1.1.4 同底数幂的除法 教案 2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

第一章 整式的乘除
1.1 幂的乘除
第4课时 同底数幂的除法
一、教学目标
1.了解同底数幂的除法运算性质，理解零指数幂与负整数指数幂的运算法则.
2.能熟练的运用同底数幂的除法的运算性质进行运算，并解决一些实际问题.
3.经历探索同底数幂的除法运算法则的过程，进一步体会幂的运算的意义及类比、归纳等方法的作用.
4.通过对具体数的运算，使学生通过归纳，获得对零指数幂和负整数幂意义的猜想，体会a0=1，a-p=这一规定的合理性.
二、教学重难点
重点：掌握同底数幂的除法运算性质，零指数幂与负整数指数幂的运算法则.
难点：能熟练的运用同底数幂的除法性质进行运算.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.
问题1：什么是幂？
预设：
问题2：同底数幂乘法的运算性质是什么？
预设：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.am·am=am+n（m,n都是正整数）
问题3：幂的乘方运算性质又是什么？
预设：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(am)n =amn(m，n都是正整数)
【情境导入】
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
提问：想一想如何列算式呢？
预设：1012÷109
想一想：你知道1012÷109等于多少吗？
设计意图：通过复习旧知，为新课的探究学习打下基础，通过情境导入,提出新的问题，体会同底数幂除法的必要性，激发学生的学习兴趣.
环节二 探究新知
问题1 观察算式1012÷109，两个因式有何特点？
预设：1012和109这两个因式底数相同，是同底的幂的形式.
所以我们把1012÷109这种运算叫做同底数幂的除法.
设计意图：通过观察算式，明确什么是同底数幂的除法.
问题2 1012和109表示的意义分别是什么？
预设：
1012＝10×10×…×10
12个10
109＝10×10×…×10
9个10
问题3 如何计算1012÷109呢？
预设：
法一 根据幂的意义及除法的意义
1012÷109
12个10
9个10
=10×10×10
3个10
=103
法二
因为103×109=1012
所以1012÷109=(103×109)÷109=103
设计意图：鼓励学生利用幂的意义和除法的意义独立解答，为探索同底数幂的除法的运算性质做好知识和方法的铺垫.
【做一做】
计算下列各式，并说明理由(m＞n).
(1) 10m÷10n；
(2) (-3)m÷(-3)n.
【想一想】
通过上面的计算，你发现了什么？
预设：①结果中的底数与原来两个幂的底数相同；②结果中的指数是原来两个幂的指数差.
设计意图：体会从特殊到一般，并让学生自己发现这些算式的规律，并在发现的过程中不断巩固幂的意义和除法的意义.
【议一议】
你会计算am÷an(a≠0，m>n且m，n均为正整数)吗
预设：
am÷an
m个a
n个a
=a·a·…·a
(m-n)个a
=am-n
小结：我们同样有，①结果中的底数与原来两个幂的底数相同；②结果中的指数是原来两个幂的指数差.
【归纳】
同底数幂的除法运算性质：
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)同底数幂相除，底数不变，指数相减.
设计意图：明确同底数幂的除法运算性质，并学会用符号语言表示.
环节三 应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例 计算.
分析：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可.
解：(1) a7÷a4= a7-4=a3；
(2) (-x)6÷(-x)3=(-x)6-3=-x3；
(3) (xy)4÷(xy)= (xy)4-1=x3y3；
设计意图：通过例题的探究，让学生进一步熟练积同底数幂的除法运算性质，加强学生的运算能力和应用意识.
【做一做】计算下列算式：
（1）23÷23， a3÷a3(a≠0).
预设：
根据除法的意义:
23÷23=1，a3÷a3=1.
根据同底数幂的除法:
23÷23=23-3=20，a3÷a3= a3-3=a0 .
我们规定：20=1，a0=1(a≠0).
这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.
（2）23÷25， a3÷a5(a≠0).
预设：
根据除法的意义:
23÷25=
a3÷a5=
根据同底数幂的除法:
23÷25=23-5=2-2，a3÷a5= a3-5=a-2 .
我们规定： ,
任何不等于0的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数．
归纳：
我们规定：
a0=1(a≠0)，(a≠0，p是正整数)
一个不等于零的数，它的零次幂等于1，它的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数.
设计意图：明确零指数幂与负整数指数幂的运算法则.
例2 计算.
分析：根据a0=1(a≠0)，
(a≠0，p均为正整数)计算即可.
解：
设计意图：通过例题，让学生进一步熟悉零指数幂与负整数指数幂的运算法则，加强学生的运算能力和应用意识.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【随堂练习】
1.计算：
解：(1) 26÷23=26-3=23=8.
(2) x10÷x8=x10-8=x2.
(3)(-b)5÷(-b)2=(-b)5-2=-b3.
2.计算：
解：
3.填空
(1)若，则m=________；
(2)若，则x=______.
(3) a5·( )=a8 ； x2·x5·( )=x19.
答案：（1）3；（2）0；（3）a3，x12
4.如果xm=16，xn=128，求x2m-n的值.
解：x2m-nx2m÷xn
（xm）2÷xn
∵xm=16，xn=128
∴原式=162÷128=2.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.
环节五 归纳总结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.