2024-2025学年重庆八中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆八中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知是第二象限角且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知扇形的周长为，则该扇形的面积最大值为( )
A. B. C. D.
5.函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项各函数值符号为正的是( )
A. B. C. D.
10.已知，且满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，且，，若，则( )
A. 是周期为的周期函数
B. 是奇函数
C. 的图像关于点对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的最小正周期为，则常数 ______．
13.已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为______．
14.已知，函数，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
求，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数，且，，．
求的最小正周期和单调递增区间；
若函数是奇函数，求的值；
若，当时函数取得最大值，求的值．
17.本小题分
环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速经多次测试得到，该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的下列数据：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，，．
当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量单位：与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
18.本小题分
已知函数满足对一切实数，都有成立，且，当时有．
求，；
判断并证明在上的单调性；
解不等式．
19.本小题分
对于函数，，如果，，是一个三角形的三边长，那么，，也是一个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”．
对于函数，，如果，，是任意的非负实数，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”．
判断三个函数“，，定义域均为”中，哪些是“保三角形函数”？并说明理由；
若函数，定义域均为，是“恒三角形函数”，试求实数的取值范围；
如果函数是定义在上的周期函数，且值域也为，试判断：是“恒三角形函数”，还是“保三角形函数”，或者既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”，并说明理由．
参考答案
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15.解：集合，
或，所以；
由，所以；
因为，，所以，
当，即时，，满足；
当时，令，解得，
综上，实数的取值范围是或
16.解：，
则其最小正周期，
令，，
解得、，
则其单调递增区间为，．
，
若函数是奇函数，则，，即，，
因为，所以时，．
由题知，则，，从而，，
因此．
因为，且，所以，
所以，
所以．
17.解：对于，当时，它无意义，所以不合题意；
对于，显然该函数是个减函数，这与矛盾；
故选择；
根据提供的数据，有，解得，
所以当时，；
国道路段长为，所用时间为，
所耗电量为：，
因为，当时，；
高速路段长为，所用时间为，
所耗电量为，
当且仅当，即时等号成立，所以；
故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，
该车从地到地的总耗电量最少，最少为．
18.解：由题意，对一切实数，，都有成立，
令，可得，即，
令，可得，故，；
函数为上的减函数，证明如下：
设，则，又，，
所以，可得，
所以当时，，
任取，且，则，，
，即，
因此函数在上为单调递减函数；
令，可得，所以，
因为，
设，由，得．
，得，
所以，
因为，，所以有，
因为函数在上为单调递减函数，则，
解得，
因此，原不等式的解集为．
19.解：对于，它在上是单调递增函数，
不妨设，则，
因为，
所以，
故是“保三角形函数”；
对于，它在上是单调递增函数，
不妨设，则，
因为，
所以，
故是“保三角形函数”；
对于，
取，，，
显然，，是一个三角形的三边长，
但因为，
所以，，不是三角形的三边长，
故不是“保三角形函数”；
，
易知在单调递增，，
令，
则，，
当时，；
当时，，
当时，恒成立，符合题意；
当时，
故，
只需，
当时，
故，
只需，
综上所述，所求的取值范围是：；
既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”，理由如下：
因为的值域为，
所以存在正实数，，使得，，，
显然这样的，，不是一个三角形的三边长，
故不是“恒三角形函数”．
因为是值域为的周期函数，
所以存在，使得，，
设的最小正周期为，
令，，其中且，
则，
又显然，，
所以，，是一个三角形的三边长，
但因为，，
所以，，不是一个三角形的三边长，
故也不是“保三角形函数”．
所以既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．
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