2024-2025学年江西省南昌三中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌三中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”是命题“直线与直线平行”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件
3.在平行六面体中，与的交点为设，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
4.一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色现有种颜色可供选择，则不同的着色方法的有种．
A. B.
C. D.
6.已知，为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为( )
A. B. C. D.
7.在的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，、分别是侧面和的中心过点的平面与垂直，则平面截正方体所得的截面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于曲线，下列说法正确的有( )
A. 曲线不可能是圆 B. 曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
C. 若，则曲线为椭圆 D. 若曲线为双曲线，则
10.已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且，点，，，分别为，，，的中点，则( )
A. 与平面夹角余弦值为
B. 与所成的角为
C. 平面
D. 平面平面
11.已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 记的内心为，的右顶点为，则轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有件产品，其中件是次品，从中任取件，若表示取得次品的个数，则 ______．
13.已知曲线：，为坐标原点给出下列四个结论：
曲线关于直线成轴对称图形；
经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；
直线：与曲线所围成的图形的面积为；
设直线：，当时，直线与曲线恰有三个公共点．
其中所有正确结论的序号是______．
14.四面体中，，其余棱长都为，动点在的内部含边界，设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，，且满足，则到的最
大距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，过圆外一点向圆引切线．
求过点的圆的切线方程；
若切点为，，求过切点，的直线方程．
16.本小题分
年，月日至日，中国中亚峰会在陕西省西安市举办多家外媒积极评价，认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣报道中指出“中国中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，得到表格如表：
月份 月 月 月 月 月
月份代码
产值亿元
求电动汽车产值亿元关于月份的线性回归方程；
该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性人，女性人；购买电动汽车的男性人，女性人请问是否有的把握认为是否购买电动汽车与性别有关参考公式如表
；；．
17.本小题分
在三棱锥中，，，，，．
如图一，为的重心，若平面，求的值；
如图二，当，且二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取个球，每次摸球结果相互独立，盒中有分和分的球若干，摸到分球的概率为，摸到分球的概率为．
学生甲和乙各摸一次球，求两人得分相等的概率；
若学生甲摸球次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望；
学生甲、乙各摸次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励已知甲前次摸球得了分，求乙获得奖励的概率．
19.本小题分
已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点在轴上存在一点异于，使得．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论；
Ⅲ过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于，两点，证明：直线经过定点．
参考答案
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15.解：设过点的圆的切线方程为，的圆心为，半径为；
则，解得或，
故切线方程为或．
解法：将切线方程与圆的方程联立成方程组，由，可得，
由，可得，
即和，
故过切点，的直线方程为，整理得．
解法：因为，，，四点共圆，
所以，在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
即方程为
与已知圆相减，得过切点，的直线方程为．
16.解：设所求回归直线方程为，
，，
，
，
故电动汽车产值亿元关于月份的线性回归方程为；
根据题意，得列联表如下：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 合计
男性
女性
合计
，
故有的把握认为是否购买电动汽车与性别有关．
17.解：连接并延长与交于点，连接，
所以平面平面，
因为平面，平面，
所以，
又因为为的重心，所以，
所以，
所以，即；
设为的中点，连接，
因为，，所以，，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面，
过点在平面内作的垂线，如图所示，
分别以，，为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，
所以，，，
因为，所以，
由题意知，是二面角的平面角，
又二面角的余弦值为，，，
取的平面图，设，
则，
，
故，，
所以，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，所以，
令，可得，
设直线与平面所成的角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：由题意，摸到分球的概率为，摸到分球的概率为，
若学生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，则甲乙同时摸到分球或分球，
所以两人得分相等的概率为．
解：由题意知，学生甲摸球次的总得分的可能取值为，，，
可得，
所以随机变量的分布列为：
所以，期望为．
解：记甲最终得分为分，其中，，，乙获得奖励，
可得，
当甲的最终得分为分时，乙获得奖励需要最终得分为分，
则；
当甲最终得分为分时，乙获得奖励需要最终得分为分或分，
则，
所以，
所以乙获得奖励的概率为．
19.解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，
所以，
又点在椭圆上，
所以，
联立，
解得，
则椭圆的标准方程为；
Ⅱ不妨设，
因为：：，
所以，
解得，
此时，
可得直线的方程为，
联立，消去并整理得，
解得，
故直线与椭圆相切；
Ⅲ证明：不妨设，，，
因为，，三点共线，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
可得，
因为，
所以，
整理得，
即，
不妨设直线的方程为，
此时，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
解得或舍去．
故直线经过定点．
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