2024-2025学年河北省保定市高二上学期期末调研考试数学试卷（A）（含答案）

2024-2025学年河北省保定市高二上学期期末调研考试数学试卷（A）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线与直线的距离( )
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
3.在与中间插入个数使这个数成等差数列，则该数列的第项是( )
A. B. C. D.
4.过三点，，的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
5.等比数列的前项和为，，则数列的公比( )
A. B. C. D.
6.在平行六面体中，与交于点，设，，，则( )
A. B.
C. D.
7.抛物线与圆交于、两点，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为椭圆的左，右焦点，点为直线与椭圆的一个公共点，满足，且，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列数列中，一定是单调递增数列的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，点在底面四边形内包括边界移动，且，则( )
A.
B. 点到平面的距离为
C. 点的轨迹长度为
D. 为线段上的点，则的最小值为为
11.当半径为的动圆沿着半径为的定圆的内侧沿圆周无滑动地滚动时，动圆圆周上的一定点的轨迹为星形线如图所示现有一个星形线，下列说法正确的是( )
A. 点在曲线的外部
B. 曲线所围成的封闭区域的面积小于
C. 曲线上的点到原点的距离最小值为
D. 直线与曲线有三个交点
三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
12.抛物线上与焦点的距离等于的点的纵坐标为 ．
设是数列的前项和，且，则 ．
在棱长为的正方体中，为平面内一动点，与所成的角为，则动点所在曲线的焦距为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
已知曲线的方程为
若曲线表示圆，求的取值范围
当时，直线与曲线交于，两点，求．
14.本小题分
在四棱锥中，底面为矩形，平面点，分别在，上，且，，，分别为，的中点．
求证：平面
当，，，求平面与平面的夹角．
15.本小题分
已知数列满足，且数列的前和为，．
证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式
求数列的前项和
16.本小题分
古希腊数学家阿基米德得到：椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，，其面积为．
求椭圆的方程
，分别是椭圆的左，右顶点，，分别是椭圆的上，下顶点，设为第二象限内椭圆上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，判断直线的斜率是否为定值，若是求出这个值若不是，说明理由．
17.本小题分
从点引出三个不共面的向量，，，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架构成右手标架，如图所示规定：为一个向量，它的长度为，，它的方向与向量，均垂直，且使构成右手标架该运算满足：．，，为单位正交基底，且符合右手标架，以，，的正方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，若，则记．
证明：
已知向量，，求的坐标表示
三棱锥中，，，求三棱锥的体积
请结合“”与“数量积”的几何意义，用，，表示平行六面体的体积．
参考答案
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13.解：若曲线表示圆，则，
解得或．
当时方程为表示的圆心半径为的圆，
圆心到直线的距离，
因此．
14.解：平面，平面，
，
底面为矩形，，
，、平面，
平面，
平面，
，
又因为，，、平面，
平面，
平面，
，
同理，，
，、平面，
平面；
解：以为坐标原点，，，分别为，，轴，
其中，，，，，
由知平面的法向量为，，，
设平面的法向量，
，即，解得，，
，，
因此平面与平面的夹角的为．

15.解：由已知得，
，
因此数列为等比数列．
数列为首项为，公比为的等比数列，
即；
，
的前和为，
，
．
16.解：设椭圆，
由题意知，，
解得，，
所以的方程为；
，，，，
设则即，
直线得，
直线与直线，
联立得，
，
因为即代入上式
得
．
17.解：证明：若与共线时，
若与不共线时，，，，
即与的模相等
根据定义知与同时垂直于，，因此与共线
由于按顺序，，与，，分别构成右手标架与，
所以与方向相反，因此
， ，
，
由定义知，，，，，
代入上式得，
因此的坐标表示为；
的几何意义为以，为邻边的平行四边形的面积，
，
在方向上的投影向量的长度为，
则
的几何意义得平行六面体底面的面积为，
点到底面的距离为在底面的法向量的投影向量的长度，
因此
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