2024-2025学年浙江省杭州四中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州四中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，分别是平面，的法向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线和直线平行，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
3.袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个白球，从中不放回地依次随机摸出个球，则两次都摸到红球的概率( )
A. B. C. D.
4.设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
5.光线通过点，在直线：上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知原点为，椭圆：与直线：交于，两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于年提出了是质数的猜想，直到年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前项和．若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作简称实操能力的培养中职生小王在对口工厂完成实操产品件，质检人员测量其质量单位：克，将所得数据分成组：，，，，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在内的为优等品对于这件产品，下列说法正确的是( )
A. 质量的平均数为克同一区间的平均数用区间中点值代替
B. 优等品有件
C. 质量的众数在区间内
D. 质量的中位数在区间内
10.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当取得最大值时， D.
11.如图，已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线直线的倾斜角为锐角与抛物线相交于，两点在轴的上方，在轴的下方，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则( )
A. 当直线的斜率为时，
B. 若，则直线的斜率为
C. 存在直线使得
D. 若，则直线的倾斜角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，若甲、乙两人射击的命中率分别为和，假设两人射击互不影响则两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为______．
13.已知圆，点，，点为圆上的动点，则的最大值为______．
14.已知正项数列的前项和为，，且满足，若对恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：．
求证：直线过定点，并求出此定点的坐标；
若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点在棱上．
证明：平面平面；
当时，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调区间；
求在上的最大值．
18.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，，且到直线：的距离为．
求的方程；
与平行的一组直线与相交时，证明：这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上；
为上的动点，，为上的动点，且，求面积的取值范围．
19.本小题分
记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．
定义运算；若，，则，．
若，用，，，，，，表示；
证明：；
若，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：根据题意，直线方程可化为，
所以直线过直线与直线的交点，
由，解得，所以直线过定点．
解：对于直线：，
令，得，得；令，得，得．
可知直线与轴交于点，
所以面积，其中，
由二次函数的性质，可知：当时，取到最小值．
此时直线的方程为，即．
16.解：证明：底面，平面，
，
，，，
，，
，即是直角三角形，且，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面；
由得，，
而底面，底面，故，
故，，两两垂直，
故以为原点，，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，，，，
设点，
，即，
，，，即，
，，
设平面的一个法向量为，
，取，则，，
平面的一个法向量为，
又平面，则平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图易得二面角的平面角为锐角，
则，
故二面角的余弦值．
17.解：的定义域是，
，，
时，令，解得：，
令，解得：，
故在递增，在递减，
时，，在递减；
综上：时，在递增，在递减，
时，在递减；
由时，在单调递减，
，
时，在递增，在递减，
，
时，在上单调递增，
，
综上：时，，
时，，
时，．
18.解：根据题意可得，
解得，
的方程为；
证明：设这组平行线的方程为，
联立，
得，设两交点坐标分别为，，
，，
，设直线被截得的线段的中点为，
则，，
消去，得，
这些直线被截得的线段的中点均在直线上；
由知，与相离，
当直线与相切时，，解得或．
当时，直线与的距离为，此时，
当时，直线与的距离为，此时，
面积的取值范围为．
19.解：因为，
所以；
证明：因为，
所以，
又因为
，
所以
，
所以；
证明：对于，，
因为，
所以，
所以，
所以，
，
所以
．
第1页，共1页