2024-2025学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省常州区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.若角满足，，则角是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3.设集合，集合，则与的关系为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若，则有( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则( )
A. B. C. D.
8.函数的最小值为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，若，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 函数定义域为 B. 函数是偶函数
C. 函数是周期函数 D. 函数在区间上单调递减
11.已知函数，其中为实数，下列说法正确的是( )
A.
B. 函数在上单调递增
C. 函数一定存在最小值
D. 存在，使得函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则的一个取值为______．
13.已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为______．
14.已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为．
求的值；
若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值．
16.本小题分
已知函数
设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
当时，函数其中的最小值为，求实数的值．
17.本小题分
已知函数的图象如图所示．
求函数的对称中心；
先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知且，函数满足，设．
求函数在区间上的值域；
若函数和在区间上的单调性相同，求实数的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足，其中表示正整数的点称为函数的“正格点”．
写出当时，函数，图象上的正格点坐标；
若函数，，与函数的图象有正格点交点，求的值．
对于中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一．
13.
14.
15.解：在单位圆上，且点在第二象限，的横坐标为，可求得纵坐标为，
所以，则；
由题知，则，
，
则，
故．
16.解：因为是定义域在上的奇函数，
所以，
又因为当时，，
所以当时，，
所以，
即，
所以，
综上所述：；
由可得，，
所以，
设，则，
则有，，，
当时，，不满足，
当时，由二次函数的性质可知，
解得．
17.解：由图可知，
，，
，
又，
，．
，
令，，
则，，
的对称中心为，；
根据题意易得，
当时，．
对任意的恒成立，
，
可得．
18.解：因为当时，，，
因为，
所以，解得，
当时，，，
因为，
所以，无解，
所以的值为，
所以，
所以，
令，
所以，
当时，；当时，，
所以函数在区间上的值域为；
由题意，函数在上单调递减，函数在上单调递增，
由题可知，函数与在区间上同增或同减，
若两函数在区间上均单调递增，
则在区间上恒成立，即，
解得，
若两函数在区间上均单调递减，
则在区间上恒成立，即，
该不等式组无解，
综上，实数的取值范围是．
19.解：因为，所以，，
所以函数的正格点为，，；
根据题设，可得两个函数大致图象如下，
函数与函数的图象只有一个“正格点”交点．
所以，
则，，则，
又，
可得，；
由知，
则
所以
故；
当时，在上单调递增，
所以不等式不能恒成立；
当时，在上单调递减，
当时，函数取最小值，
如下图知，
由，解得，
综上，实数的取值范围为．
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