2024-2025学年陕西省西安市某校高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市某校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是( )
A. B. C. D.
2.若直线与直线平行，则实数的取值为( )
A. 或 B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知抛物线：的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线在第一象限交于点，若点在上的投影为点，且，则( )
A. B. C. D.
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知等差数列的前项和为，公差，，则使得的最大整数为( )
A. B. C. D.
8.已知，直线：与：的交点在圆：上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在轴上，则
C. 若，则该椭圆的焦距为 D. 若椭圆的离心率为，则
10.年，斐波那契在算盘全书中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列，，，，，，，，，该数列的特点是前两项为，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和记为该数列的前项和，则下列结论正确的有( )
A. B. 为偶数
C. D.
11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.等差数列前项和为，正项等比数列满足，则 ______．
13.已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面米，水面宽米，水位下降米后，水面宽______米．
15.本小题分
已知数列的前项和为，且满足，．
证明：数列是等比数列；
设，证明：．
16.本小题分
已知圆的方程为：．
若直线：与圆相交于、两点，且，求实数的值；
过点作圆的切线，求切线方程．
17.本小题分
椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为．
求椭圆的方程；
设直线过点，且与椭圆相交于，两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程．
18.本小题分
已知正项数列的首项为，其前项和为，满足．
求证：数列为等差数列，并求出；
求；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和；
设表示不超过的最大整数，求数列的前项和．
参考答案
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15.解：证明：当时，，
当时，由，得，
两式作差可得：，则，所以，
又因为，所以数列是首项和公比都为的等比数列，．
证明：由可知，，则，
所以，
所以．
16.解：圆的方程为：，
则圆的圆心为，半径为，
直线：与圆相交于、两点，且，
则，解得或；
当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切，
切线的斜率存在时，可设切线为，即，
由切线的定义可知，，解得，
故切线方程为，
综上所述，切线方程为或．
17.解：由题意得：，解得，
则，
椭圆的方程为：；
由可知，，，
由题意可知直线斜率必存在，设直线：，设，，
联立，整理可得：，
，
，，
，
，
令，可得，
，
则，
又在单调递增，
当，即，即时，面积最大．
此时直线：．
18.证明：因为，
所以，
因为，所以
所以，
所以，又由，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以；
解：因为，，且，
所以；
解：由知，所以时，；时，，
记数列的前项和为，则，
所以当时，；
当时，，
所以．
19.解：数列满足，，
当时，得，
因为，
当时，，
，得，所以．
故对任意的，．
因为，
可得，
作差可得，
因此，．
设表示不超过的最大整数，
由得，
因为，则，
当时，则，则；
当时，则时，即当时，；
当时，则时，即当时，；
当时，则时，即当时，；
当时，则时，即当时，；
当时，则时，即当时，；
当时，则时，即当时，．
因此，所以的前项和为．
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