2024-2025学年四川省绵阳市高一上学期1月期末教学质量测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省绵阳市高一上学期1月期末教学质量测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.设：有意义，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列函数，满足“对任意，，且，都有”的是( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.设函数则( )
A. B. C. D.
7.将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为参考数据：( )
A. B. C. D.
8.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D.
10.若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则( )
A. B. 函数图象关于直线对称
C. 函数图象关于点中心对称 D. 当时，
11.已知函数为自然对数的底数，则( )
A. 函数的定义域为 B. 函数是增函数
C. 函数是奇函数 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.一个扇形的圆心角是弧度，弧长为，则扇形的面积是______．
14.已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点．
求，，；
求的值．
16.本小题分
已知关于的不等式的解集为．
求，的值；
若函数，当，时，求函数的最小值用表示．
17.本小题分
某工厂生产，两种产品，产品的利润单位：万元与投入金额单位：万元的关系式为；产品的利润单位：万元与投入金额单位：万元的关系式为已知投入万元生产产品可获利润为万元，投入万元生产产品可获利润为万元．
求实数，的值；
该企业现有万元资金全部投入，两种产品中，探究：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
18.本小题分
函数的最小正周期为，且．
求函数的解析式；
求函数在上的单调递减区间；
若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，，，求实数的取值范围及的值．
19.本小题分
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数，已知函数和具有如下性质：定义域都为，且是增函数；是奇函数，是偶函数；常数是自然对数的底数，．
求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
求证：；
函数在区间上的值域是，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.且
13.
14.
15.解：因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，
所以，，；
．
16.解：因为不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
所以，解得．
由知，是开口向上，对称轴为的二次函数，
当时，在上单调递减，所以；
当，即时，在上单调递增，所以；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，
综上所述，．
17.解：由题意可得：，，
即，；
设生产线投入万元，则生产线投入万元，企业获得利润为，
由可得，，
所以，
整理可得，
变形得，，
则，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以投入万元生产产品，投入万元生产产品时，企业获得最大利润，且最大利润为万元．
18.解：的最小正周期为，所以，解得，
由
，且，
得，所以，解得，所以；
由正弦函数的单调性，令，
解得，；
时，，时，；
所以在上的单调递减区间为和；
由，得或，
因为，所以，
由正弦函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增；
且，，所以函数的一个零点为，
要使函数有三个不同的零点，所以有两个零点，且与不同，所以，
由的对称性知，时，，
所以，，
所以．
19.解：函数为上的奇函数，为上的偶函数，且，
，
即
解得，，
函数，均为上的增函数，
函数为上的增函数，合乎题意．
证明：
，
．
，，
，
又，则，．
由知，函数为上的单调增函数．
函数在区间上的值域是，
即
关于的方程有两个互异实根．
令，方程有两个互异正根，
解得，
即的取值范围是．
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