2024-2025学年浙江省杭州高级中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州高级中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角的终边经点，则( )
A. B. C. D.
2.命题，”为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象如图所示，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知函数，且，若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是( )
A. B. C. D.
5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知在区间上，函数与函数的图象交于点，设点在轴上的射影为，的横坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知正实数，满足：，，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若函数是上的奇函数，则
B. 函数与为同一个函数
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 若是第二象限角，则是第一象限角
10.某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有( )
A.
B. ，都有
C. 的值域为
D. ，，都有
11.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 向右平移个单位得到的图象关于对称
D. 若函数在上没有零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为，若，则______．
14.已知函数，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
求；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
设函数，．
求函数的定义域及单调递减区间；
若方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
17.本小题分
某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天实时空气污染指数与时刻时变化的函数关系为，其中为空气治理调节参数，且．
若，求该市一天中实时空气污染指数最低的时刻；
若规定以实时空气污染指数的最大值作为当天的空气污染指数，并记为，求的表达式；要使该市每天的空气污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？
18.本小题分
已知函数是奇函数是自然对数的底
求实数的值；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
设，对任意，，，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值．
19.本小题分
已知函数，若关于的方程在的定义域上有实数解，则称为函数的“平衡点”；若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”；有序数对称为函数的“平衡点对”．
若是“平衡函数”，求函数的“平衡点对”；
是否存在实数，使得为函数的“平衡点对”，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由；
若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由，得，解得，故，
由，解得或，故B，可得，
则；
由，得，解得，故C，
“”是“”的充分条件，，即，解得．
实数的取值范围是
16.解：因为函数，
由，解得，，
又因为函数在上单调递减，
而函数在单调递增，
因此函数在上单调递减，
所以函数的定义域为，
单调递减区间为．
因为
，
当时，，
所以，
所以当，即时，函数取得最大值，
由正弦函数的性质可知在上单调递增，
又当时，，
在上单调递减，函数值由减小到，
当时，直线与函数在上的图象有个交点，
所以实数的取值范围是
17.解：当时，函数，当且仅当时取等号，
根据，可得，所以，
因此一天中实时污染指数最低的时刻．
设，根据，可得，原函数变为函数，
而，当时，函数，，
当时，，，
当时，函数，，
当时，，，
因此；
由该市每天的空气污染指数不超过，得，则或，解得，
所以调节参数应控制的范围是．
18.解：函数的定义域为，由是奇函数，
得，
解得，
此时，
，
则函数是奇函数，
所以．
函数在上单调递增，
不等式，
可化为，
则，
即，
依题意，对任意恒成立，
令，
当时，，，
，
，当且仅当时取等号，则，
所以实数的取值范围是．
由得：
不妨设，则，
由，，为长度的线段可以构成三角形，则，
以，，为长度的线段也能构成三角形，
则恒成立，得恒成立，
即时，恒成立，
又，当且仅当时取等号，
因此，
解得，所以的最大值为．
19.解：根据函数是“平衡函数”，得对任意，恒成立，
根据题干：均有成立，则称函数为“平衡函数”，有序数对称为函数的“平衡点对”．
所以对任意成立，所以，，
因此的“平衡点对”为．
假定存在实数，使得为的“平衡点对”，
那么对，恒成立，
所以对，，所以，，
因此存在实数，使得为函数的“平衡点对”，．
存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”，
那么，，
整理得，，
因此，
所以，根据，可得，
所以，因此的取值范围是．
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