2024-2025学年北京市平谷区高二上学期期末考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市平谷区高二上学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.圆心为且过原点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
3.以为焦点的抛物线标准方程是( )
A. B. C. D.
4.长方体中，，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
5.某学校高二趣味运动会中设置了障碍投篮比赛，每名运动员投篮次已知甲同学投篮命中率为，那么投篮比赛中甲同学恰好命中一次的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知是两个不同的平面，直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知椭圆上一点和焦点．轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.某学校对男生的立定跳远和米跑两个单项进行体育达标测试下表为名学生的测试成绩，其中有三名同学成绩模糊．
学生序号
立定跳远单位：米
米跑单位：秒
已知在这名学生中，立定跳远有人优秀，立定跳远和米跑同时优秀的有人，则( )
A. 号学生进入米跑优秀 B. 号学生进入米跑优秀
C. 号学生进入米跑优秀 D. 号学生进入米跑优秀
9.已知圆，直线，若圆上至少有个点到直线的距离为，则可以是( )
A. B. C. D.
10.如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点下列结论错误的是( )
A. 存在点，使得平面
B.
C. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
D. 平面平面
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
11.双曲线的焦点到顶点的最小距离是 ．
12.经过点，且与直线平行的直线方程是 ．
13.抛物线上一点到焦点的距离等于，则点的坐标为 ．
14.将名男生和名女生随机排成一排，则名男生相邻的概率为 ．
15.已知圆锥曲线的离心率为，则实数 ．
16.某玩具模型设计图为一个六面几何体，如图所示，、和均为等边三角形，测得，，则这个玩具模型的体积是__ ___．
17.生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线下面是关于曲线的四个结论：
曲线关于原点中心对称；
曲线上点的横坐标取值范围是
曲线上任一点到坐标原点的最小距离为；
若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知直线与圆相交于、两点．
求线段的长；
求线段的垂直平分线方程．
19.本小题分
已知等腰直角三角形，如图，，为斜边上的高以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点如图．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
某学校为提升学生的体质水平，要求所有学生在一学期内完成规定的运动任务，并获得相应过程性积分现从该校随机抽取名学生，获得其运动打卡成绩的频率分布直方图及相应过程性积分数据，整理如下：
运动打卡成绩 运动过程性积分
求的值，并估计从该校随机抽取一名学生，这名学生的运动过程性积分不少于分的概率；
在抽取的名学生中，采取分层抽样的方法从运动打卡成绩在和内抽取人，再从这名学生中随机选取人，求这名学生的运动过程性积分之和为的概率；
从该校运动过程性积分不高于分的学生中随机抽取一名，其运动打卡成绩记为，上述名学生运动打卡成绩的平均值记为若根据图表信息是否能推断恒成立？直接写出结论
21.本小题分
如图，平面平面，，，，，为中点．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值．
22.本小题分
已知点和椭圆，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，，离心率．
求椭圆的标准方程；
点为椭圆上一点不与椭圆的顶点重合，直线交轴于点，直线交直线于点，证明：直线经过右顶点．
参考答案
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18.圆，配方可得，所以圆心，半径．
求圆心到直线的距离：
根据点到直线的距离公式，．
根据弦长公式，把，代入可得．
直线，可化为，其斜率．
求线段垂直平分线的斜率：
因为垂直的两条直线斜率乘积为，所以线段垂直平分线的斜率．
线段的垂直平分线过圆心，由点斜式为直线上一点，为直线斜率可得垂直平分线方程为，即．

19.在图中，因，折起后，，
因，则平面，
又平面，故平面平面．
由已得，平面，连接，则即在平面上的射影，
故即直线与平面所成角．
在图中，，
在图中，，则，
在中，，故，
即直线与平面所成角的正弦值为．

20.由图可知，，
解得；
所以组对应的频率为，对应的人数为，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的运动过程性积分不少于分的概率为．
由题意知，成绩在和的人数分别为和，比例为，
从这两组按分层抽样的方法抽取人，
则从组内抽得人，从组内抽得人，
从这名学生中随机选取人，这名学生的运动过程性积分之和为的概率为
．
所以从这名学生中随机选取人，这名学生的运动过程性积分之和为的概率为．
从该校运动过程性积分不高于分的学生中随机抽取一名，其运动成绩记为，
又运动过程性积分为的成绩对应的组是，则的最大值为，
名学生运动成绩的平均值记为，
则的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
即，
所以，
所以根据表中信息能推断恒成立．

21.取的中点为，连接，
由为中点可得：，
又，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又在平面内，在平面外，
所以平面；
取的中点为，，知，
因为平面平面，又平面平面，平面，
所以平面，过点作的平行线交与点，
易知两两垂直，如图建系：
因为，，
可得，
则，
所以，
则，
设平面的法向量为，
可得：，即
令，可得，
所以，
易知平面的法向量为，
所以平面与平面所成角的余弦值，
由图可知所求二面角为锐角，
故平面与平面所成角的余弦值为．

22.因为，，所以，解得
所以椭圆的标准方程为．
设，又因为，所以直线的方程为，
令，得，所以，
又因为，所以直线的方程为，
因为，则直线的方程为，
联立，解得，所以，
因为，所以直线的方程为即，
当时，，
因为点在椭圆上，所以，代入式得，
所以点在直线上，即直线经过右顶点．

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