中考真题汇编01 数与式（含详解）
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中考复习专题01：数与式（2024真题汇编一）
考情分析：近年来关于数与式的考法主要集中在选择、填空和计算，并且属于必考内容。
建议用时：90分钟 满分：120分
一、单选题（共45分）
1．（本题3分）（四川省凉山州2024年中考考试数学试题）下列各数中：，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（本题3分）（2024年江苏省苏州市中考数学试题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A． B．1 C．2 D．3
3．（本题3分）（2024年云南省中考数学试题）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（本题3分）（2024年河北省中考数学试题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A. B．
C. D．
5．（本题3分）（2024年四川省达州市中考数学真题）有理数2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
6．（本题3分）（2024年河南省中考数学试题）计算(a.a.a.a........a) 括号内共有a个a的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（2024年广东省中考数学试卷）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）（2024年广东省中考数学试卷）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）（2024年广东省广州市中考数学试题）若，则下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（2024年河北省中考数学试题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（本题3分）（2024年北京市中考数学试题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）（2024年云南省中考数学试题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
13．（本题3分）（2024年广东省中考数学试卷）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
14．（本题3分）（2024年河北省中考数学试题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
15．（本题3分）（2024年重庆市中考数学试题B卷）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共30分）
16．（本题3分）（2024年广东省中考数学试卷）计算： ．
17．（本题3分）（2024年江苏省连云港市中考真题数学试卷）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年．
18．（本题3分）（2024年广东省广州市中考数学试题）若，则 ．
19．（本题3分）（2024年广东省广州市中考数学试题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．
20．（本题3分）（2024年北京市中考数学试题）分解因式： .
21．（本题3分）（2024年甘肃省白银市中考数学试题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
22．（本题3分）（安徽省2024年中考数学试题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
23．（本题3分）（2024年四川省成都市中考数学试题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
24．（本题3分）（2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为 ．
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
25．（本题3分）（2024年北京市中考数学试题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。
若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排
三、解答题（共45分）
26．（本题5分）（2024年北京市中考数学试题）已知，求代数式的值.
27．（本题5分）（2024年上海市中考数学试题）计算：．
28．（本题5分）（2024年广东省中考数学试卷）计算：．
29．（本题5分）（2024年北京市中考数学试题）计算：
30．（本题5分）（2024年福建省中考真题数学试题）计算：．
31．（本题5分）（2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题）计算：
(1)； (2)．
32．（本题5分）（2024年广东省广州市中考数学试题）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围； (2)化简：．
33．（本题5分）（2024年河北省中考数学试题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
34．（本题5分）（2024年云南省中考数学试题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
(1)求的值；
(2)比较与的大小．
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《中考复习专题01：数与式（2024真题汇编一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A B D B D B A
题号 11 12 13 14 15
答案 C D B D D
1．C
【难度】0.94
【知识点】正负数的定义
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解：，是正数；
，是负数；
，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
，是负数；
，是正数；
负数有，，，共3个．
故选：C．
2．B
【难度】0.94
【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的意义
【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
【详解】解：∵，，，，，
∴与原点距离最近的是1，
故选：B．
3．B
【难度】0.94
【知识点】正负数的定义、相反意义的量
【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．
【详解】解：若向北运动米记作米，则向南运动米可记作米，
故选：．
4．A
【难度】0.94
【知识点】正负数的实际应用
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．
由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
【详解】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故选：A．
5．B
【难度】0.94
【知识点】相反数的定义
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：有理数2024的相反数是，
故选：B．
6．D
【难度】0.94
【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方运算
【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．
【详解】解：，
故选D
7．B
【难度】0.94
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：B．
8．D
【难度】0.94
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
9．B
【难度】0.85
【知识点】同底数幂的除法运算、分式乘法、同底数幂相乘
【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
10．A
【难度】0.85
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
故选：A．
11．C
【难度】0.85
【知识点】绝对值的意义、实数与数轴
【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可．
【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意；
C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意；
D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意．
故选：C．
12．D
【难度】0.85
【知识点】单项式规律题
【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．
【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，，
∴第个代数式是，
故选：．
13．B
【难度】0.85
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可．
【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100，
∴一个正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
故选：B．
14．D
【难度】0.4
【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、单项式乘多项式的应用
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项．
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴D选项符合题意，
当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，
故选：D．
15．D
【难度】0.4
【知识点】数字类规律探索、单项式规律题、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可．
【详解】解：∵为自然数，为正整数，且，
∴，
当时，则，
∴，，
满足条件的整式有，
当时，则，
∴，，，，
满足条件的整式有：，，，，
当时，则，
∴，，，，，，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，
∴，，，，
满足条件的整式有：，，，；
当时，，
满足条件的整式有：；
∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意；
不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式共有个．故③符合题意；
故选D
16．1
【难度】0.94
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
17．
【难度】0.94
【知识点】相反意义的量
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可．
【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年；
故答案为：．
18．11
【难度】0.85
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键．
由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：11．
19．220
【难度】0.85
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数乘法运算律
【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可．
【详解】解：，
当，，，时，
，
故答案为：220．
20．
【难度】0.85
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】．
故答案为：．
21．8
【难度】0.85
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】根据定义，得，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得，
故答案为：8．
22．>
【难度】0.85
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
而，
∴，
∴；
故答案为：
23．7
【难度】0.65
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则
∴
故答案为：7
24．
【难度】0.4
【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用、二元一次方程的解
【分析】本题考查了新定义，设，则（，）根据最小的“方减数”可得，代入，即可求解；根据除以余数为，且（为整数），得出为整数，是完全平方数，在，，逐个检验计算，即可求解．
【详解】设，则（，）
由题意得：，
∵，“方减数”最小，
∴，
则，，
∴，
则当时，最小，为，
故答案为：；
设，则（，）
∴
∵除以余数为，
∴能被整除
∴为整数，
又（为整数）
∴是完全平方数，
∵，
∴最小为，最大为
即
设，为正整数，
则
当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解，
当时，，则,则是完全平方数，又，，无整数解，
当时，，则，则是完全平方数，
经检验，当时，，，，
∴，
∴
故答案为：，．
25． 60
【难度】0.4
【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．
①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可．
【详解】解：①节目D的演员的候场时间为，
故答案为：60；
②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面，
∴①按照顺序，则候场时间为：分钟；
②按照顺序，则候场时间为：分钟；
③按照顺序，则候场时间为：分钟；
④按照顺序，则候场时间为：分钟；
⑤按照顺序，则候场时间为：分钟；
⑥按照顺序，则候场时间为：分钟．
∴按照顺序彩排，候场时间之和最小，
故答案为：．
26．3
【难度】0.85
【知识点】整式的加减运算、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
27．
【难度】0.85
【知识点】化简绝对值、零指数幂、分数指数幂、分母有理化
【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】解：
．
28．2
【难度】0.85
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
29．
【难度】0.85
【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
30．4
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、零指数幂
【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；
【详解】解：原式．
31．(1)；
(2)．
【难度】0.65
【知识点】合并同类项、运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算
【分析】（）根据单项式乘以多项式和完全平方公式法则分别计算，然后合并同类项即可；
（）先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简；
本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式和分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
．
32．(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】分式乘除混合运算、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
33．(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案；
（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，
∴，，，
∴；
（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴，
∴，
解得：；
34．(1)
(2)当时，；当时， ．
【难度】0.4
【知识点】实数的大小比较、公式法解一元二次方程、y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】（1）由对称轴为直线直接求解；
（2）当时，；当时， ．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴；
（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
当时，
∴；
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
考情分析：近年来关于数与式的考法主要集中在选择、填空和计算，并且属于必考内容。
建议用时：90分钟 满分：120分
一、单选题（共45分）
1．（本题3分）（四川省凉山州2024年中考考试数学试题）下列各数中：，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（本题3分）（2024年江苏省苏州市中考数学试题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A． B．1 C．2 D．3
3．（本题3分）（2024年云南省中考数学试题）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（本题3分）（2024年河北省中考数学试题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A. B．
C. D．
5．（本题3分）（2024年四川省达州市中考数学真题）有理数2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
6．（本题3分）（2024年河南省中考数学试题）计算(a.a.a.a........a) 括号内共有a个a的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（2024年广东省中考数学试卷）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）（2024年广东省中考数学试卷）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）（2024年广东省广州市中考数学试题）若，则下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（2024年河北省中考数学试题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（本题3分）（2024年北京市中考数学试题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）（2024年云南省中考数学试题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
13．（本题3分）（2024年广东省中考数学试卷）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
14．（本题3分）（2024年河北省中考数学试题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
15．（本题3分）（2024年重庆市中考数学试题B卷）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共30分）
16．（本题3分）（2024年广东省中考数学试卷）计算： ．
17．（本题3分）（2024年江苏省连云港市中考真题数学试卷）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年．
18．（本题3分）（2024年广东省广州市中考数学试题）若，则 ．
19．（本题3分）（2024年广东省广州市中考数学试题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．
20．（本题3分）（2024年北京市中考数学试题）分解因式： .
21．（本题3分）（2024年甘肃省白银市中考数学试题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
22．（本题3分）（安徽省2024年中考数学试题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
23．（本题3分）（2024年四川省成都市中考数学试题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
24．（本题3分）（2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为 ．
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
25．（本题3分）（2024年北京市中考数学试题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。
若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排
三、解答题（共45分）
26．（本题5分）（2024年北京市中考数学试题）已知，求代数式的值.
27．（本题5分）（2024年上海市中考数学试题）计算：．
28．（本题5分）（2024年广东省中考数学试卷）计算：．
29．（本题5分）（2024年北京市中考数学试题）计算：
30．（本题5分）（2024年福建省中考真题数学试题）计算：．
31．（本题5分）（2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题）计算：
(1)； (2)．
32．（本题5分）（2024年广东省广州市中考数学试题）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围； (2)化简：．
33．（本题5分）（2024年河北省中考数学试题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
34．（本题5分）（2024年云南省中考数学试题）已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
(1)求的值；
(2)比较与的大小．
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《中考复习专题01：数与式（2024真题汇编一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A B D B D B A
题号 11 12 13 14 15
答案 C D B D D
1．C
【难度】0.94
【知识点】正负数的定义
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解：，是正数；
，是负数；
，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
，是负数；
，是正数；
负数有，，，共3个．
故选：C．
2．B
【难度】0.94
【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的意义
【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
【详解】解：∵，，，，，
∴与原点距离最近的是1，
故选：B．
3．B
【难度】0.94
【知识点】正负数的定义、相反意义的量
【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．
【详解】解：若向北运动米记作米，则向南运动米可记作米，
故选：．
4．A
【难度】0.94
【知识点】正负数的实际应用
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．
由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
【详解】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故选：A．
5．B
【难度】0.94
【知识点】相反数的定义
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：有理数2024的相反数是，
故选：B．
6．D
【难度】0.94
【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方运算
【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．
【详解】解：，
故选D
7．B
【难度】0.94
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：B．
8．D
【难度】0.94
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
9．B
【难度】0.85
【知识点】同底数幂的除法运算、分式乘法、同底数幂相乘
【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
10．A
【难度】0.85
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
故选：A．
11．C
【难度】0.85
【知识点】绝对值的意义、实数与数轴
【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可．
【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意；
C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意；
D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意．
故选：C．
12．D
【难度】0.85
【知识点】单项式规律题
【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．
【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，，
∴第个代数式是，
故选：．
13．B
【难度】0.85
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可．
【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100，
∴一个正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
故选：B．
14．D
【难度】0.4
【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、单项式乘多项式的应用
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项．
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴D选项符合题意，
当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，
故选：D．
15．D
【难度】0.4
【知识点】数字类规律探索、单项式规律题、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可．
【详解】解：∵为自然数，为正整数，且，
∴，
当时，则，
∴，，
满足条件的整式有，
当时，则，
∴，，，，
满足条件的整式有：，，，，
当时，则，
∴，，，，，，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，
∴，，，，
满足条件的整式有：，，，；
当时，，
满足条件的整式有：；
∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意；
不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式共有个．故③符合题意；
故选D
16．1
【难度】0.94
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
17．
【难度】0.94
【知识点】相反意义的量
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可．
【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年；
故答案为：．
18．11
【难度】0.85
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键．
由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：11．
19．220
【难度】0.85
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数乘法运算律
【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可．
【详解】解：，
当，，，时，
，
故答案为：220．
20．
【难度】0.85
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】．
故答案为：．
21．8
【难度】0.85
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】根据定义，得，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得，
故答案为：8．
22．>
【难度】0.85
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
而，
∴，
∴；
故答案为：
23．7
【难度】0.65
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则
∴
故答案为：7
24．
【难度】0.4
【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用、二元一次方程的解
【分析】本题考查了新定义，设，则（，）根据最小的“方减数”可得，代入，即可求解；根据除以余数为，且（为整数），得出为整数，是完全平方数，在，，逐个检验计算，即可求解．
【详解】设，则（，）
由题意得：，
∵，“方减数”最小，
∴，
则，，
∴，
则当时，最小，为，
故答案为：；
设，则（，）
∴
∵除以余数为，
∴能被整除
∴为整数，
又（为整数）
∴是完全平方数，
∵，
∴最小为，最大为
即
设，为正整数，
则
当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解，
当时，，则,则是完全平方数，又，，无整数解，
当时，，则，则是完全平方数，
经检验，当时，，，，
∴，
∴
故答案为：，．
25． 60
【难度】0.4
【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．
①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可．
【详解】解：①节目D的演员的候场时间为，
故答案为：60；
②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面，
∴①按照顺序，则候场时间为：分钟；
②按照顺序，则候场时间为：分钟；
③按照顺序，则候场时间为：分钟；
④按照顺序，则候场时间为：分钟；
⑤按照顺序，则候场时间为：分钟；
⑥按照顺序，则候场时间为：分钟．
∴按照顺序彩排，候场时间之和最小，
故答案为：．
26．3
【难度】0.85
【知识点】整式的加减运算、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
27．
【难度】0.85
【知识点】化简绝对值、零指数幂、分数指数幂、分母有理化
【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】解：
．
28．2
【难度】0.85
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
29．
【难度】0.85
【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
30．4
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、零指数幂
【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；
【详解】解：原式．
31．(1)；
(2)．
【难度】0.65
【知识点】合并同类项、运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算
【分析】（）根据单项式乘以多项式和完全平方公式法则分别计算，然后合并同类项即可；
（）先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简；
本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式和分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
．
32．(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】分式乘除混合运算、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
33．(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案；
（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，
∴，，，
∴；
（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴，
∴，
解得：；
34．(1)
(2)当时，；当时， ．
【难度】0.4
【知识点】实数的大小比较、公式法解一元二次方程、y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】（1）由对称轴为直线直接求解；
（2）当时，；当时， ．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴；
（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
当时，
∴；
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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