8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习任务 1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(直观想象、数学抽象) 2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(数学抽象) 3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(逻辑推理)
观察下列几何体，它们有什么特点？
知识点1 空间几何体的定义及分类
1．空间几何体：如果只考虑物体的____和____，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的________就叫做空间几何体．
2．空间几何体的分类
类别 定义 图示
多面体 一般地，由若干个__________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个______叫做多面体的面；两个面的______叫做多面体的棱；______的公共点叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的__________旋转所形成的____叫做旋转面，____的旋转面围成的几何体叫做旋转体．__________叫做旋转体的轴
1．观察下列图片，这些都是我们日常熟知的一些物体：
(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形？
(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形，又有曲面图形？
(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形？
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_____________________________________________________________________ 2．多面体与旋转体的主要区别是什么？
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_____________________________________________________________________知识点2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
图形 定义 相关概念
棱柱 一般地，有两个面互相____，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 四棱柱 ABCD-A′B′C′D′
棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 四棱锥S-ABCD
棱台 用一个______棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 四棱台 ABCD-A′B′C′D′
3．棱柱是如何分类的？
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_____________________________________________________________________ 4．棱锥是如何分类的？
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_____________________________________________________________________ 5．棱台是如何分类的？
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1．下列实物不能近似看成多面体的是( )
A．钻石 B．骰子
C．足球 D．金字塔
2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点
B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点
D．六条侧棱、八个顶点
3．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．棱台不具备的特点是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
类型1 棱柱的结构特征
【例1】 (1)下列命题中，正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
(2)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1．
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．
[尝试解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________ 棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形．
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
[跟进训练]
1．(多选)下列关于棱柱的说法正确的是( )
A．所有棱柱的两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行
C．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．棱柱至少有五个面
类型2 棱锥、棱台的结构特征
【例2】 (1)(多选)下列关于棱锥、棱台的说法，正确的是( )
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？
[尝试解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________ 判断棱锥、棱台形状的2个方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
图形 棱锥 棱台
定底面 只有一个面是______，此面即为底面 两个互相____的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 ______相交于一点
[跟进训练]
2．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)
类型3 多面体的平面展开图
多面体的展开与折叠
【例3】 (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
A B
C D
(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
[尝试解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________ 多面体平面展开图的应用
【例4】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．
[思路导引] 将长方体的侧面展开求AC1的最短长度即可．
[尝试解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________ 多面体的展开与折叠
(1)由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．
[跟进训练]
3．画出如图所示的几何体的平面展开图．
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1．下列命题正确的是( )
A．四棱柱是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．长方体的六个面都是矩形
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
3．(多选)下列说法错误的是( )
A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B．多面体至少有3个面
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．棱柱、棱锥、棱台各有什么结构特征？
2．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？
3．结合本节所学的棱柱分类，你能分析一下常见的几种四棱柱之间的转化关系吗？
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1 1．形状 大小 空间图形 2．平面多边形 多边形 公共边 棱与棱 一条定直线 曲面 封闭 这条定直线
思考1 提示：(1)②④；(2)①③⑤；(3)⑥．
思考2 提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．
知识点2 平行 互相平行 公共顶点 平行于
思考3 提示：①按底面多边形边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……．
②按侧棱与底面的关系分：
直棱柱：侧棱垂直于底面；
斜棱柱：侧棱不垂直于底面．
③特别地，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．
④底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．
思考4 提示：①按底面多边形边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……．
②三棱锥又叫四面体．
③底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．
思考5 提示：①由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫三棱台、四棱台、五棱台……．
②由正棱锥截得的棱台叫正棱台．
课前自主体验
1．C [钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．]
2．C [四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．]
3．D [每个三角形都可以作为底面．]
4．C [由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1 (1)D [由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：
图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错，故选D．]
(2)解：①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M CC1N．同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1 DCND1．
跟进训练
1．ABD [对于A、B、D，显然是正确的；对于C，显然不正确，例如长方体．]
例2 (1)ABC [A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
D错误，如图所示，
四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]
(2)解：①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．
发现规律
(2)多边形 平行 延长后
跟进训练
2．①③④ ⑥ ⑤ [结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]
例3 (1)A [由选项验证可知选A．]
(2)解：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
例4 解：沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法：
(1)如图①，以A1B1为轴展开，AC1＝＝＝4．(2)如图②，以BC为轴展开，AC1＝＝＝3．
(3)如图③，以BB1为轴展开，AC1＝＝．
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为．
跟进训练
3．解：平面展开图如图所示．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．C [底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体，选项A错误；底面是矩形的直平行六面体才是长方体，选项B错误；底面是矩形的直四棱柱才是长方体，选项D错误；选项C显然正确．]
2．D [根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]
3．ABC [选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．
]
4．2 [将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．
如图，AC1＝2．]
课堂小结
1．提示：(1)棱柱：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行．
(2)棱锥：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个公共顶点的三角形．
(3)棱台：①所截几何体为棱锥；②截面与底面平行．
2．提示：不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．
3．提示：四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体．第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
学习任务 1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义． 2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(数学抽象) 3．了解简单组合体的概念及结构特征．(直观想象)
如图，观察下列实物图．
问题：(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成上述几何体的曲面？
知识点1 圆柱、圆锥、圆台、球
图形 结构特征 图形 表示
圆柱 以__________________为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作__________
圆锥 以________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作________
圆台 用平行于________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作__________
球 半圆以它的____________为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 球常用表示球心的字母来表示，如图中的球可表示为____
1．如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们有何关系？过它们的截面是怎样的图形？AC是母线吗？
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_____________________________________________________________________ 2．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗？
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_____________________________________________________________________知识点2 简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义：____________________________．
(2)简单组合体的构成有两种基本形式：
简单组合体
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 球能由圆面旋转而成． ( )
(2)用一个平面截圆锥，截得的两部分分别是圆锥和圆台． ( )
2．如图，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把第一、第二排中相应的图形用线连起来．
A B C D
类型1 旋转体的结构特征
【例1】 (多选)下列说法正确的是( )
A．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
[尝试解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________ 判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成．
(2)明确旋转轴是哪条直线．
[跟进训练]
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
类型2 简单组合体的结构特征
【例2】 (源自湘教版教材)如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在直线旋转一周，形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？
[尝试解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________ 判断组合体构成的方法
(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．
(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．
[跟进训练]
2．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
类型3 旋转体中的计算问题
【例3】 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．
[尝试解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________ 解决旋转体中计算问题的方法策略
(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可．
[跟进训练]
3．用一个平面截半径为R的球，截面到球心的距离为，则截面圆面积为________．
1．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱
2．如图所示的组合体，其结构特征是( )
A．左边是三棱台，右边是圆柱
B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体
D．左边是三棱柱，右边是长方体
3．(多选)下列命题中正确的是( )
A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径
B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等
C．圆台中所有平行于底面的截面都是圆面
D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
4．一圆锥的母线长为6 cm，底面半径为3 cm，把该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4 cm，则圆台的另一底面半径为________ cm．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征各有哪些？
2．处理台体问题常采用什么思想？处理组合体问题常采用什么思想？
3．简单旋转体的轴截面有什么作用？应用其解题体现了什么思想？
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1 矩形的一边所在直线 圆柱O′O 直角三角形的一条直角边 圆锥SO 圆锥底面 圆台O′O 直径所在直线 球O
思考1 提示：AB綉CD，截面ABCD是矩形．AC不是母线．
思考2 提示：不一定．必须以直角边所在直线为轴．若以斜边所在直线为轴，形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的．
知识点2 (1)由简单几何体组合而成的几何体
课前自主体验
1．(1)√ (2)×
2．①—C ②—B ③—D ④—A
[关键能力·合作探究释疑难]
例1 BD [A错误，它们的底面为圆面；C错误，如图；BD正确．
]
跟进训练
1．AB [C错误，圆台的母线延长相交于一点；
D错误，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．故选AB．]
例2 解：将直角梯形ABCD绕边AB所在直线旋转一周后，得到的几何体如图所示，这个几何体是由圆柱和圆锥这两个简单几何体组成的．
跟进训练
2．B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B．]
例3 解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm．
又由题意知腰长为12 cm，
所以高AM＝＝3(cm)．
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20(cm)．
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm．
跟进训练
3．πR2 [如图，O为球心，O1为截面圆的圆心，AB为截面圆的直径，则OA＝R，
OO1＝，∴AO1＝＝R，
∴截面圆面积S＝π＝πR2．]
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．B [截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．]
2．D [根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．]
3．ACD
4．1 [作轴截面如图，
则＝＝，所以r＝1．]
课堂小结
1．提示：(1)圆柱：①旋转图形为矩形；②旋转轴为矩形的一边；③由旋转形成的曲面围成的几何体．
(2)圆锥：①旋转图形为直角三角形；②旋转轴为一条直角边；③由旋转形成的曲面围成的几何体．
(3)圆台：①所截几何体为圆锥；②截面与底面平行．圆台也可看作是由直角梯形绕其直角边旋转而成的．
(4)球：①旋转图形为半圆；②旋转轴为直径；③由半圆面旋转一周围成的几何体．
2．提示：处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理组合体问题常采用分割思想．
3．提示：(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．8.2 立体图形的直观图
学习任务 1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(数学抽象) 2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．(直观想象)
在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．
问题：在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
知识点 直观图的画法
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的________画法．
2．平面图形直观图的画法
1．斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？
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_____________________________________________________________________3．几何体直观图的画法
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的______和____都不变．
2．空间几何体的直观图唯一吗？
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用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的________．
①原来长度相等的线段在直观图中长度仍相等；
②原来垂直的直线在直观图中仍垂直；
③原来平行的直线在直观图中仍平行；
④相等的角在直观图中仍相等．
类型1 画平面图形的直观图
【例1】 (源自苏教版教材)画水平放置的正三角形的直观图．
[尝试解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________ 画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
[跟进训练]
1．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
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_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________类型2 画空间几何体的直观图
【例2】 (源自北师大版教材)用斜二测画法画正五棱锥的直观图．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
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_____________________________________________________________________ 画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：
―→―→―→
[跟进训练]
2．画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)
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_____________________________________________________________________类型3 直观图的还原与计算
【例3】 (1)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
A B C D
(2)如图，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B．
C．2 D．4
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]
本例(2)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？
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1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度____，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的____，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝____S′．
[跟进训练]
3．已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′ 的面积为( )
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
1．(多选)关于斜二测画法所得到的水平放置的平面图形的直观图，下列说法正确的是( )
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
2．如图，△A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴、y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
3．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )
A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D．4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
4．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，其面积为________cm2．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用斜二测画法画平面图形的直观图？
2．直观图的面积与原图形的面积之间有什么关系？
8.2 立体图形的直观图
[必备知识·情境导学探新知]
知识点 1．平行投影 2．45° 135° 水平面 x′轴或y′轴 线段 保持原长度不变 一半
思考1 提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
3．平行性 长度
思考2 提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．
课前自主体验
③
[关键能力·合作探究释疑难]
例1 解：如图，按如下步骤完成：
第一步 在已知的正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴．画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
第二步 在x′轴上取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y′轴上取O′C′＝OC．
第三步 连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′就是水平放置的正三角形ABC的直观图．
跟进训练
1．解：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC．连接B′C′，如图②．
(3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③．
例2 解：(1)根据平面图形的直观图画法画底面(如图)；
(2)画z′轴(z′轴与x′轴的交角为90°)，并画高(与原长相等)(如图(1))；
(3)连线成图，擦去辅助线，且将被遮线画成虚线(如图(2))，就得到正五棱锥的直观图S′ A′B′C′D′E′(如图(3))．
跟进训练
2．解：画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，
使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．
(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长2 cm．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．
例3 (1)A (2)C [(1)由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．
故选A．
(2)由题图知，平面图形△OAB为直角三角形．
∵O′B′＝，∠A′O′B′＝45°，
∴A′B′＝，O′A′＝2．
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∠AOB＝90°，
∴S△OAB＝×4＝2．故选C．]
母题探究
解：由本例(2)中直观图可得S△O′A′B′＝＝1，
原图形面积为S△OAB＝2．所以＝＝．
发现规律
1．不变 2倍 2． 2
跟进训练
3．D [法一：建立如图①所示的平面直角坐标系xOy．
如图②所示，建立平面直角坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，应有A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a．
过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，
则C′D′＝O′C′＝a．
所以△A′B′C′的面积是
S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2．
法二：S△ABC＝a2，
又S△A′B′C′＝S△ABC，∴S△A′B′C′＝×a2＝a2．]
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．AB [斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．]
2．D [因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形．]
3．C [由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm．]
4．矩形 8 [由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)．]
课堂小结
1．提示：用斜二测画法画平面图形的直观图时，应牢记下列口诀：
横不变，纵折半；平行关系永不变；九十度画一半．
2．提示：若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝S．8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
学习任务 1．通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(逻辑推理) 2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(数学运算)
如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面．
问题：(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？
(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？
知识点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝___________ 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝________________
圆锥 底面积：S底＝___ 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝____________
圆台 上底面面积：S上底＝______ 下底面面积：S下底＝____ 侧面积：S侧＝________________ 表面积：S＝______________________
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知识点2 圆柱、圆锥、圆台的体积公式
(1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)．
(2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)．
(3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)．
1．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于________．
2．已知圆锥的底面半径为2，高为5，则这个圆锥的体积为________．
类型1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
【例1】 (1)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱(包含上、下底面)的表面积是________．
(2)(源自北师大版教材例题)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可．
[跟进训练]
1．若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的( )
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
类型2 圆柱、圆锥、圆台的体积
【例2】 (1)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为________．
(2)已知一圆台上底面半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为________．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解．
[跟进训练]
2．若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )
A．1 B．1∶2 C．∶2 D．3∶4
类型3 组合体的表面积与体积
【例3】 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的．组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单几何体的体积之和(差)．
[跟进训练]
3．如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD所在直线旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶ C．1∶ D．∶2
2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )
A． cm3 B． cm3
C．288π cm3 D．192π cm3
4．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体，下部是圆柱，其轴截面是边长为4的正方形；上部为圆锥，其高为3，则该几何体的体积为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如图，圆锥的侧面展开图为一扇形，则扇形圆心角度数α，母线l、底面半径r存在怎样的等量关系？
2．你能描述一下圆柱、圆锥、圆台的体积公式间的内在联系吗？
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1 πr2 2πrl＋2πr2 πr2 πrl＋πr2 πr′2 πr2 πl(r＋r′) π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
思考 提示：如图所示．
S圆柱＝2πr(r＋l) S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)Ｋ S圆锥＝πr(r＋l)
课前自主体验
1．67π [S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
＝π(32＋42＋3×6＋4×6)
＝π(9＋16＋18＋24)
＝67π．]
2．π [由题意V圆锥＝Sh＝πr2·h＝．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1 (1)32π2＋8π或32π2＋32π [当底面圆的周长为8π时，半径r＝4，∴上、下底面面积和为2×π×42＝32π，侧面积为4π×8π＝32π2，∴圆柱的表面积为32π2＋32π．
同理可得当底面圆的周长为4π时，圆柱的表面积为32π2＋8π．]
(2)解：如图，设圆台上底面周长为c cm．
因为圆环的圆心角是180°，所以c＝π·SA．
又因为c＝2π×10＝20π(cm)，所以SA＝20 cm．
同理SB＝40 cm．
所以AB＝SB－SA＝20(cm)，
S圆台侧＝π(r1＋r2)·AB＝π(10＋20)×20＝600π(cm2)．
因此，圆台的侧面积为600π cm2．
跟进训练
1．C [设圆锥底面半径为r，母线长为R．
由圆锥底面周长为2πr＝×2πR，解得R＝3r，∴圆锥的表面积S表＝πr2＋πrR＝4πr2，圆锥的底面积S底＝πr2，
∴圆锥的表面积是底面积的4倍．]
例2 (1)10π (2)π [(1)V＝＝10π．
(2)作出圆台的轴截面如图，设圆台的高为h，则＝，∴h＝2，
∴V＝(22＋2×3＋32)×2＝π．]
跟进训练
2．D [设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4．]
例3 解：在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a，
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝DD′＝a．
由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．
由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a．∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，
圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，
圆锥的底面积S4＝πa2，
∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2．
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝S3h＝π·(2a)2·a＝4πa3，
V锥＝S4h＝·π·a2·a＝πa3，
∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3．
跟进训练
3．解：旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．
令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，则R＝2，r＝1，l＝4，h＝．
∴S圆锥表＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，
S圆柱侧＝2πrh＝2π×1×＝2π．
∴所求几何体的表面积S＝S圆锥表＋S圆柱侧＝12π＋2π＝2(6＋)π．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．C [设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，
∴其母线长l＝r，∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，
则S底∶S侧＝1∶．]
2．A [设圆台的高为h，由题意知V＝π(12＋1×2＋22)h＝7π，解得h＝3．]
3．AB [当圆柱的高为8 cm时，V＝π××8＝(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π××12＝(cm3)．]
4．20π [圆柱的底面半径是2，高为4，圆锥底面半径是2，高为3，则V＝π×22×4＋×π×22×3＝20π．]
课堂小结
1．提示：圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形弧长又是以l为半径圆周长的，于是有·2πl＝2πr，即r＝l．
2．提示：柱体可以看作上、下底面相同的台体，锥体可以看作有一个底面是一个点的台体，因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．具体如下：8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
学习任务 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．(数学抽象、直观想象)
观察你所在的教室．
问题：(1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？
(2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？
(3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？
(4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？
知识点1 空间中直线与直线的位置关系
1．异面直线：不同在______________的两条直线．
2．空间两条直线的三种位置关系
1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．如何画异面直线？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知识点2 空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 ______公共点 ____公共点 ____公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
3．直线l在平面α外，l就与α无公共点吗？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知识点3 空间中两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 __________ 有____个公共点(在一条直线上)
符号表示 ________ ________________
图形表示
4．已知两个平面有三个公共点，这两个平面的位置关系如何？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条( )
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．平行
2．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行、相交或异面
3．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有______组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有______个．
类型1 异面直线的判定
【例1】 (源自湘教版教材)如图，已知a α，A α，B∈α，B a．
求证：直线AB与a是异面直线．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)重要结论：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线．
[跟进训练]
1．(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
(2)如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′的棱所在的直线中，找出与棱AA′所在直线异面的所有直线．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型2 空间中直线与平面的位置关系
【例2】 (1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
(2)下列说法中，正确的是________．
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断．
[跟进训练]
2．(多选)下列命题中的真命题是( )
A．若直线a不在平面α内，则a∥α
B．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
C．若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点
D．平行于同一平面的两直线可以相交
类型3 平面与平面的位置关系
【例3】 (多选)以下四个命题中，正确的有( )
A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
判定两个平面相交，只需找到两个平面的一个公共点，就可根据基本事实3知，两个不重合的平面是相交的．判定两个平面平行，可根据定义判定两个平面没有公共点，也可以排除两个平面相交和重合，从而判定两平面平行．
[跟进训练]
3．(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
(2)长方体各面所在平面将空间分成______部分．
1．不平行的两条直线的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
2．在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的是( )
A．SB B．SC C．BC D．AB
3．若点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有________条，正方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有________个．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．空间中两直线的位置关系有哪几种？如何判断它们的位置关系？
2．空间中直线与平面的位置关系有哪几种？如何判断？
3．空间中两平面的位置关系有哪几种？如何判断？
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1 1．任何一个平面内 2．相交直线 一个公共点 平行直线 没有公共点 没有公共点
思考1 提示：不一定．可能平行、相交或异面．
思考2 提示：常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如图①②③．
知识点2 无数个 一个 没有
思考3 提示：直线l在平面α外包含两种情况：l与α平行，l与α相交．若l与α相交，则有唯一的公共点．所以直线l在平面α外，l与α不一定没有公共点．
知识点3 没有公共点 无数 α∥β α∩β＝l
思考4 提示：当三个公共点共线时，两个平面相交或重合；当三个公共点不共线时，两个平面重合．
课前自主体验
1．C
2．D [若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．]
3．4 6 [六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1 证明：假设直线AB与a在同一个平面内，那么这个平面一定经过点B和直线a．
因为B a，经过点B与直线a只有一个平面α．
所以直线AB与a应在平面α内．
所以A∈α，这与已知A α矛盾．
所以直线AB与a是异面直线．
跟进训练
1．(1)D [如图，在长方体ABCD A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，
AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′．故a和c可以平行、相交或异面．]
(2)解：先把长方体中和棱AA′相交或平行的棱去掉，剩下棱D′C′，B′C′，DC，BC．
观察棱BC所在直线，因为AA′ 平面AB′，B∈平面AB′，B AA′，C 平面AB′，所以直线AA′与BC是异面直线．
同理，直线B′C′，D′C′，DC都与直线AA′异面．
例2 (1)B (2)② [(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．
(2)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条，所以错误．]
跟进训练
2．CD [A中，直线a也可能与平面α相交，故A是假命题；B中，直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，故B是假命题；C中，l∥α时，l与α没有公共点，所以l与α内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；D中，长方体ABCD A1B1C1D1中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，且A1C1与B1D1相交，故D是真命题．]
例3 CD [当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以AB错误．]
跟进训练
3．(1)C (2)27 [(1)逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．
(2)分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分．]
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．D [由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]
2．C [由题图知SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．]
3．相交 [∵点A∈α，B α，C α，
∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，
∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．]
4．4 3 [与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条；与AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个．]
课堂小结
1．提示：空间两条直线有相交、平行、异面三种位置关系．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．提示：在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，可以用符号a α来表示a∥α、a∩α＝A这两种情形．
3．提示：两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分．如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．8.5.3 平面与平面平行
学习任务 借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明．(直观想象、数学抽象、逻辑推理)
如图，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的．
知识点1 平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知识点2 平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线____
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ____
图形语言
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面α∥平面β，α∩γ＝a，平面β∩平面γ＝b a∥b. ( )
(2)平面α∥平面β，直线a α，直线b β a∥b. ( )
类型1 平面与平面平行的判定
【例1】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
[尝试解答] _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
[跟进训练]
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型2 平面与平面平行的性质
【例2】 如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．
[尝试解答] _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[母题探究]
若点P在平面α与β之间，其它条件不变．
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[跟进训练]
2．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G.
求证：.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型3 平行关系的综合应用
【例3】 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
[尝试解答] _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：
[跟进训练]
3．如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.
求证：CD∥平面EFGH.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．下列命题正确的是( )
A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是( )
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
3．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
4．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．线线平行、线面平行、面面平行之间关系如何转化？
2．证明直线与直线平行的方法有哪些？
3．证明直线与平面平行的方法有哪些？
8.5.3 平面与平面平行
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1 两条相交直线
思考 提示：不一定．如图，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交.
知识点2 平行 a∥b
课前自主体验
(1)√ (2)×
[关键能力·合作探究释疑难]
例1 证明：(1)连接B1D1，
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.
∴MF∥AD且MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM 平面BDFE，DF 平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
跟进训练
1．证明：∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
例2 解：(1)证明：∵PB∩PD＝P，
∴直线PB和PD确定一个平面γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，∴AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD，则＝.
又PA＝4，AB＝5，PC＝3.
∴＝，∴CD＝，
故PD＝PC＋CD＝.
母题探究
解：(1)证明：如图，∵PB∩PD＝P，
∴PB，PC确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.
又α∥β，
∴AC∥BD，
(2)由(1)得AC∥BD，∴△PAC∽△PBD，
∴＝，即＝.
又PA＝4，AB＝5，PC＝3.
∴＝，则PD＝.
跟进训练
2．证明：连接AG交β于H，连接BH，FH，AE，CG.
因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，
所以BH∥CG.同理AE∥HF，
所以＝＝，
所以＝.
例3 证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，
BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
跟进训练
3．证明：由于四边形EFGH是平行四边形，
∴EF∥GH.
∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
又∵EF 平面ACD，
平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD.
又∵EF 平面EFGH，CD 平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．B [如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行．]
2．A [可以想象四棱柱，由面面平行的性质定理可得．]
3．A [∵A1E∥BE1，A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.
同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1 平面EFD1A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.]
4．6 [如图，∵AB∥CD，
∴A，B，C，D四点共面，
∵α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
∴AC∥BD，又AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，∴AB＝CD＝6.]
课堂小结
1．提示：三者之间的相互转化关系如图所示．
2．提示：(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质等．
(2)基本事实4.
(3)线面平行的性质定理．
(4)面面平行的性质定理．
3．提示：(1)线面平行的判定定理．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
学习任务 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．(直观想象) 2．掌握两异面直线所成的角的求法．(数学运算、逻辑推理)
观察下面两个图形．
问题：(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？
(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？
知识点1 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线__________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)空间两条直线所成角α的取值范围是________________．
1．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知识点2 两条异面直线垂直
(1)定义：如果两条异面直线所成的角是____，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
(2)表示：直线a与直线b垂直，记作______．
2．两条直线垂直，一定相交吗？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________．
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条．
类型1 异面直线所成的角
【例1】 如图，空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
[尝试解答] _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
求异面直线所成角的一般步骤
“一作”即过空间一点作两条异面直线的______，而空间一点一般取在两异面直线中的一条上，特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处．
“二求”即通过解三角形，计算所作的角的大小．
“三结论”即假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则____________即为所求．
[跟进训练]
1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，求异面直线A1C与B1C1所成的角的大小．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型2 直线与直线垂直的证明
【例2】 如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
[尝试解答] _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
证明两条直线垂直的策略
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明．
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明．
[跟进训练]
2．(1)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，则线段AA1的长为________．
(2)空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝EF＝3．
求证：AC⊥BD.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．(多选)如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是( )
A．相交直线 B．异面直线
C．共面直线 D．平行直线
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在的直线中与直线BC1所成角为的条数为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
4．如图，已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝，AA′＝2．
(1)BC和A′C′所成的角为________；
(2)AA′和BC′所成的角为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？
2．用平移法求异面直线所成角的一般步骤是什么？
3．用平移法求异面直线所成角时应用了什么数学思想？
8.6.1 直线与直线垂直
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1 (1)a′与b′ (2)0°≤α≤90°
思考1 提示：根据等角定理可知，异面直线所成角的大小与点O的位置无关.
知识点2 (1)直角 (2)a⊥b
思考2 提示：不一定．当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，但不一定相交．
课前自主体验
1．45° [如图，连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角. 因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.]
2．2 [长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1 解：如图，取BD的中点F，连接EF，AF，
又E为BC的中点，∴EF綉CD，
∴∠AEF为异面直线AE与CD所成的角(或补角)．
设空间四边形ABCD的棱长为a，
则AE＝AF＝a，EF＝，
∴cos ∠AEF＝＝＝.
故异面直线AE与CD所成角的余弦值为.
发现规律
平行线 180°－α
跟进训练
1．解：因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，
则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)，
∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝，CA1＝.
∴△BCA1是等边三角形，
∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
例2 解：法一：如图，连接A1C1，B1D1，设交点为O，取DD1的中点G，连接OG，GA1，GC1.
则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，
∴DB1⊥EF.
法二：如图，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE∥DB1，且HE＝DB1.于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝，取A1D1的中点I，连接IF，HI，则HI⊥IF.
∴HF2＝HI2＋IF2＝，∴HF2＝EF2＋HE2.
∴∠HEF＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，
∴DB1⊥EF.
法三：如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，DQ，则B1Q∥EF.
于是，直线DB1与B1Q所成的角就是异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
通过计算，不难得到B1D2＋B1Q2＝DQ2，
从而异面直线DB1与EF所成的角为90°，所以DB1⊥EF.
跟进训练
2．(1) [连接CD1，AC.
由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C＝90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1＝AC.
∵底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝＝.]
(2)证明：∵点G，E分别是CD，BC的中点，
∴GE∥BD，同理GF∥AC.
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，
∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.
即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．ABC [由平面几何知识和异面垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，故选ABC.]
2．B [取A1B1中点I，连接IG，IH，则EF綉IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.]
3．B [因为正方体中∠CBC1＝，所以BC与直线BC1所成角为，又BC∥AD∥A1D1∥B1C1，
所以AD，A1D1，B1C1与直线BC1所成角为，
同理可得BB1，CC1，DD1，AA1与直线BC1所成角为，
又AB，CD，C1D1，A1B1与直线BC1所成角为，
所以与直线BC1所成角为的棱有8条．
故选B.]
4．(1)45° (2)60° [(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.
(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.]
课堂小结
1．提示：异面直线所成角θ的范围为0°<θ≤90°，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b.
2．提示：(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；
(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ，若0°<θ≤90°，则θ即为所求，若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求．
3．提示：应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题．8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的定义及判定定理
学习任务 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．(直观想象) 2．归纳出直线与平面垂直的判定定理．(数学抽象) 3．了解直线与平面所成的角．(数学抽象)
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
知识点1 直线与平面垂直的定义
定义 一般地，如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的____，平面α叫做直线l的____．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做____
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“无数条直线”？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知识点2 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的____________垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，______＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
知识点3 直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面____，但不与这个平面____，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足 斜线和平面的____，如图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引____，过____和____的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是______；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是____．
取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，则________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直． ( )
(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． ( )
(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． ( )
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；
AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；
AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．
类型1 直线与平面垂直的判定
【例1】 如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[尝试解答] _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)．
②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α b⊥α.
②α∥β，a⊥α a⊥β.
[跟进训练]
1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.
求证：AN⊥平面PBM.
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_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
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_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型2 直线与平面所成的角
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[尝试解答] _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[母题探究]
在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．
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_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
求直线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的____，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的__________中计算．
[跟进训练]
3．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
2．(多选)下列说法，正确的是( )
A．若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C．若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．120°
4．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是点H，给出以下说法：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则点H是△ABC的垂心；
③若点P到△ABC的三边距离相等，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；
④若PA＝PB＝PC，则点H是△ABC的外心．
其中正确的说法是________(填序号)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？证明线面垂直的主要方法有哪些？
2．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？如何求直线与平面所成的角？
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的定义及判定定理
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1 任意一条 垂线 垂面 垂足
思考 提示：不可以，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
知识点2 两条相交直线 m∩n
知识点3 相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 90° 0° 0°≤θ≤90°
课前自主体验
1．(1)× (2)√ (3)×
2．45° 45° 0° [∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1 证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
跟进训练
1．证明：设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM α，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM.
2．证明：如图，连接AC，
则AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A 平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C 平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，
BD，BC1 平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
例2 解：(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，
∴tan ∠A1CA＝.
(2)连接A1C1交B1D1于O，
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，
A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
母题探究
解：连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴EO1⊥平面BB1D1D，
∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，
∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为a.
∵E是AB的中点，EO1∥AC，∴O1是BO的中点，
∴EO1＝AO＝＝，
B1O1＝＝＝，
∴tan ∠EB1O1＝＝＝.
发现规律
(1)垂线 (3)直角三角形
跟进训练
3．解：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD.
因为底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′.
因为AA′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D.
又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥侧面ABB′A′，
所以BD是斜线BC′在平面ABB′A′上的射影，
∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成的角．
等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝，
在Rt△BB′C′中，BC′＝＝，
故直线BC′与平面ABB′A′所成的角的正弦值为sin ∠C′BD＝＝.
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．B [一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]
2．AC [由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．]
3．A [∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos ∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故选A.]
4．①②③④ [①正确，因为点P在平面ABC上的射影是H，则PH⊥平面ABC，故PH⊥BC.又PA⊥BC，PA∩PH＝P，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC，同理，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；②正确，若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心；③正确，易证Rt△PHD≌Rt△PHE≌Rt△PHF(D，E，F为△ABC各边的垂足)，所以HD＝HE＝HF，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；④正确，可得Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，所以HA＝HB＝HC，则H是△ABC的外心．]
课堂小结
1．提示：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；证明线面垂直的主要方法：(1)线面垂直定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)借助两个结论：①若a∥b，a⊥α则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．提示：需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．求直线与平面所成角的步骤为一作、二证、三求、四答，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口．8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 二面角及平面与平面垂直的判定定理
学习任务 1．理解二面角及其平面角的概念，会作二面角的平面角，会求简单的二面角的平面角．(数学抽象、数学运算) 2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，会用定理证明垂直关系．(数学抽象、逻辑推理)
如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉．你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？
知识点1 二面角
1．定义：从一条直线出发的__________所组成的图形．
2．相关概念：(1)这条直线叫做二面角的__，(2)两个半平面叫做__________．
3．画法：
4．记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA α，OB β；(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是________．
6．平面角是直角的二面角叫做________，二面角的平面角α的取值范围是__________________．
1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，构成二面角的平面角的三要素是什么？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知识点2 平面与平面垂直
1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．
2．画法：
3．记作：______．
4．判定定理：如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β. ( )
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β. ( )
(3)两平面垂直时，其二面角是直二面角. ( )
类型1 二面角的计算问题
【例1】 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数；
(2)求二面角B-PA-D的平面角的大小；
(3)求二面角B-PA-C的平面角的大小．
[尝试解答] _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
求二面角的平面角的大小的步骤
(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线．
(2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角．
(3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．
(4)结论．
[跟进训练]
1．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型2 平面与平面垂直的判定
定义法判定平面与平面垂直
【例2】 如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
[尝试解答] _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
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判定定理法判定平面与平面垂直
【例3】 (源自湘教版教材)如图，已知△ABC中，AD是边BC上的高，以AD为折痕折叠△ABC，使∠BDC为直角．
求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ADC⊥平面ABD.
[尝试解答] _________________________________________________________
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证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
[跟进训练]
2．如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
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_____________________________________________________________________
1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件( )
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
3．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求二面角的平面角的大小？
2．如何证明两个平面垂直？
8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 二面角及平面与平面垂直的判定定理
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1 1.两个半平面 2.(1)棱 二面角的面 5.∠AOB 6.直二面角 0°≤α≤180°
思考1 提示：无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
思考2 提示：三要素是“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直．
知识点2 1.直二面角 3.α⊥β 4.垂线
课前自主体验
(1)× (2)× (3)√
[关键能力·合作探究释疑难]
例1 解：(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.
PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角．
又由题意知∠BAD＝90°，
∴二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.
(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.
跟进训练
1．解：由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P-BC-A的棱，
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角．
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.
例2 解：因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，则∠AEC是二面角A-BD-C的平面角．
在△ABD中，AB＝a, BE＝BD＝a，
所以AE＝＝a.
同理CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a.
因为AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，
所以二面角A-BD-C为直二面角，
所以平面ABD⊥平面BCD.
例3 证明：因为AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
因为AD 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BDC.
已知∠BDC为直角，
所以BD⊥DC.
又AD∩DC＝D，因此BD⊥平面ADC.
因为BD 平面ABD，
所以平面ADC⊥平面ABD.
跟进训练
2．证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC的中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，
所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．D
2．C [∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.]
3．C [若方向相同则相等，若方向相反则互补．故选C.]
4．45° [根据正方体中的位置关系可知，
AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，
∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角．
又AB＝AA1，且AB⊥AA1，
所以∠ABA1＝45°.]
课堂小结
1．提示：求二面角的平面角的大小的步骤
2．提示：证明面面垂直主要有两种方法：
(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理．第2课时 平面与平面垂直的性质
学习任务 1．通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明. (直观想象、数学抽象) 2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题．(逻辑推理)
黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？由此，你能得到什么样的一般结论呢？
知识点 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的____，那么这条直线与另一个平面____
符号语言
图形语言
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β. ( )
(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β. ( )
(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β. ( )
类型1 面面垂直性质定理的应用
【例1】 如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC.求证：AB⊥BC.
[思路导引] 平面VAB⊥平面VBCAD⊥BCBC⊥平面VABBC⊥AB.
[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究]
若将本例中的条件变为：平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB.求证：VA⊥BC.
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在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．
[跟进训练]
1．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
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类型2 线线、线面、面面垂直的综合应用
【例2】 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
[尝试解答] _________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
垂直关系的转化
直线与直线垂直(线线垂直)、直线与平面垂直(线面垂直)、平面与平面垂直(面面垂直)之间可以相互转化，它们之间的转化关系可用框图来表示．
[跟进训练]
2．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
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1．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则( )
A．ME⊥平面ABCD B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD D．以上都有可能
3．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝( )
A．2 B． C． D．1
4．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．面面垂直的性质定理包含哪些条件？
2．当题设条件中给出面面垂直时，我们常如何作辅助线？
3．线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定和性质是如何转化的？
第2课时 平面与平面垂直的性质
[必备知识·情境导学探新知]
知识点 交线 垂直 a α a⊥l
课前自主体验
(1)× (2)√ (3)√
[关键能力·合作探究释疑难]
例1 证明：如图，在平面VAB内，过点A作AD⊥VB于点D.
∵平面VAB⊥平面VBC，且交线为VB，
∴AD⊥平面VBC.
∴AD⊥BC.
∵VA⊥平面ABC，
∴VA⊥BC.
∵AD∩VA＝A，且VA 平面VAB，AD 平面VAB，
∴BC⊥平面VAB.
∵AB 平面VAB，∴AB⊥BC.
母题探究
证明：∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC 平面ABC，CA⊥AB，
∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA.同理，BA⊥VA.
又AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，
∵BC 平面ABC，∴VA⊥BC.
跟进训练
1．证明：(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，
由BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG 平面PAD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，∴AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
例2 证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.
∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
跟进训练
2．证明：(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a.
因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝＝a.又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝＝a，所以DE＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，
则MN綉CE綉DB.
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC，
所以EC⊥BN，EC⊥MD.
又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
又AE∩EC＝E，
所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.
(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．D [A项中缺少了条件l α，故A错误．
B项中缺少了条件α⊥β，故B错误．
C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误．
D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确．]
2．A [因为ME 平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.]
3．C [如图所示，连接BC.因为AC⊥l，α⊥β，AC α，α∩β＝l，所以AC⊥β.因为BC β，
所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形，
所以BC＝＝.
在Rt△BCD中，CD＝＝.]
4． [∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∴PB＝＝＝.]
课堂小结
1．提示：面面垂直的性质定理必须满足四条，缺一不可，即①面面垂直；②面和面的交线；③有一条线和交线垂直；④这一条线必须在其中一个面内，这样才能证明这条线垂直于另一平面，即将面面垂直转化为线面垂直．切记：前提是平面与平面垂直．
2．提示：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
3．提示：垂直问题转化关系如下所示：
