2024-2025学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，或，则( )
A. B. C. D.
2.已知，且，下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，；命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是假命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题
4.将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
5.下列向量中，与向量共线的一个单位向量是( )
A. B. C. D.
6.已知函数下列区间中包含零点的是( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两地月日至日每天最低气温单位：如下：
日 日 日 日 日 日 日
甲地
乙地
记这天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为根据上述信息，下列结论中正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
9.已知集合，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知是定义域为旳奇函数，满足，且当时给出下列三个结论：
；
函数在区间内有且仅有个零点；
不等式的解集为，．
其中，正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设方程的两根为和，则 ．
12.已知函数，则 ；的单调递增区间为 ．
13.已知正方形的边长为，点满足，则 ．
14.已知函数，当时，若曲线和有一个公共点，则实数的一个取值为 ．
15.给定函数若曲线上任意一点的坐标满足，则称函数具有“线性控制”性质．给出下列四个函数：
； ；
；
其中具有“线性控制”性质的函数的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知实数，满足，．
求和的取值范围；
证明：．
17.本小题分
已知函数．
求的定义域；
求不等式的解集．
18.本小题分
根据国家学生体质健康标准，高一男生和女生米跑单项等级如下单位：秒：
米跑单项等级 高一男生 高一女生
优秀 及以下 及以下
良好
及格
不及格 及以上 及以上
从某校高一男生和女生中各随机抽取名同学，将其米跑测试成绩整理如下：
男生：
女生：
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
分别估计该校高一男生和女生米跑单项的优秀率；
从该校高一男生中随机抽取人，高一女生中随机抽取人，求人中恰有人米跑单项等级是优秀的概率；
从该校高一女生中随机抽取人．记“人的米跑单项至少有个是优秀”为事件，记“人的米跑单项至多有个是优秀”为事件判断与是否相互独立．结论不要求证明
19.本小题分
已知函数，其中．
证明：；
若在上单调递减，求的取值范围；
求在区间上的取值范围．
20.本小题分
两地相距，货车从地匀速行驶到地，全程限速已知货车每小时的运输成本单位：元由固定成本和可变成本组成：固定成本为元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．
把货车的全程运输成本单位：元表示为车速的函数；
为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
21.本小题分
给定正整数，设集合任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定．
当时，写出一组和；
是否存在集合与正整数，使？说明理由；
当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一，
15.
16.因为，，所以，
当，时，则，，此时，
当，时，则，此时，得到，
当，时，则，此时，得到，
当，时，，
又当或时，，
综上，．
因为，
又，，则，，
所以，得到．

17.函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为．
不等式
则，即，解得或，
所以原不等式的解集为．

18.由给定数据得，名高一男生米跑测试成绩在及以下的有人，
高一女生米跑测试成绩在及以下的有人，
所以估计该校高一男生和女生米跑单项的优秀率分别为和．
该校高一男生中随机抽取人米跑单项等级是优秀的事件为，
高一女生中随机抽取人米跑单项等级是优秀的事件为，
抽取的人中恰有人米跑单项等级是优秀的事件为，则，
由知，，显然事件相互独立，
因此，
所以人中恰有人米跑单项等级是优秀的概率为．
依题意，，，
，因此，
所以与相互不独立．

19.因为，所以，
故．
因为在上单调递减，则当，有．
所以设，，
因为，所以，，
要使，则，
故的取值范围为．
当时，由小问得在上单调递减，
，，
故在区间上的取值范围为；
当时，利用小问的结论知，在上单调递增，，，
故在区间上的取值范围为．
综上：当时，取值范围为；当时，取值范围为．

20.依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为元，行驶时间小时，
所以，．
由知，在上单调递减，在上单调递增，
而，则当，即时，，取得最小值；
当，即时，，取得最小值，
所以当时，货车应以的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车应以的速度行驶，全程运输成本最小．

21.由题意可知，若，则；
若，则；
若，则；写出一组即可．
不存在集合，使．
下面用反证法证明．
证明：假设存在集合，使．
因为，
故集合中必有或同时有．
若时，不妨设，则．
因为与必为一个奇数一个偶数，而，
则，且，
这与中元素均为奇数矛盾．
若且，则，这与矛盾．
综上所述，假设错误，故不存在集合，使．
当时，
存在，使原因如下：
当时，令，，则；
令，，则；
令，，则；
令，，则．

第1页，共1页