2.2等差数列
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课件43张PPT。高斯，(1777—1855） 德国著名数学家。得到数列 1，2，3，4， … ，100问题情景高斯是德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：1682，1758，1834，1910，1986，（ ）2062相差76通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。8844.43米9-24(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.减少6.5思考：以上数列有什么共同特点？从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。2.2 等差数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 等差数列定义②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000公差d=1公差d=500公差d=①1，2，3,…,100；它们是等差数列吗？(2) 5，5，5，5，5，5，…公差 d=0 常数列公差 d= 2x(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10×(3) 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 等差数列定义数学语言：
an-an-1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）或an+1－ an = d（ d是常数, n∈N*）3．判断下列数列是否为等差数列：
(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.【解析】对任意n∈N*，(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是同一常数，∴数列{an}是等差数列．(2)∵an＋1－an＝(n＋1)2－(n＋1)－(n2－n)＝2n，不是同一常数，∴数列{an}不是等差数列．全优21页变式训练小结：
1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断an+1-an 是不是同一个常数。
2、公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0。 练习： 已知等差数列的首项为12，公差为－5，试写出这个数列的第2项到第5项． 解: 由于，因此 概念强化2．设等差数列的首项为a，公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是( )
A．a＞0，d＞0 B．a＞0，d＜0
C．a＜0，d＞0 D．a＜0，d＜0C【解析】a＜0，d＞0的意义是前面的项数为负，后面的项为正．全优21页基础夯实 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0 3-6 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。思 考( 3 ) , ( ) , 2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．【解析】由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中项为全优20页变式训练问题情景观察数列：1，3，5，7，…思 考：
在数列中a100=？我们该如何求解呢？已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，则
n=1时亦适合迭加得…等差数列的通项公式例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。解：(2) –401是否是等差数列 -5，-9，-13，…，的项？如果是，是第几项 ？解：因此，解得练习：课本39页 2 解：由题意可得 ∴ d = 2 ，a1 =2∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n 例、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求通项公式an 例 、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求通项公式an思考：你还能想到解决该问题的其它解法吗？解法二：∵ a6=12 ，a18=36 ，a18=a6+(18-6)d
∴36=12+12d
∴d=2
∴ an=a6+(n-6)d
=12+(n-6) ×2
=2n知识延伸：任意两项an和am之间的关系：an=am +(n-m)d(n,m∈N*)8．(2013年大纲节选)等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9，求数列{an}的通项公式．【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a7＝4，a19＝2a9，全优21页能力提高1．已知－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，等于( )B【解析】设－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1＝d＝＝－1，＝－2，全优61页限时规范训练（一）【例1】 若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解a60＝a15＋(60－15)d，∴a75＝a60＋(75－60)d全优23页典例剖析等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…●●●●●●●等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，…●●●●等差数列的图象3（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●●●●●●●●探究1(1)在直角坐标系中，画出通项公式为 的数列的图象与函数 y=2x-4的图象，你发现了什么？(2)等差数列的 图象与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系？已知数列 的通项公式为 ，其中p,q为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？它是一个与n无关的数，所以 是等差数列例3直线的一般形式：等差数列的通项公式为：等差数列的图象为相应直线上的点。3．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2 C．4 D．6B【解析】设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且(a－d)a(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2.又{an}递增，∴d＞0，即d＝2，∴a1＝2.全优21页基础夯实【例2】(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，即d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.全优23页典例剖析【例3】 等差数列{an}的第5项为5，第10项为－5，问此数列中第一个负数项是第几项？【解析】设数列{an}的首项为a1，公差为d，所以该数列的通项公式为an＝13－2(n－1)＝－2n＋15.若an＜0，即－2n＋15＜0，∴n＞7.5.又∵n∈N*，∴n＝8，即第一个负数项是第8项．全优23页典例剖析3．已知 是等差数列且a4＝6，a6＝4，则a10＝______.【解析】全优69页限时规范训练（一）探究2(等差数列性质）探究3(等差数列判定）练习：课本39页 53．(2013年上海)在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝________.15【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a4＝a2＋a3.因为a1＋a2＋a3＋a4＝30，所以2(a2＋a3)＝30，即a2＋a3＝15.全优69页限时规范训练（二）4．已知等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________.15【解析】∵a3＋a15＝6＝2a9?a9＝3，而a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(a7＋a11)＋(a8＋a10)＋a9＝5a9＝5×3＝15.全优69页限时规范训练（二）1．设{an}是一个有穷的等差数列且a4＋a7＋a10＝17，a5＋a8＋a11＝23，那么公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4B【解析】由已知可得3a7＝17,3a8＝23，全优69页限时规范训练（二）4．在等差数列{an}中，若(a2a4＋a2a6)＋(a4a8＋a6a8)＝100，则a5＝________.±5【解析】100＝a2(a4＋a6)＋a8(a4＋a6)＝2a2a5＋2a8a5＝2a5(a2＋a8)=4a52∴a5＝±5.全优24页基础夯实练习：课本39页 3练习：课本39页 4等差数列的有关性质探究：
an-an-1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）或an+1－ an = d（ d是常数, n∈N*）3．判断下列数列是否为等差数列：
(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.【解析】对任意n∈N*，(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是同一常数，∴数列{an}是等差数列．(2)∵an＋1－an＝(n＋1)2－(n＋1)－(n2－n)＝2n，不是同一常数，∴数列{an}不是等差数列．全优21页变式训练小结：
1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断an+1-an 是不是同一个常数。
2、公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0。 练习： 已知等差数列的首项为12，公差为－5，试写出这个数列的第2项到第5项． 解: 由于，因此 概念强化2．设等差数列的首项为a，公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是( )
A．a＞0，d＞0 B．a＞0，d＜0
C．a＜0，d＞0 D．a＜0，d＜0C【解析】a＜0，d＞0的意义是前面的项数为负，后面的项为正．全优21页基础夯实 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0 3-6 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。思 考( 3 ) , ( ) , 2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．【解析】由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中项为全优20页变式训练问题情景观察数列：1，3，5，7，…思 考：
在数列中a100=？我们该如何求解呢？已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，则
n=1时亦适合迭加得…等差数列的通项公式例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。解：(2) –401是否是等差数列 -5，-9，-13，…，的项？如果是，是第几项 ？解：因此，解得练习：课本39页 2 解：由题意可得 ∴ d = 2 ，a1 =2∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n 例、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求通项公式an 例 、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求通项公式an思考：你还能想到解决该问题的其它解法吗？解法二：∵ a6=12 ，a18=36 ，a18=a6+(18-6)d
∴36=12+12d
∴d=2
∴ an=a6+(n-6)d
=12+(n-6) ×2
=2n知识延伸：任意两项an和am之间的关系：an=am +(n-m)d(n,m∈N*)8．(2013年大纲节选)等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9，求数列{an}的通项公式．【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a7＝4，a19＝2a9，全优21页能力提高1．已知－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，等于( )B【解析】设－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1＝d＝＝－1，＝－2，全优61页限时规范训练（一）【例1】 若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解a60＝a15＋(60－15)d，∴a75＝a60＋(75－60)d全优23页典例剖析等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…●●●●●●●等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，…●●●●等差数列的图象3（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●●●●●●●●探究1(1)在直角坐标系中，画出通项公式为 的数列的图象与函数 y=2x-4的图象，你发现了什么？(2)等差数列的 图象与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系？已知数列 的通项公式为 ，其中p,q为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？它是一个与n无关的数，所以 是等差数列例3直线的一般形式：等差数列的通项公式为：等差数列的图象为相应直线上的点。3．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2 C．4 D．6B【解析】设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且(a－d)a(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2.又{an}递增，∴d＞0，即d＝2，∴a1＝2.全优21页基础夯实【例2】(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，即d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.全优23页典例剖析【例3】 等差数列{an}的第5项为5，第10项为－5，问此数列中第一个负数项是第几项？【解析】设数列{an}的首项为a1，公差为d，所以该数列的通项公式为an＝13－2(n－1)＝－2n＋15.若an＜0，即－2n＋15＜0，∴n＞7.5.又∵n∈N*，∴n＝8，即第一个负数项是第8项．全优23页典例剖析3．已知 是等差数列且a4＝6，a6＝4，则a10＝______.【解析】全优69页限时规范训练（一）探究2(等差数列性质）探究3(等差数列判定）练习：课本39页 53．(2013年上海)在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝________.15【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a4＝a2＋a3.因为a1＋a2＋a3＋a4＝30，所以2(a2＋a3)＝30，即a2＋a3＝15.全优69页限时规范训练（二）4．已知等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________.15【解析】∵a3＋a15＝6＝2a9?a9＝3，而a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(a7＋a11)＋(a8＋a10)＋a9＝5a9＝5×3＝15.全优69页限时规范训练（二）1．设{an}是一个有穷的等差数列且a4＋a7＋a10＝17，a5＋a8＋a11＝23，那么公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4B【解析】由已知可得3a7＝17,3a8＝23，全优69页限时规范训练（二）4．在等差数列{an}中，若(a2a4＋a2a6)＋(a4a8＋a6a8)＝100，则a5＝________.±5【解析】100＝a2(a4＋a6)＋a8(a4＋a6)＝2a2a5＋2a8a5＝2a5(a2＋a8)=4a52∴a5＝±5.全优24页基础夯实练习：课本39页 3练习：课本39页 4等差数列的有关性质探究：