2024-2025学年安徽省宣城市高二上学期期末调研测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省宣城市高二上学期期末调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，已知空间向量，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.在平行六面体中，若，，，则的长度为( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱台的体积为，，，则直线与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
6.已知数列是递增数列，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”设椭圆的右焦点为，左顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左焦点为，过点的直线垂直于双曲线的一条渐近线，并分别交两条渐近线于，两点其中点为垂足，且点，分别在第二、第三象限内若，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则( )
A.
B. 三棱锥的体积为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
10.已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是( )
A. 切线长的最小值为
B. 四边形面积的最小值为
C. 当最小时，弦所在的直线方程为
D. 弦所在直线必过定点
11.抛物线的焦点为，顶点为，过点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，点在轴上方，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，准线与轴交于点，则下列说法正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 三角形面积的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过坐标原点作倾斜角为的直线，则直线被圆所截得的弦长为 ．
13.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 ．
14.已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是各项均为正数的等比数列，且，是和的等差中项．
求数列的通项公式
若数列满足，求数列的前项和．
16.本小题分
若平面内动点到两定点，距离的比值为常数且，则动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆已知两定点，的坐标分别为，，动点满足．
求动点的阿波罗尼斯圆方程
过点作该圆的切线，求切线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，．
证明：平面
若，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，且．
求椭圆的标准方程
直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，若，分别是线段和的中点，求面积的最大值．
19.本小题分
设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”．
已知数列是“紧密数列”，前项依次为，，，，求的取值范围
若数列的前项和，判断是否是“紧密数列”，并说明理由
设数列是公比为的等比数列若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：设数列的公比为，，
因为是和的等差中项，
所以，即，解得，
所以．
由知，则，
所以，
所以，
故的前项和．
16.解：设动点坐标为，则，，
由条件，得，
化简得．
当直线的斜率不存在时，此时的方程为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：．
由与圆相切，得，解得，
此时的方程为．
综上，的方程为或．
17.证明：如图，连接，
在中，由可得．
因为，且是中点，
所以，，
因为，，，所以，所以．
又因为，平面，，所以平面．
由及可知，，，两两垂直，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由，，则．
设平面的法向量，
由，，
有
取，则，，
可得平面的一个法向量
设平面的法向量，
由，，
有
取，则，，
可得平面的个法向量
所以平面与平面所成夹角的余弦值为
．
18.解：由题意，因为，，
所以．
又，，
所以，，．
所以椭圆的标准方程为．
由题意知，，直线的斜率存在．
设直线的方程为，，，
则直线的方程可设为，，
联立
消去得，
所以，
所以，．
所以
同理联立，可得
则的中点，．
所以
，
当且仅当，即时取等号．
所以面积的最大值为．

19.解：若数列为“紧密”数列，
则，且，
解得：，即的取值范围为
数列 为“紧密”数列；理由如下：
数列 的前项和 ，
当 时， ；
当 时， ，
又 ，即 满足 ，
因此 ，
所以对任意 ， ，
所以 ，
因此数列 为“紧密”数列；
因为数列 是公比为 的等比数列，前 项和为 ，
当 时，有 ， ，
所以 ， ，满足题意；
当 时， ， ，
因为 为“紧密”数列，
所以 ，
即 或 ，
当 时，
，
，
所以 ，满足 为“紧密”数列；
当 时， ，不满足 为“紧密”数列；
综上，实数 的取值范围是 ．

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