2024-2025学年广东省汕头市澄海区高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省汕头市澄海区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.的值为( )
A. B. C. D.
5.下列与函数定义域和单调性都相同的函数是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，比较，，的大小为( )
A. B. C. D.
7.下列函数中，值域为的是( )
A. B.
C. D.
8.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，均大于，则，当且仅当时等号成立根据权方和不等式，函数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若为第二象限角，则下列正确的有( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.若，且，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，，则( )
A. 若函数有个零点，则
B. 函数有个零点
C. ，函数的零点个数都不为
D. ，使得函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值： ______．
13.函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则 ______．
14.设是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ______；在上，关于的不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的定义域为，当时，函数的值域为．
求，；
若不等式的解集为，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，设．
若，求的值．
若，求的值．
17.本小题分
已知一次函数满足，且，函数．
求的解析式；
用定义法证明函数在单调递减；
证明：．
18.本小题分
某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案公司规定奖励方案中的总奖金额单位：万元是销售利润单位：万元的函数，并且满足如下条件：
图象接近图示；销售利润为万元时，总奖金为万元；
销售利润为万元时，总奖金为万元现有以下三个函数模型供公司选择：
模型：；
模型：；
模型：．
结合条件帮助该公司选择一个最合适的模型不用说明理由，并求出函数解析式；
根据你在中选择的函数模型，解决如下问题：
如果总奖金不少于万元，则至少应完成销售利润多少万元？
总奖金能否超过销售利润的五分之一？
参考关系：函数在单调递减
19.本小题分
欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”．
判断函数是不是倒函数，并说明理由；
若是定义在上的倒函数，且当时，，则当时，求的解析式，并判断方程是否有正整数解？并说明理由；
已知函数是定义在上的倒函数，且在上单调递增，设函数，证明：对任意实数，，当时，总有．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：由函数的定义域为，可得，解得，故A，
又函数在上是增函数，且，，
所以，
故A，；
因为，所以，即，
故C，
因为，且，，即的取值范围是．
16.解：依题意可知，，
由可知为锐角，
由，解得，
；
，
两边平方得，即，
，
，
，
，
由，可得，
，
故．
17.解：设，
由可得，
又，
，解得，
．
证明：由知
设，，且，
，
，
，，，
，即，
函数在单调递减；
证明：．
又，，，
即．
18.解：根据题意，选择模型最合适，
此时，
由于销售利润为万元时，总奖金为万元，
则有，即解得，
则；
根据题意，如果总奖金不少于万元，则，
变形可得，即，解得，
所以至少应完成销售利润万元；
根据题意，假设总奖金能否超过销售利润的五分之一，
则有，即，变形可得，
设，
设，，
在上为增函数，且，
则在单调递减，
故在递减，
则有，
即在上恒成立，
故总奖金不会超过销售利润的五分之一．
19.解：函数的定义域为，
对任意的，，
函数为倒函数．
当时，则，由倒函数的定义可得，
当时，函数，均为增函数，
函数在上为增函数，
又，．
不存在正整数使，即方程无正整数解．
证明：是定义在上的倒函数，故，即，
，
对任意实数，，，若，则，
又在上单调递增，故，
同理可得，，
，即，
．
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