第七章 复数 章末综合试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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复数 章末综合试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．已知i是虚数单位，则 ＝（　　）
A． B． C． D．
2．（　　）
A． B．1 C． D．-1
3．已知，则复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
4．复数满足，则（　　）
A． B． C．2 D．
5．已知复数z满足，则（　　）
A． B．2 C． D．
6．已知是关于x的方程的一个根，其中，则（　　）
A．18 B．16 C．9 D．8
7．在复平面内，复数，对应的点分别是，，则复数的虚部为（　　）
A．2i B．-2i C．2 D．-2
8．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设 为复数， ．下列命题中正确的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（　　）
A．
B．
C．复数 的实部为-1
D．复数 对应复平面上的点在第二象限
11．已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（　　）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B． 可能为实数
C．
D． 的虚部为
12．已知集合 ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．若 ，则 　 　．
14．复数 的实部是　 　.
15．设复数 ， 满足 ， ，则 　 　
16．若复数 是纯虚数，则实数 　 　.
17．已知为复数，且，则的最大值为　 　.
四、解答题
18．
（1）已知 ，解关于z的方程 ；
（2）已知 是关于x的方程 在复数集内的一个根，求实数a，b的值.
19．设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数 ；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值.
20．设 是虚数， 是实数，且 .
（1）求 的值以及 的实部的取值范围；
（2）若 ，求证 为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求 的最小值.
答案解析部分
1．B
解： .
2．C
因为，所以，
所以.
3．C
由可得，
所以复数的共轭复数是，
4．A
因为，所以，
所以.
5．C
令，则，且，
所以，则，
所以，可得，即，
所以.
6．A
由题意得，化简得，
所以解得所以．
故答案为：A
7．D
由题可知，，
所以，
则复数的虚部为-2.
故答案为：D
8．A
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以解得.
9．B,C
由复数模的概念可知， 不能得到 ，例如 ，A不符合题意；
由 可得 ，因为 ，所以 ，即 ，B符合题意；
因为 ， ，而 ，所以 ，所以 ，C符合题意；
取 ，显然满足 ，但 ，D不符合题意.
10．B,D
因为复数 满足 ，
所以
所以 ，故A错误；
，故B正确；
复数 的实部为 ，故C错误；
复数 对应复平面上的点 在第二象限，故D正确.
11．B,C
对于AB选项，当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第四象限；
当 时， ；
当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第一象限.
A选项错误，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
所以，复数 的虚部为 ，D选项错误.
故答案为：BC.
12．B,C
根据题意， 中，
时， ；
时，
； 时， ；
时， ，
.
A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：BC.
13．-2
因为 ， ，
所以， ，故 ．
14．-3
，故实部为-3.
故答案为：-3.
15．
设 ， ， ，由已知得： ， ， ，则 ，
，
则 。
故答案为： 。
16．-1
解：由 是纯虚数，
得 ，即 ．
故答案为：-1．
17．4
由题意设，则
，，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.
则，可理解为求点到点之间的距离，
数形结合可知，的最大值为4．
故答案为：4
18．（1）解：设 ，则 ，即
∴ ，解得 ，或 ∴ 或 ；
（2）解：由题知方程在复数集内另一根为 ，故 ，
即 .
19．（1）解：设 ， ， .
由题意： .①
，
得 ，
，②
①②联立，解得 ，
得 .
（2）解：由（1）可得
所以
由题意可知 解得 且 且
所以
20．（1）解：由 是虚数，设 ，则
，
因为 为实数，所以 且 ，所以
所以 ，
此时 ，
因为 ，所以 ，得
（2）解：因为 ，且 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 为纯虚数
（3）解： ，
由 ，得 ，
故当且仅当 ，即 时， 有最小值1
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