2024-2025学年江苏省泰州市海陵区高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省泰州市海陵区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若的终边与的终边垂直，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
6.北京时间年月日时分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭除燃料外的质量的函数关系的表达式为，若火箭的最大速度达到，则的值是( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数，则的值是( )
A. B. C. D.
8.已知，，，，则，，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，，则
10.如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )
A. 转动后点距离地面
B. 若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C. 第和第点距离地面的高度相同
D. 摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为
11.设定义在上的函数满足：当时，；，则( )
A. B. 为减函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，共24分。
12.已知正实数，满足，则的最小值为______．
13.设函数，则满足的的取值范围是______．
14.已知函数的零点为若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
化简：；
若，求的值．
16.本小题分
已知函数的图象关于点对称．
求的值；
将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象当时，求函数的值域．
17.本小题分
设，集合关于的方程无实根，．
若，求；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
设为实数，已知函数，．
若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为当时，求的取值范围；
设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
若存在实数，使得，则称函数为，的“函数“．
若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求，的解析式；
设函数，，是否存在实数，使得为，的“函数”，且同时满足：是偶函数；的值域为若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由．
注：为自然对数的底数．
参考答案
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15.解：，
因为，
所以，
所以原式；
因为，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，，可得，
所以，
所以．
16.解：由于函数的图象关于点对称，
故有，，即，，，
将函数的图象向右平移个单位，可得的图象；
然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．
当时，，
故当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为，
故函数的值域为．
17.解：若关于的方程无实根，则，解得，
所以集合关于的方程无实根，
当时，或，
因此，可得或；
由得，
根据题意，可得集合是集合的子集，即不等式对任意都成立．
结合，将整理，得，
因为，
所以当时，即时，的最小值为，的最小值也是．
因此，不等式对任意都成立时，，实数的取值范围是．
18.解：当时，，，
所以，当时取等号，即，
当时，，，
根据二次函数的性质可知，当，即时取得最小值，
当时，，
所以，
故的取值范围为；
因为恒成立，
所以，即，
此时，，
则，
所以关于的方程不存在实数解．
19.解：因为为，的“函数”，
所以 ，所以．
因为为奇函数，为偶函数，所以，．
所以 ．
联立解得，
假设存在实数，，使得为，的“函数”，
则．
因为是偶函数，所以．
即，即，
整理得．
因为对恒成立，所以．
，
因为，当且仅当，即时取等号．
所以，
由于的值域为，
所以，且．
又因为，所以，，
综上，存在，满足要求．
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