2024-2025学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，：当时，的值为( )
A. B. C. 或 D.
3.已知是定义在上的可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯( )
A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏
5.已知两个等差数列，，，及，，，，，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为( )
A. B. C. D.
6.椭圆上任意一点到点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若曲线与直线有个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，半径为，点若圆上存在点，满足，则点的横坐标的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是函数的导函数的图象，则( )
A. 在时，函数取得极值
B. 在时，函数取得极值
C. 的图象在处切线的斜率小于零
D. 函数在区间上单调递增
10.已知实数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知数列满足，，则( )
A. B. 是递增数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设数列的前项和为，且，，请写出一个满足条件的数列的通项公式 ______．
13.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为______．
14.已知直线与曲线相切，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列的前项和为，且，．
求的通项公式；
若，求的最小值．
16.本小题分
已知圆过点，且与圆：相切于点．
求圆的方程；
设直线过点，且与圆交于，两点，若，求的方程．
17.本小题分
已知数列是首项为，公差为的等差数列，且．
求数列的通项公式；
设，，若是等差数列，求的值．
18.本小题分
已知函数，．
若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
讨论的单调性；
当时，，求的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点．
求的方程；
若直线过点，且的斜率为，求的值；
设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：设等比数列的公比为，
因为，，所以，
因为，则，
即，解得，解得，
又因为，解得，
所以数列的通项公式为；
由知，，
由，得，
即，整理得：，
因为，所以，
又因为，解得，
所以的最小值为．
16.解：方法一设圆心，由题意得，，
所以，且，
解得，，即圆心，
所以半径，
所以圆的方程为．
方法二因为圆与圆相切于点，所以，，三点共线，
因为，所以的方程为．
因为，所以的中垂线斜率为，
又的中点为，所以的中垂线方程为，即．
由解得即圆心，
所以半径，
所以圆的方程为．
因为，又半径为，所以圆心到直线的距离．
当的斜率不存在时，的方程为，此时，符合题意．
当的斜率存在时，设的方程为，即，
所以，解得，
所以的方程为，即．
综上，的方程为或．
17.解：因为是首项为，公差为的等差数列，
所以．
由，，，，
将以上式子左右分别相加得：，
又因为，所以当时，，
又因为符合上式，所以．
由知，．
因为是等差数列，所以可设，
则，即对任意恒成立，
所以，解得或，
所以的值为或．
18.解：，，
，
又在处的切线与直线垂直，，
即，．
，．
当时，，在上单调递增．
当时，令，得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由，得在上恒成立．
令，，则，令，得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，即，
则在上恒成立．
令，，
则
．
，，则，
令，得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，即的取值范围是．
19.解：因为双曲线的一条渐近线方程为，且过点，
所以，
解得，
则双曲线的方程为；
易知直线的方程为，
设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，在点的两侧，
所以与异号，
所以
；
证明：若的斜率不存在，
设直线的方程为，，
因为，，，
所以，
由对称性知，，
即，
解得，
所以直线的方程为，
此时直线过点；
若直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为点在双曲线上，
所以，
又，，
可得．
因为，
即，
所以，
即，
整理得，
所以，
化简得，
解得或．
当时，直线的方程为，
此时直线过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，
此时直线过点，符合题意．
综上所述，恒过定点．
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