2024-2025学年河北省保定市定州二中等校高一（上）期末数学试卷（A卷）（含答案）

2024-2025学年河北省保定市定州二中等校高一（上）期末
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.下列函数为奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.设，，则它们的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知若恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，不正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，，那么
C. 如果，，那么
D. 如果，，，那么
10.设函数，已知图象过点，且在区间上单调递减，则下面结论正确的是( )
A. B. 最大值为
C. D. 在内有两个零点
11.设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知函数，且，则函数的一个解析式______．
14.已知奇函数，在上单调，若对任意都有，则解的个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求和；
若集合，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
设，函数的最小正周期为，且．
求和的值；
在给定坐标系中作出函数在上的图象；
若，求的取值范围．
17.本小题分
某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益单位：万元与研发投入资金单位：万元的关系为，项目乙研发期望收益单位：万元与研发投入资金单位：万元的关系为，，且，．
求实数，，的值；
已知科研部门计划将万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润．
18.本小题分
已知函数对于任意实数，恒有，且当时，，又．
判断的奇偶性并证明；
求在区间的最大值；
解关于的不等式．
19.本小题分
已知函数．
，不等式恒成立，求实数的取值范围；
已知函数的定义域为，若对于任意，，，，，能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”若函数是区间上的“三角形函数”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
，，．
若集合，且，则，
当时，，即，符合题意；
当时，，解得，
故实数的取值范围为．
16.解：函数的最小正周期，，
，
则，因为，．
由知，列表如下：
在上的图象如图所示：
，即，
，
则，
即，
的取值范围是．
17.解：由，，
可得，解得，
故；
设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，
则
，其中，
则
，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以项目甲投入万元，项目乙投资万元时，科研部门获得最大利润万元．
18.解：为奇函数，理由如下；
函数的定义域为，关于原点对称，
令得：，解得：，
令得：，
所以对任意恒成立，所以为奇函数；
任取，，且，
则因为当时，，
所以，即，
由第一问知，为奇函数，所以，
则，即，所以在上单调递增，
所以在区间的最大值为，
因为，为奇函数，
所以，令，得：；
因为，
所以，
所以，所以，
由可知，在上单调递增，所以，
整理得：，即，
当时，无解，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为．
19.解：因为，所以，
因为，所以，
因为恒成立，
所以，整理得：恒成立，
令，，
构造函数，
根据对勾函数的单调性可知：函数在上单调递减，在上单调递增，
对于，当时，，因为恒成立，所以，
又因为，解得，即．
因为，由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增，
根据题意函数是区间上的“三角形函数”，所以当时，有即可，
所以当时，在上单调递增，，，
所以有，即或，无解；
当时，在上单调递减，在上单调递增，，或，
当时，，，此时有，
即得，解得；
当时，
，此时有，即得，
解得，故，
当时，在上单调递减，，，
所以有，即，无解．
综上所述：的取值范围为．
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