2024-2025学年河北省保定市高中高一上学期1月期末调研考试数学试卷（B）（含答案）

2024-2025学年河北省保定市高中高一上学期1月期末调研考试
数学试卷（B）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.下列函数为奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.设，，，则它们的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知若恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，不正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，，那么
C. 如果，，那么
D. 如果，，，那么
10.设函数，，已知图象过点，且在区间上单调递减，则下面结论正确的是( )
A. B. 最大值为
C. D. 在内有两个零点
11.设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知函数，且，，，，，，求函数的一个解析式 ．
14.已知奇函数，在上单调，若对任意都有，则解的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求和
若集合，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
设，函数的最小正周期为，且．
求和的值
在给定坐标系中作出函数在上的图象
若，求的取值范围．
17.本小题分
某知名电动汽车公司科研部门有甲乙两个电池研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益单位：千万元与研发投入资金单位：千万元的关系为，，项目乙研发期望收益单位：千万元与研发投入资金单位：千万元的关系为，，且，．
求实数，，的值
已知科研部门计划将千万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大并求出最大期望利润．
18.本小题分
已知函数对于任意实数，恒有，且当时，，又．
判断的奇偶性并证明
求在区间的最大值
解关于的不等式：．
19.本小题分
已知函数．
，不等式恒成立，求实数的取值范围
已知函数的定义域为，若对于任意，，，，，能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”若函数是区间上的“三角形函数”，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
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8.
9.
10.
11.
12.

13.

14.个
15.解：
由不等式，解得，所以
又由，解得，可得，
所以，
，则
由集合，且，可得，
当，即即时，满足
当，即时，由，解得，所以实数的取值范围为
综上：

16.解：函数的最小正周期，
，且，
由知，列表如下
在上的图象如图所示：
，即，
，
则，
即
的取值范围是
17.解：由，，
可得
故，，
设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，
则，，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以项目甲投入万元，项目乙投资万元时，科研部门获得最大利润万元．
18.解：为奇函数，理由如下：函数的定义域为，关于原点对称
令得：，解得：
令得：
所以对任意恒成立，
所以为奇函数
任取，，且则
因为当时，所以，即
由第一问知，为奇函数所以，则，即所以在上单调递增，
所以在区间的最大值为因为，为奇函数所以令得：
因为
所以
所以
所以
由可知，在上单调递增，所以
整理得：，即
当时，无解，解集为
当时，解集为
当时，解集为
19.解：因为，所以不等式可得，即
因为，不等式恒成立，只需
令，因为，所以，
因为函数在单调递增，所以当，
故，所以实数的取值范围为
根据条件，如果函数为集合上的“三角形函数”只需满足
因为，任取
则
当时，，，故，
即，所以在上单调递减
当时，，，故，
即，所以在上单调递增
综上：在上单调递减，在上单调递增
所以对于，
当时，在上单调递增，故，，
则，解得舍去
当，在上单调递减在上单调递增，
故，，
当时，，解得，，此时，则，
整理得，解得，即，
当时，，解得，此时，则，
整理得，解得，所以
当，在上单调递减，故，，则解得舍去
综上：，所以存在正数满足题意，且的取值范围为
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