湖南省长沙市初中学业水平考试2024年数学押题密卷（四）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·长沙会考）某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约的水记为，那么浪费的水记为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·长沙会考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·长沙会考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·长沙会考）冠豸中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，八（10）班一名同学连续一周体温情况如下表所示：，，，，，，
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．（2024·长沙会考）直线，一个含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·长沙会考）如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，分别交于点M，N，连接，若，则的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．15
7．（2024·长沙会考）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·长沙会考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．40 D．24
9．（2024·长沙会考）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·长沙会考）A，B，C，D，E五人参加“五羊杯”初中数学竞赛得分都超过91分，其中E排第三，得96分．又已知A，B，C平均95分，B，C，D平均94分，若A排第一，则D得（ ）分．
A．98 B．97 C．93 D．92
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024·长沙会考）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2024·长沙会考）华为是全球领先的信息与通信技术（ICT）解决方案供应商，华为Р系列手机搭载华为麒麟9010芯片，该芯片采用5纳米制造工艺.5纳米是厘米的长度单位，将数据0.0000005用科学记数法表示为 ．
13．（2024·长沙会考）因式分解： .
14．（2024·长沙会考）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻值为，三者关系为：．若已知，，则 ．
15．（2024·长沙会考）验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度
16．（2024·长沙会考）江南水乡杭州有很多小河和石拱桥，石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知曲院风荷的一座石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径 米，弧的长度为 米．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．（2024·长沙会考）计算：．
18．（2024·长沙会考）先化简，再求值：．其中，．
19．（2024·长沙会考）随着测量技术的发展，测量飞机可以实现精确的空中测量．如图，为测量我国某海岛两端A、B的距离，我国一架测量飞机在距海平面垂直高度为2千米的点C处，测得端点A的俯角为，然后沿着平行于的方向飞行千米到点D，求某海岛两端A、B的距离．（结果精确到千米，参考数据：，，，）
20．（2024·长沙会考）为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图、表：
分组 时间x（时） 人数
A 5
B 16
C a
D b
E 4
（1）分别写出a、b的值并补全条形统计图；
（2）若该校有学生1000人，估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有多少人
（3）学校需要深入了解影响作业时间的因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少
21．（2024·长沙会考）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）通过计算判断的形状；
（2）在图中确定一个格点D，连接，使四边形为平行四边形．
22．（2024·长沙会考）充电安全报警器，防患未“燃”保平安．某社区决定采购A，B两种型号的充电安全报警器．若购买3个A型报警器和4个B型报警器共需要580元，购买6个A型报警器和5个B型报警器共需要860元．
（1）求两种型号报警器的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的报警器共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型报警器多少个？
23．（2024·长沙会考）在矩形中，点是的中点，连接．是线段上一点，的延长线交于点．
（1）如图，若，且．
求证：点是的中点；
（2）如图，若，当时，求的值（用含的代数式表示）．
24．（2024·长沙会考）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长．
25．（2024·长沙会考）定义：经过函数图象上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图象，我们把满足这种情况的函数图象称为经过这一点的“折叠函数”．
（1）【基本应用】
(ⅰ)如图，点、、均在直线l上．
①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
(ⅱ)在（ⅰ）的条件下，点为二次函数图象上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．
（2）【创新应用】如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵节约的水记为，
∴浪费的水记为，
故答案为：A
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得该几何体为三棱柱，
故答案为：A
【分析】根据三视图还原几何体即可得到该几何体为三棱柱，进而即可求解。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，不能合并，A错误，不符合题意；
B、，B错误，不符合题意；
C、，C错误，不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法和除法法则，平方差公式结合题意对选项逐一计算即可求解。
4．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意得36.2出现了3次，出现的次数最多，故众数为36.2，
将数据从小到大排列：36.2，36.2，36.2，36.3，36.3，36.4，36.5，
∴中位数为第四位数36.3，
故答案为：B
【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数，进而将数据从小到大排列，找出位于中间的数即可求解。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，∠ABD=25°，
∴∠BDC=55°，
∵a∥b，
∴∠1=∠BDC=55°，
故答案为：C
【分析】先根据三角形外角的性质得到∠BDC=55°，进而根据平行线的性质即可求解。
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴的面积．
故答案为：B
【分析】先根据作图-垂直平分线结合垂直平分线的性质得到，，，进而即可得到，再结合题意根据等腰三角形的性质得到，从而得到，根据勾股定理求出MN，从而根据三角形的面积求解即可。
7．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意得将直线沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式为，
故答案为：A
【分析】根据一次函数的几何变换结合题意平移一次函数的图象即可求解。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，
∴；
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴菱形的周长．
故答案为：B
【分析】先证明是菱形，再根据菱形的性质得到，，进而根据三角形中位线定理结合题意得到，，从而根据勾股定理求出AD，进而即可得到周长
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接交于，交于，延长交于点，如图所示：
∵，，均是边长为的等边三角形．
∴，，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点为后轮上的一点，
∴当与重合时取最小值，当与重合时取最大值，
∵在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，圆（后轮）的半径均为，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】连接交于，交于，延长交于点，先根据等边三角形的性质得到，，进而根据菱形的判定与性质得到，，，从而根据勾股定理得到，进而得到BD，再结合题意即可得到当与重合时取最小值，当与重合时取最大值，在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，圆（后轮）的半径均为，从而得到，，再相乘即可求解。
10．【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：设A，B，C，D，E分别得a，b，c，d，e分，则a，b，c，d，e都是在92与100之间的正整数，其中a最大，排第三，且．
两式相减得．
若b排在第二，则，矛盾．
若c排第二，则，矛盾．
若d排第二，则，故只可能．
故答案为：B
【分析】设A，B，C，D，E分别得a，b，c，d，e分，则a，b，c，d，e都是在92与100之间的正整数，其中a最大，排第三，且．进而得到a-d，再根据题意分b排在第二，c排第二，d排第二三种情况讨论即可求解。
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
故答案为：
【分析】根据二次根式的的被开方数非负，即可得实数x的取值范围．
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得将数据0.0000005用科学记数法表示为。
故答案为：
【分析】大于0小于1的数用科学记数法表示为a×10-n，其中1≤a＜10，n为原数字从左往右数第一个不为0的数字前面的0的个数.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先提出公因式a，然后利用完全平方公式法进行第二次分解可得答案.
14．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
即，
∴ ；
故答案为： .
【分析】用含有R、R2的式子表示出R1即可.
15．【答案】200
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系式为，
则由函数图象可得：，即：，
∴，
当时，，
当时，，
∴400-200=200，即度数减少了200度．
故答案为：200.
【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求得反比例函数解析式并将矫正治疗后所配镜片焦距调整为0.5m代入反比例函数求出矫正后的度数是解题的关键．先求出近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系式，再根据矫正治疗后所配镜片焦距调整为米，可求出现在小宇佩戴的眼镜度数，两次比较即可求解．
16．【答案】；
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
由题意得，点C为弧的中点，
∴，
∵，
∴三点共线，
∴米
设米，则米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴米，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴弧的长度为米，
故答案为：；。
【分析】连接，根据垂径定理可得，则米，设米根据勾股定理可得，解方程求出米，然后求出圆心角的度数，利用弧长公式解题即可.
17．【答案】解：原式
【知识点】平方差公式及应用；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解。
18．【答案】解：
＝
当，时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据整式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
19．【答案】解：过点作于点，过点作延长线于点，
，
，
四边形为矩形，
，，
在直角中，，，
，
在直角中，，，
，
（千米）．
答：海岛两端的距离约为千米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作于点，过点作延长线于点，根据平行线的性质得到，进而根据矩形的判定与性质得到，， 在中解直角三角形求出CE，在中解直角三角形求得DF，再根据即可求解。
20．【答案】（1）解：由图形知，
则，
补全图形如下：
（2）解：(人)，
答：估计每天完成书面作业的时间不足1.5小时的学生约有820人；
（3）解：将七、八、九年级的学生分别记作七1、八1、九1、九2，画树形图如图所示：
共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，
∴抽取的两名学生都来自九年级的概率为．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据条形统计图得到a，进而根据总人数减去其他人数即可求出b，从而补全统计图即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识结合题意计算即可求解；
（3）将七、八、九年级的学生分别记作七1、八1、九1、九2，进而根据题意画出树状图，从而即可得到共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，再根据等可能事件的概率即可求解。
21．【答案】（1）解：由题意可得，，
，，
∵，即，
∴是直角三角形．
（2）解：过点A作，过点C作，直线和的交点就是D的位置，格点D的位置如图，
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB、AC、BC，进而根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）过点A作，过点C作，直线和的交点就是D的位置，进而即可求解。
22．【答案】（1）解：设A型报警器单价为x元，B型报警器单价为y元，
由题意可得：，解得．
答：A型报警器单价为60元，B型报警器单价为100元；
（2）解：设需要购买A型报警器a个，
由题意可得：．
解得．
答：至少需购买A型报警器125个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型报警器单价为x元，B型报警器单价为y元，进而根据“购买3个A型报警器和4个B型报警器共需要580元，购买6个A型报警器和5个B型报警器共需要860元”即可列出方程组，从而即可求解；
（2）设需要购买A型报警器a个，进而根据“购买A，B两种型号的报警器共200个，总费用不超过15000元”列出不等式，从而即可求出a的取值范围。
23．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，点是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴即，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先得到是正方形，即可得到，，再推导出，可得，即可解题；
（2）延长交的延长线于点，根据，可得，即可得到，进而求出，然后得到，同理可得，再根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
24．【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵的平分线交于，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（2），
证明如下：延长到，使，连接，
∵，，
∴，
在△ADF和△BDC中，
，
∴，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴
（3）连接，，
∵，
∴，
∵点为的内心，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）：
设弧所在圆的圆心为，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
∴点的路径长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得到，从而根据角平分线的定义得到，再根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）延长到，使，连接，先根据等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）连接，，根据三角形的外心结合题意即可得到，进而证明得到，故在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况），进而结合题意根据圆周角定定理，弧长的计算公式求出的长，从而即可求解。
25．【答案】（1）(ⅰ)解：①设直线的解析式为，则
，解得：，
∴直线解析式为，
将代入得，，解得：，
∴
以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②由图知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设经过，，三点的抛物线为，则：
，
解得：，
∴解析式．
(ⅱ)解：原抛物线，
点，所以新抛物线的解析式顶点纵坐标为：
，
故翻折后的抛物线解析式为：，
如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意，则，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧），
如图，当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，
点P落在x轴上时，（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧）；
当点P落在x轴在下方时，折叠函数与x轴无交点．
∴当折叠函数与x轴至少有三个交点时，或．
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；尺规作图-作一个角等于已知角；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
如图，设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入得，，即折后的图象解析式为，
时，，解得，
∴交点坐标为．
故答案为：
【分析】（1）(ⅰ)①根据待定系数法求出直线AB的函数解析式，进而将点C代入即可求出m，以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②先根据画图得到，，进而根据等腰直角三角形得到AD，根据坐标系中两点间的距离公式求出AC即可得到AD，从而即可得到点D的坐标，运用待定系数法设经过，，三点的抛物线为，从而代入点即可求出二次函数的解析式；
(ⅱ)先求出原抛物线的顶点式， 点设， 可得折叠后新抛物线的解析式顶点纵坐标为：，故翻折后的抛物线解析式为：，进而分类讨论：点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意；当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，从而结合题意即可求解；
（2）先运用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入即可求出折后的图象解析式为，令y=0即可求出其交点坐标。
1 / 1湖南省长沙市初中学业水平考试2024年数学押题密卷（四）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·长沙会考）某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约的水记为，那么浪费的水记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵节约的水记为，
∴浪费的水记为，
故答案为：A
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2．（2024·长沙会考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意得该几何体为三棱柱，
故答案为：A
【分析】根据三视图还原几何体即可得到该几何体为三棱柱，进而即可求解。
3．（2024·长沙会考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，不能合并，A错误，不符合题意；
B、，B错误，不符合题意；
C、，C错误，不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法和除法法则，平方差公式结合题意对选项逐一计算即可求解。
4．（2024·长沙会考）冠豸中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，八（10）班一名同学连续一周体温情况如下表所示：，，，，，，
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意得36.2出现了3次，出现的次数最多，故众数为36.2，
将数据从小到大排列：36.2，36.2，36.2，36.3，36.3，36.4，36.5，
∴中位数为第四位数36.3，
故答案为：B
【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数，进而将数据从小到大排列，找出位于中间的数即可求解。
5．（2024·长沙会考）直线，一个含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A=30°，∠ABD=25°，
∴∠BDC=55°，
∵a∥b，
∴∠1=∠BDC=55°，
故答案为：C
【分析】先根据三角形外角的性质得到∠BDC=55°，进而根据平行线的性质即可求解。
6．（2024·长沙会考）如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，分别交于点M，N，连接，若，则的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．15
【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴的面积．
故答案为：B
【分析】先根据作图-垂直平分线结合垂直平分线的性质得到，，，进而即可得到，再结合题意根据等腰三角形的性质得到，从而得到，根据勾股定理求出MN，从而根据三角形的面积求解即可。
7．（2024·长沙会考）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意得将直线沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式为，
故答案为：A
【分析】根据一次函数的几何变换结合题意平移一次函数的图象即可求解。
8．（2024·长沙会考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．40 D．24
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，
∴；
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴菱形的周长．
故答案为：B
【分析】先证明是菱形，再根据菱形的性质得到，，进而根据三角形中位线定理结合题意得到，，从而根据勾股定理求出AD，进而即可得到周长
9．（2024·长沙会考）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接交于，交于，延长交于点，如图所示：
∵，，均是边长为的等边三角形．
∴，，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点为后轮上的一点，
∴当与重合时取最小值，当与重合时取最大值，
∵在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，圆（后轮）的半径均为，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】连接交于，交于，延长交于点，先根据等边三角形的性质得到，，进而根据菱形的判定与性质得到，，，从而根据勾股定理得到，进而得到BD，再结合题意即可得到当与重合时取最小值，当与重合时取最大值，在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，圆（后轮）的半径均为，从而得到，，再相乘即可求解。
10．（2024·长沙会考）A，B，C，D，E五人参加“五羊杯”初中数学竞赛得分都超过91分，其中E排第三，得96分．又已知A，B，C平均95分，B，C，D平均94分，若A排第一，则D得（ ）分．
A．98 B．97 C．93 D．92
【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：设A，B，C，D，E分别得a，b，c，d，e分，则a，b，c，d，e都是在92与100之间的正整数，其中a最大，排第三，且．
两式相减得．
若b排在第二，则，矛盾．
若c排第二，则，矛盾．
若d排第二，则，故只可能．
故答案为：B
【分析】设A，B，C，D，E分别得a，b，c，d，e分，则a，b，c，d，e都是在92与100之间的正整数，其中a最大，排第三，且．进而得到a-d，再根据题意分b排在第二，c排第二，d排第二三种情况讨论即可求解。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024·长沙会考）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
故答案为：
【分析】根据二次根式的的被开方数非负，即可得实数x的取值范围．
12．（2024·长沙会考）华为是全球领先的信息与通信技术（ICT）解决方案供应商，华为Р系列手机搭载华为麒麟9010芯片，该芯片采用5纳米制造工艺.5纳米是厘米的长度单位，将数据0.0000005用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得将数据0.0000005用科学记数法表示为。
故答案为：
【分析】大于0小于1的数用科学记数法表示为a×10-n，其中1≤a＜10，n为原数字从左往右数第一个不为0的数字前面的0的个数.
13．（2024·长沙会考）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先提出公因式a，然后利用完全平方公式法进行第二次分解可得答案.
14．（2024·长沙会考）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻值为，三者关系为：．若已知，，则 ．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
即，
∴ ；
故答案为： .
【分析】用含有R、R2的式子表示出R1即可.
15．（2024·长沙会考）验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度
【答案】200
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系式为，
则由函数图象可得：，即：，
∴，
当时，，
当时，，
∴400-200=200，即度数减少了200度．
故答案为：200.
【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求得反比例函数解析式并将矫正治疗后所配镜片焦距调整为0.5m代入反比例函数求出矫正后的度数是解题的关键．先求出近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系式，再根据矫正治疗后所配镜片焦距调整为米，可求出现在小宇佩戴的眼镜度数，两次比较即可求解．
16．（2024·长沙会考）江南水乡杭州有很多小河和石拱桥，石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知曲院风荷的一座石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径 米，弧的长度为 米．
【答案】；
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
由题意得，点C为弧的中点，
∴，
∵，
∴三点共线，
∴米
设米，则米，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴米，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴弧的长度为米，
故答案为：；。
【分析】连接，根据垂径定理可得，则米，设米根据勾股定理可得，解方程求出米，然后求出圆心角的度数，利用弧长公式解题即可.
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．（2024·长沙会考）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】平方差公式及应用；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解。
18．（2024·长沙会考）先化简，再求值：．其中，．
【答案】解：
＝
当，时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据整式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
19．（2024·长沙会考）随着测量技术的发展，测量飞机可以实现精确的空中测量．如图，为测量我国某海岛两端A、B的距离，我国一架测量飞机在距海平面垂直高度为2千米的点C处，测得端点A的俯角为，然后沿着平行于的方向飞行千米到点D，求某海岛两端A、B的距离．（结果精确到千米，参考数据：，，，）
【答案】解：过点作于点，过点作延长线于点，
，
，
四边形为矩形，
，，
在直角中，，，
，
在直角中，，，
，
（千米）．
答：海岛两端的距离约为千米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作于点，过点作延长线于点，根据平行线的性质得到，进而根据矩形的判定与性质得到，， 在中解直角三角形求出CE，在中解直角三角形求得DF，再根据即可求解。
20．（2024·长沙会考）为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图、表：
分组 时间x（时） 人数
A 5
B 16
C a
D b
E 4
（1）分别写出a、b的值并补全条形统计图；
（2）若该校有学生1000人，估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有多少人
（3）学校需要深入了解影响作业时间的因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少
【答案】（1）解：由图形知，
则，
补全图形如下：
（2）解：(人)，
答：估计每天完成书面作业的时间不足1.5小时的学生约有820人；
（3）解：将七、八、九年级的学生分别记作七1、八1、九1、九2，画树形图如图所示：
共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，
∴抽取的两名学生都来自九年级的概率为．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据条形统计图得到a，进而根据总人数减去其他人数即可求出b，从而补全统计图即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识结合题意计算即可求解；
（3）将七、八、九年级的学生分别记作七1、八1、九1、九2，进而根据题意画出树状图，从而即可得到共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，再根据等可能事件的概率即可求解。
21．（2024·长沙会考）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）通过计算判断的形状；
（2）在图中确定一个格点D，连接，使四边形为平行四边形．
【答案】（1）解：由题意可得，，
，，
∵，即，
∴是直角三角形．
（2）解：过点A作，过点C作，直线和的交点就是D的位置，格点D的位置如图，
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB、AC、BC，进而根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）过点A作，过点C作，直线和的交点就是D的位置，进而即可求解。
22．（2024·长沙会考）充电安全报警器，防患未“燃”保平安．某社区决定采购A，B两种型号的充电安全报警器．若购买3个A型报警器和4个B型报警器共需要580元，购买6个A型报警器和5个B型报警器共需要860元．
（1）求两种型号报警器的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的报警器共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型报警器多少个？
【答案】（1）解：设A型报警器单价为x元，B型报警器单价为y元，
由题意可得：，解得．
答：A型报警器单价为60元，B型报警器单价为100元；
（2）解：设需要购买A型报警器a个，
由题意可得：．
解得．
答：至少需购买A型报警器125个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型报警器单价为x元，B型报警器单价为y元，进而根据“购买3个A型报警器和4个B型报警器共需要580元，购买6个A型报警器和5个B型报警器共需要860元”即可列出方程组，从而即可求解；
（2）设需要购买A型报警器a个，进而根据“购买A，B两种型号的报警器共200个，总费用不超过15000元”列出不等式，从而即可求出a的取值范围。
23．（2024·长沙会考）在矩形中，点是的中点，连接．是线段上一点，的延长线交于点．
（1）如图，若，且．
求证：点是的中点；
（2）如图，若，当时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，点是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴即，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先得到是正方形，即可得到，，再推导出，可得，即可解题；
（2）延长交的延长线于点，根据，可得，即可得到，进而求出，然后得到，同理可得，再根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
24．（2024·长沙会考）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长．
【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵的平分线交于，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（2），
证明如下：延长到，使，连接，
∵，，
∴，
在△ADF和△BDC中，
，
∴，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴
（3）连接，，
∵，
∴，
∵点为的内心，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）：
设弧所在圆的圆心为，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
∴点的路径长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得到，从而根据角平分线的定义得到，再根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）延长到，使，连接，先根据等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）连接，，根据三角形的外心结合题意即可得到，进而证明得到，故在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况），进而结合题意根据圆周角定定理，弧长的计算公式求出的长，从而即可求解。
25．（2024·长沙会考）定义：经过函数图象上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图象，我们把满足这种情况的函数图象称为经过这一点的“折叠函数”．
（1）【基本应用】
(ⅰ)如图，点、、均在直线l上．
①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
(ⅱ)在（ⅰ）的条件下，点为二次函数图象上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．
（2）【创新应用】如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为 ．
【答案】（1）(ⅰ)解：①设直线的解析式为，则
，解得：，
∴直线解析式为，
将代入得，，解得：，
∴
以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②由图知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设经过，，三点的抛物线为，则：
，
解得：，
∴解析式．
(ⅱ)解：原抛物线，
点，所以新抛物线的解析式顶点纵坐标为：
，
故翻折后的抛物线解析式为：，
如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意，则，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧），
如图，当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，
点P落在x轴上时，（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧）；
当点P落在x轴在下方时，折叠函数与x轴无交点．
∴当折叠函数与x轴至少有三个交点时，或．
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；尺规作图-作一个角等于已知角；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
如图，设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入得，，即折后的图象解析式为，
时，，解得，
∴交点坐标为．
故答案为：
【分析】（1）(ⅰ)①根据待定系数法求出直线AB的函数解析式，进而将点C代入即可求出m，以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②先根据画图得到，，进而根据等腰直角三角形得到AD，根据坐标系中两点间的距离公式求出AC即可得到AD，从而即可得到点D的坐标，运用待定系数法设经过，，三点的抛物线为，从而代入点即可求出二次函数的解析式；
(ⅱ)先求出原抛物线的顶点式， 点设， 可得折叠后新抛物线的解析式顶点纵坐标为：，故翻折后的抛物线解析式为：，进而分类讨论：点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意；当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，从而结合题意即可求解；
（2）先运用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入即可求出折后的图象解析式为，令y=0即可求出其交点坐标。
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