，使该导体棒沿着圆弧面从点缓慢移动到 点，则
下列说法正确的是( )
【抓题眼】题述中的“缓慢移动”,代表导体棒 移动过程中始终处于平衡状态。
导体棒沿着圆弧面从点缓慢移动到 点过程中,该导体棒始终处于平衡状态,
所受安培力沿圆弧切线向上,由左手定则可知,棒内所通电流方向垂直纸面向里。
设运动过程中,导体棒与 点的连线与竖直方向的
夹角为 ,其受力如图所示,由力的平衡条件可知,圆弧面对该
导体棒的作用力 ,从点缓慢移动到 点过程中,
逐渐增大,可知 一直减小。
4.（2023全国乙卷）如图，一磁感应强度大小为 的匀强磁场，
方向垂直于纸面（平面）向里，磁场右边界与 轴垂直。
一带电粒子由点沿正向入射到磁场中，在磁场另一侧的
点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于 轴的接
收屏上的点；,与屏的距离为，与轴的距离为 。
A
A. B. C. D.
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为 的匀强电场，该粒子入射
后则会沿 轴到达接收屏。该粒子的比荷为( )
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,其运动轨迹如图所示,
5.［多选］（2023重庆高三开学大联考）在粒子物理的研究中使用的一种球状探测装置
的横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，外圆是探测
器。和为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从 点沿径向射入磁场。粒
子1经磁场偏转后打在探测器上的点，粒子2经磁场偏转后打在探测器上的 点。装置
内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是( )
BD
A.粒子2可能为电子
B.若两粒子的比荷相等，则粒子1的入射速度小于粒子2的入射速度
C.若两粒子的比荷相等，则粒子1在磁场中运动的时间小于粒子2在磁
场中运动的时间
D.若减小粒子2的入射速度，则粒子2可能沿 方向离开磁场
【解析】
6.［多选］（2025安徽蚌埠模拟）如图甲所示，和 是竖直放置的足够长的不带电平
行金属板，间距为，两板间有垂直纸面向外、磁感应强度为 的匀强磁场。一电子从
板上的小孔垂直金属板射入，打到板时的速度方向与射入方向的夹角为 。若让
两板分别带上图乙所示的等量异种电荷，电子以同样的速度射入后恰好打不到 板，已
知电子的比荷为 ，则( )
CD
A.图甲中电子的轨迹半径为
B.图甲中电子从射入到打在板所需的时间为
C.电子从小孔射入时的速度大小为
D.图乙中两极板间的电势差大小为
【解析】 题图甲中电子的运动轨迹如图1所示,由几何关系可得
,可得电子的轨迹半径为,由洛伦兹力提供向心力可得 ,可得
电子从小孔射入时的速度大小为,电子从射入到打在 板所需的时间为
。
题图乙中设电场强度大小为,将电子射入速度 进
行如图2分解,其中竖直向下分速度 产生的洛伦兹力与
电场力平衡,则有,得 ,可知电子在复合
场中将以在竖直方向向下做直线运动,同时以速率
逆时针做匀速圆周运动,电子以同样的速度射入后恰好打不到 板,则对于圆周运动的轨
迹如图3所示,由几何关系可得 ,由洛伦兹力提供向心力可得
,联立可得 ,解得
,又,联立解得 ,则题图乙
中两极板间的电势差大小为 。
7.（2024四川绵阳中学月考）如图所示，在 坐标系中的第一
象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第二象限内存在大小为 、
方向垂直坐标平面向外的有界圆形匀强磁场（图中未画出），一
粒子源固定在轴上点，沿 轴正方向释放出速度大小均为
的电子，电子经电场后恰好从轴上的 点进入第二象限，进入
第二象限后，电子经磁场偏转后通过轴时，速度方向沿着 轴负
方向。已知电子的质量为、电荷量为，电场强度 ，不
考虑电子的重力和电子间的相互作用，求:
（1） 点的轴坐标 ；
【答案】
【解析】 电子垂直电场方向进入匀强电场,做类平抛运动,由类平抛运动规律确定出射坐标
对电子由牛顿第二定律可得
解得
电子做类平抛运动,有
可知轴坐标为
联立解得 。
（2） 电子通过点的速度大小及速度方向与轴正方向的夹角 ；
【答案】 ;
【解析】 依题意,分解电子在点的速度,可得,
解得
又
解得 。
（3） 圆形磁场区域的最小面积。
【答案】
【解析】 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,轨迹如图
可得
解得轨道半径为
根据几何关系可得边界圆半径
最小面积
解得 。
8.（2024浙江嘉兴检测）如图所示为某种新型质
谱仪结构简化示意图，半径为 的圆内有垂直于
纸面向外、大小为的匀强磁场，圆心为，
为竖直方向的轴线，点右侧圆周上的 处有一粒
子源，可以正对 点发射出速度、电
荷量相等，质量不同的带正电粒子，圆形磁场上
方关于轴线 对称放置两块正对的平行金属板
和，两金属板长均为，间距为 ，
金属板下边缘连线 与圆形磁场最高点在同一
水平线上，金属板上边缘连线 上方存在范围足够大、方向垂直于纸面向内的磁感应
强度为的匀强磁场，连线上有一可左右平移的探测板。已知从 点射出的电
荷量为、质量为的粒子，恰好沿轴线 进入两金属板之间区域。不计粒子之间的相
互作用，两金属板间的电场为匀强电场（不考虑边缘效应），不计粒子重力，已知
，， ，求:
（1） 粒子源发射的粒子速率 ；
【答案】
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,则
根据题意知
解得 。
（2） 两金属板之间不加电压时，能从金属板之间区域射出的粒子的质量范围；
【答案】
【解析】 设质量为的粒子恰好从点射出,粒子离开磁场时与方向夹角为 ,由几
何关系得,
此时粒子在磁场中做圆周运动的半径
所以
同理,设质量为的粒子恰好从点射出,则
所以能从金属板之间区域射出的粒子质量范围是
。
（3） 两金属板之间不加电压时，要使探测板上表面能接收到所有从金属板之间射出的
粒子，板的长度至少为多少？
【答案】
【解析】 从点进入上部分磁场的粒子经磁场偏转返回边界到达 点,偏移的横向距离
从点进入上部分磁场的粒子经磁场偏转返回边界到达 点,偏移的横向距离
如图1,则之间距离至少是 。
图1
（4） 当两金属板间加上恒定电压时，要使得质量为 的粒子能够打在题（3）中
相应位置的探测板上，电压 的最大值是多少？
【答案】
【解析】 间不加电场时,粒子打在点。若间加上向左的电场,质量为 的粒子将
打在极板上,而无法打在探测板上。当间加上向右的电场,质量为 的粒子恰好从
射出时,极板间电压最大,由（3）知,粒子从 射出经磁场偏转后向左的偏移距离仍为
即粒子一定打在探测板上,如图2所示
图2
则垂直极板方向和平行极板方向的速度分别为
对垂直极板方向位移和平行极板方向位移分别用几何关系和运动学公式可得
将上述五式联立求得
又
解得 。
觉醒原创
1.如图，一半径为的圆形匀强磁场区域，圆心为 ，磁感应强度大
小为，方向垂直于纸面向里。圆形磁场边界上的 处有一粒子源，
可向纸面内的多个方向发射质量为、电荷量为 的同种带电粒子，
其中发射出去的粒子的速率为，发射方向在与半径 左侧夹角
为 与半径右侧夹角为 之间，不计粒子重力和粒子之间
的相互作用力，则圆形磁场边界上有粒子打到的弧长为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力,
有,代入数据解得 （【点拨】粒子轨迹半径与
圆形磁场边界的半径相等,为磁发散模型,粒子都垂直于直径
向左侧射出磁场。）。设与半径夹角为 斜向右上方发
射的粒子打到圆形磁场边界上的 点,作出该粒子的轨迹如图所
示,圆心为,连接、和,则为一菱形, 与初
速度方向垂直（【点拨】 为粒子轨迹半径,发射速度沿粒子
轨迹切线方向,由几何知识可知两者垂直。）,则 ,
,根据磁发散的规律可得粒子打到圆形磁场边界上的范围为
弦对应的劣弧,长度为 。
. .
. .
. .
2.［多选］如图，一个边长为的正方形 内分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，
磁感应强度的大小为，在边上距点为的 点处有一粒子源，可以向磁场区域的
范围内连续均匀发射质量为、电荷量为 的带电粒子，发射粒子的速度
大小均为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，已知， ，
，则下列说法正确的是( )
BD
A.打到边上的粒子数占发射粒子总数的
B.粒子打到边上区域的长度为
C.从边射出粒子与边的夹角可能超过
D.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
图甲
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力提供向心力,
有,粒子运动速度为 ,代入数据解得粒子轨迹半径为
。当粒子刚好与边相切时运动轨迹如图甲所示,圆心为 ,切点为
,过点作的垂线,与交点为,与交点为,在直角三角形 中,
设为 ,,则 ,根据几何关系可得当粒子运动
轨迹刚好与边相切时,其初速度方向与边夹角为 ,则发射粒子速度方向与 边
夹角小于 的所有粒子都可以打到边上,则打到 边上的粒子数占发射粒子总数的
。
图乙
当粒子刚好与边相切时粒子从边上的 点射出,根据几何关系可
得点到的距离为,则点和点关于 点对称,则
,当带电粒子恰好与边相切时运动轨迹如图乙所示,圆心为 ,切
点为,与边的交点为,过点作的垂线,交点为 ,根据几何关系可得
,设为 ,,则 ,则
,根据几何关系可得,粒子打到边上的区域为 之间,
长度为 。
图丙
当带电粒子从上的点边射出时,其圆心在,过做 边的垂
线交于,如图丙所示,由几何关系可知 ,所以带电粒子从 点射
出时与边的夹角为 。由几何关系可知,在出射点由点靠近 点的
过程中,圆的弦长变短,弧长变短,带电粒子射出时的速度方向与 边的
夹角变小,即带电粒子从边射出时与边的最大夹角为 。
如图乙所示,粒子轨迹为劣弧时弦长越长运动时间越长,从 点射出时有最长弦长为
,即从点射出的粒子在磁场中运动时间最长,当带电粒子恰好与边相切打到 点时,
过点作的垂线交于,,设为 ,,
则 。在磁场中转过角度为 ,带电粒子运动周期为
,运动最长时间为 。
3.2024年6月13日，新一代人造太阳“中国环流三号”项
目在国际上首次发现并实现了一种先进磁场结构，对
提升核聚变装置的控制运行能力具有重要意义。如图
是环流器局部截面的磁场简化示意图，环形磁场区域
内边界半径为、外边界半径为 ，内有磁感应强度
大小为的匀强磁场。以区域圆心 为原点建立平面直
角坐标系，点的坐标为，在点 处放置一个
粒子源，粒子源可以向外发射质量为、电荷量为 的带正电的粒子。带电粒子所受重
力及它们之间的相互作用均忽略不计。
（1） 若粒子源只朝 轴正方向发射粒子，要将粒子全部约束在外边界以内，求粒子发
射速度的最大值；
【答案】
图甲
【解析】 粒子源只朝 轴正方向发射粒子时,要将粒子全部约束在外
边界以内,则恰好不射出外边界的粒子轨迹与外边界相切,作出粒子轨
迹图如图甲所示,设粒子的轨迹半径为 ,根据几何关系有
解得
带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力,有
解得,即粒子发射速度的最大值为 。
（2） 若粒子源只朝 轴正方向发射粒子，要将粒子全部约束在外边界以内，求粒子发
射速度的最大值；
【答案】
图乙
【解析】 粒子源只朝 轴正方向发射粒子时,要将粒子全部约束在外
边界以内,则恰好不射出外边界的粒子轨迹与外边界相切,设粒子从 点
进入磁场,作出粒子轨迹图如图乙所示,在直角三角形中设 为
,则
解得 ,即
则
在三角形中根据余弦定理有
解得
带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力,有
解得,即粒子发射速度的最大值为 。
（3） 若粒子源沿平面向外 范围内均匀发射粒子的速度大小均为 ，求射
出外边界的粒子数与约束在外边界以内的粒子数之比。
【答案】
【解析】 若粒子源沿平面向外 范围内均匀发射粒子的速度大小均为
带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力,有
解得
图丙
设粒子轨迹恰好与外边界相切时从 点进入磁场,射入磁场时速度方向
与轴正方向的夹角为 ,作出粒子运动轨迹如图丙所示
设为 ,为 ,在三角形 中根据余弦定理有
与 互余,则
在三角形中,根据正弦定理有
将代入解得,则 或
由此可知,当带电粒子的发射方向角 介于 之间时,粒子无法离开外边界,粒
子源沿平面向外 范围内发射粒子,则射出磁场外边界的范围共 ,所以射出
外边界的粒子数与约束在外边界以内的粒子数之比为 。
跳跳学生传妙招
带电粒子在匀强磁场中运动问题通常与几何关系相联系,常用的几何关系:一是直角三角
形的勾股定理和边角关系,二是三角形的正弦定理和余弦定理。