2024-2025学年广西贵港市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西贵港市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，最小正周期为且奇偶性与函数相同的是( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.记等比数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.冈珀茨模型由冈珀茨提出，作为动物种群生长模型，可用于描述种群的消亡规律已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型，当时表示年初的种群数量，经过年后，当该物种的种群数量不足年初种群数量的时即将有濒临灭绝的危险，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设数列的前项和为，若，且，的等差中项为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是( )
A. 若是椭圆，则 B. 若是双曲线，则
C. 若，则的周长为 D. 若，则的离心率为
10.已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则( )
A. 圆上有两个点到直线的距离为
B. 圆上只有一个点到直线的距离为
C.
D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是
11.在长方体中，，，为的中点，动点在长方体内含表面，且满足，记动点的轨迹为，则( )
A. 的面积为
B. 平面与所在平面平行
C. 当时，存在点，使得
D. 当时，三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知球的表面积为，正四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，底面边长为，则该正四棱锥的高为______．
13.若数列满足，则 ______．
14.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年类运会在巴黎举行，中国代表团获得了枚金牌、枚银牌、枚铜牌，共枚奖排，创造了境外参加奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象为了增加学生对奥近知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识测试根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成组，其概率分布直方图如图所示．
求测试成绩的中位数结果精确到小数点后一位；
采用分层随机抽样的方法从成绩在内的学生中抽取人，再从抽取的这人中随机抽取人，求这人中至少有人的成绩在内的概率．
16.本小题分
已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为．
求的方程；
直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，．
证明：平面平面．
若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点．
求椭圆的标准方程及离心率；
与直线平行的直线交于，两点均不与的顶点重合，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
19.本小题分
在数列中，已知，．
证明是等差数列，并求出的通项公式．
若数列满足，，设数列的前项和为．
求，并证明；
证明：．
参考答案
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15.解：，
，
设该样本的中位数为，
则，
解得，
该样本的中位数约为分．
采用分层抽样的方法从成绩在和内的学生中抽取人，
：：，
应从成绩在内的学生中抽取人，
记为，，从成绩在内的学生中抽取人，记为，，，
从抽取的这人中随机抽取人有：
，，，，，，，，这种结果，
其中至少有人的成绩在内的结果有：
，，，，，，，这种，
这人中至少有人的成绩在内的概率为．
16.解：根据题意可得动点到点的距离与它到直线的距相等，
动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
，，
的方程为；
设，，又的中点坐标为，
则，，，
，
，
直线的方程为，即为．
17.证明：取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
解：以为原点，，所在直线分别为，轴，作，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角为，
所以，，解得负值已舍，
所以，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
故点到平面的距离为．
18.解：因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点，
所以，，
则椭圆的标准方程为，
因为，
所以椭圆的离心率为；
证明：由知直线的斜率为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，，
所以，
因为，
又，
所以，
所以．
故为定值．
19.解：证明：在数列中，已知，，
令，，可得，
即有是首项和公差均为的等差数列，则；
若数列满足，，
则；
证明：；
证明：数列的前项和为，由可得要证，即证．
由可得，且：，则，
可得，
．
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