第七章 7.3 复数的三角表示 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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7.3 复数的三角表示 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1． 复数 的三角形式是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知复数和复数，则（　　）
A． B． C． D．
3．若 ( 是虚数单位)，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
4．已知为虚数单位，，，则 （　　）
A． B．
C． D．
5．欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（　　）
A． B． C． D．
7．若复数为实数，则正整数的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．复数（为虚数单位）的三角形式为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9． 复数 的三角形式是　 　．
10． 设 对应的向量为 将 绕原点按顺时针方向旋转 所得向量对应的复数的虚部为　 　．
11． 复数 的模是　 　．
12．若复数 满足 ，，则 的代数形式是 　 　．
三、多选题
13．已知复数、，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．若，则、中至少有个是
D．若且，则
14．欧拉公式 （本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（　　）
A．复数 为纯虚数
B．复数 对应的点位于第二象限
C．复数 的共轭复数为
D．复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆
15．关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）
A．
B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．
D．
四、解答题
16．已知复数（其中是虚数单位，）.
（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
17．已知复数，且为纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
18． 把复数 与 对应的向量 ， 分别按逆时针方向旋转 和 后，与向量 重合且模相等，已知 ，求复数 的代数式和它的辐角主值．
答案解析部分
1．A
由题意，，
2．C
3．D
解：由复数的几何意义可知： 表示的点在单位圆上，
而|z 2 2i|表示该单位圆上的点到复数 表示的点 的距离，
由图象可知： 的最小值应为点 到 的距离，
而 ，圆的半径为1，
故 的最小值为 ，
故答案为：D．
4．D
∵
故答案选D。
5．A
解：令代入可得，
所以表示的复数在复平面内对应的点为，
则，
所以表示的复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：B.
6．A
解：复数的三角形式为，
因为复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得，
所以向量对应的复数是.
7．B
解：因为，所以，
若 复数为实数 ，即为实数，则n的最小值为2.
8．D
解复数的三角形式为，
因为，
所以，
复数对应的点在第四象限，且，
因此，，结合选项知D正确，
故答案为：D.
9．
由题意，；
故答案为： 。
【分析】利用复数的代数式与三角形式转换，可求出结果。
10．
由题意，所得向量对应的复数为： ，
故虚部为 。
故答案为。
11．3
由题意，以及 ；
可得 ；
故答案为3；
12．
设 ，则 ， ，
则 ，
∴ ，即 ，
解得 。
故答案为： 。
13．A,C,D
设，，
对于A选项，，
所以，
，
因为
，
则，
所以，，A对；
对于B选项，若、中至少有一个为虚数，则、不能比较大小，B不符合题意；
对于C选项，若，假设、均不为零，则，，
则存在、，使得，，
则，
因为，则、不可能同时为零，
所以，，
故假设不成立，所以，、中至少有一个为零，C对；
对于D选项，，则，
因为，则，由C选项可知，，即，D对.
14．A,B,D
解：对A：因为复数 为纯虚数，A符合题意；
对B：复数 ，因为 ，所以复数 对应的点为 位于第二象限，B符合题意；
对C：复数 的共轭复数为 ，C不符合题意；
对D：复数 在复平面内对应的点为 ，
因为 ，所以复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆，D符合题意.
故答案为：ABD.
15．A,C,D
所以
A符合题意
，则在复平面上对应的点为位于第三象限
B不符合题意
C符合题意
D符合题意
故答案为：ACD
16．（1）解：若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，
则，解得；
（2）解：若，
则，
由②得③，
将①③相加得，
故，
因为，
则当时，，当时，，
所以的取值范围为.
17．（1）解：因为，
，
又为纯虚数，
，
解得.
（2）解：，
因为复数所对应的点在第二象限，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
18．解：由复数乘法的几何意义得
，
又
所以
所以 的辐角主值为 ．
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