2024-2025学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是( )
A. B. C. D.
4.某校高一年级有名男生，名女生为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法，从该校高一学生中抽取容量为的样本进行调查，其中女生名，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则实数，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若恒成立，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
8.点声源亦称“球面声源”或“简单声源”已知点声源在空间中传播时，衰减量单位：与传播距离单位：的关系式为，其中为常数当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为若，则约为参考数据：
A. B. C. D.
9.设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是( )
A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.计算： ______．
12.已知命题：若二次函数满足，则在区间内无零点能说明为假命题的一个函数是______．
13.已知的图象经过点，则 ______；若方程有两个不等实数根，，满足，则实数的取值范围为______．
14.已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______．
15.函数，其中表示不超过的最大整数给出下列四个结论：
的定义域为；
方程没有实数根；
函数的值域为；
存在实数，使得当，且时，都有．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知关于不等式的解集，集合．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围．
条件：；
条件：．
17.本小题分
某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见表：
景区限流情况
景区累计天数 不限流 局部限流 完全限流
甲景区累计天数 天 天 天
乙景区累计天数 天 天 天
丙景区累计天数 天 天 天
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立．
Ⅰ小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率；
Ⅱ小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流包括局部限流和完全限流的概率；
Ⅲ小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览若存在以下两种情况之一，则不能完成游览：
在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流；
在上午的游览中遇到完全限流．
请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览_____景区，下午游览_____景区从“甲、乙、丙”中选择两个填写
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ当时，用函数单调性定义证明在区间上是增函数；
Ⅲ若，，恒成立，且函数在上单调递增，求的最小值．
19.本小题分
已知非空集合满足如下三个性质，则称集合满足性质：
；
，，，；
，；
Ⅰ判断下列集合是否满足性质？
，只需写出结论
Ⅱ若集合满足性质，且存在，使得，求证：，，都有；
Ⅲ若集合满足性质，且，，，求所有的符合题意的集合．
参考答案
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16.解：由，得到，即，
又因为关于不等式的解集，
所以，解得，所以实数的值为．
选择条件，因为，，
又，由图知，
，解得．
选择条件，因为，，
又，即，由图知，
，解得．

17.解：Ⅰ根据题意，由数表知，天中，甲景区完全限流的天数是，
所以小明遇到完全限流的概率为．
Ⅱ根据题意，由数表知，
天中，乙景区不限流的有天，丙景区不限流的有天，
则乙景区不限流的概率为，
丙景区不限流的概率为，
所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率．
Ⅲ根据题意，分种情况讨论：
若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成游览的概率；
若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率；
若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览的概率；
若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览的概率；
若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览的概率；
若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览的概率，
而最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率最大．
18.解：Ⅰ函数，由，得，所以．
Ⅱ证明：当时，，任取，，，
则，
由，得，则，即，
所以函数在区间上是增函数．
Ⅲ不等式，依题意，，恒成立，
而，恒有，则，又，，因此，
任取，，，
，
由，得，
而，则，即，
又，于是，
则，即，
因此函数在上单调递增，
所以的最小值是．
19.解：Ⅰ集合不具有性质，集合具有性质，理由如下：
对集合，当，，但，
令，解得，则集合不具有性质；
对于集合，显然，满足条件，
对于条件，不妨设，，，，，，
则，其中，，，满足条件，
对于条件，设，，
则，其中，则集合具有性质，
综上集合不具有性质，集合具有性质；
Ⅱ证明：因为，，
所以，，．
所以对，，有，．
若，；
若，；
若，．
综上，，，都有；
Ⅲ或，理由如下：
对，有，
所以，
，
所以．
所以，，
若，则；
若，则．
令，则．
若，则，，
由中结论知对，都有，所以．
若，则，，，所以．
若，则，，所以．
若，，，．
若，，，，，
，，，，，，
所以．
综上，或．
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