2024-2025学年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省益阳市高一（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.若关于的一元二次不等式的解集为，则( )
A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 无最小值
8.已知函数的部分图象如下图所示，则它的解析式可以是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 为的零点
10.下列式子化简后等于的是( )
A. B.
C. D.
11.设函数，则下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则的值域为 D. 若的最小值为，则
12.平列说法正确的是( )
A. 和表示同一个函数
B. 定义在上的函数满足，则，
C. 若是定义在上的奇函数，当时，，则有个零点
D. 若是定义在上的偶函数，且，则是以为周期的周期函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的最小正周期是______．
14.已知函数，且，则 ______．
15.若，则 ______．
16.如果对于非空集合中的任意两个不同元素，，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，．
求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
求的定义域；
若，求的值；
，成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，求函数的最小值；
若，，证明：．
20.本小题分
如图，弹簧挂着的小球做上下运动若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动它在时相对于平衡位置点的高度在点下方时，单位：由关系式确定．
点在开始运动即时的位置在哪里？每秒钟点能往复运动多少次？
在下图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第次照到，求的值．
21.本小题分
已知函数
求的最大值；
若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求的单调递增区间；
当时，，求的值．
22.本小题分
已知函数．
若是偶函数，求的值；
当时，证明：；
若，记，，函数恰有个零点，求实数的取值范围．
参考答案
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17.解：因为集合，，
所以；
，，
若，则，解得，
故的范围为．
18.解：由，得，则函数的定义域为；
由，得，即；
，成立，即成立，
可知，，而函数在上单调递增，
则，则，即实数的取值范围是．
19.解：因为，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为；
证明：若，，则，
所以，
即．
20.解：，此时点的坐标为，
即点位于平衡位置上方处，
，
每秒钟点往复运动次．
取值列表如下：
图象如下，
当点被光束恰好第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标．
由得或，
将根从小到大排列得：，，，，
．
21.解：可化为，
．
由平移变换知，又，
，即，
又，，
，由得，
的单调递增区间为；
当时，，此时，
由及知，得
由知，
，或，
解得或，经检验，或符合题意．
22.解：因为，是偶函数，
所以，，
即，
，
所以；
证明：因为，
所以，当且仅当时等号成立，所以原结论成立；
因为，
所以在上单调递增．
恰有三个零点等价于方程恰有三个根，
结合的单调性可知，
原函数有三个零点等价于方程恰有三个根，
当时，，
即是方程的一个根．
记，
原问题等价于函数恰有两个零点，
．
当时，不符合题意；
当时，恒成立；
对于，当时，恒成立，
此时无零点，
当时，单调递减且图象过点，
此时恰有一个零点，
所以时，恰有一个零点，不合题意；
当时，
当，函数，
，若时，则，
函数零点为；
若时，则，对称轴为，
且的图象过定点，，
所以恰有两个零点；
若时，则，
此时函数没有零点；
(ⅱ)当时，函数的图象过定点，
对称轴，
若时，则函数图象开口向上，此时函数恰有一个零点，若时，则函数图象开口向下，对称轴，
此时函数没有零点；
若时，此时函数没有零点；
当时，
函数的图象过定点，
若时，则函数图象开口向上，对称轴，
此时函数没有零点；
若时，则函数图象开口向下，此时函数恰有一个零点；
若时，此时函数没有零点；
综上所述，当时，恰有三个零点．
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