2024-2025学年湖南省湘潭市高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省湘潭市高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.函数的定义域是
A. B.
C. D. ，
3.下列函数是偶函数的是
A. B. C. D.
4.已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为
A. B. C. D.
5.“”是“关于的不等式有解”的
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件
6.已知，，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
7.如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是
A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米
8.已知，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角的终边经过点，则
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则
A.
B.
C.
D. 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
11.已知函数则下列结论正确的是
A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为
C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值为________．
13.已知函数则________．
14.如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的地有一金属矿，地到该铁路的距离现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为________时，总运费最低．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：为正数．
若，且，求的值．
16.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
求在上的值域；
若函数在上的零点个数为，求的取值范围．
18.本小题分
已知是偶函数，，且在上单调递增．
比较与的大小；
求不等式的解集；
若函数，且，且不等式在上恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数的定义域为，若，且，，则称是凹函数；若，且，，则称是凸函数．
已知函数．
求的解析式；
判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数、凸函数的定义证明你的结论．
讨论函数在定义域上的凹凸性．
参考答案
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15.解：原式．
由题意得．
由，得，则，即
故．
16.解：由
，得，
所以．
．
17.解：
由，得
所以的单调递增区间为．
令，由，得，则
由正弦函数的图象可知在上单调递增，在上单调递减，
则，
因为，所以．
故在上的值域为
令，得，即，
则在上的零点个数即的图象与直线在上的公共点个数．
由可知，所以，即的取值范围为
18.解：因为是偶函数，所以．
又在上单调递增，所以在上单调递减，
则，即；
由，得，得，解得或，
即不等式的解集为
当时，在上单调递减，由的图象可知，不等式不恒成立．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使不等式在上恒成立，
则，得，得，即，
综上，的取值范围为
19.解：由题意得，所以
是凹函数．
证明如下：由题意得的定义域为设，且，
则
，
所以，即故是凹函数．
由题意得的定义域为设，，且，
则
．
由，，，得，，，
得．
当时，，
即，所以在上是凸函数．
当时，，
即，所以在上是凹函数．
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