2024-2025学年四川省自贡一中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省自贡一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则下列区间中含有的零点的是( )
A. B. C. D.
3.下列叙述正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知幂函数在区间上单调递减，则函数且的图像过定点( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是( )
A. B. C. D.
6.“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
7.函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.对任意实数，定义运算“”：，设，若函数与函数在区间上均为减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.已知，，则( )
A. B.
C. D.
11.定义在上的函数，对，，都有，且当时，恒成立，则( )
A. 是偶函数
B. 在上单调递增
C.
D. 任意实数都满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知扇形的圆心角为，其周长是，则该扇形的面积是______．
14.已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求实数，的值；
若函数区间不是单调函数，求实数的取值范围；
若不等式的解集为，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求实数的取值范围；
解关于的不等式；
，使得不等式有解，求实数的取值范围．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点．
求的值和；
化简求值．
18.本小题分
某企业生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入生产成本万元若年产量低于千件，则生产成本；若年产量不低于千件时，则生产成本每千件产品售价为万元，且生产的产品能全部售完“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”
写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式；
当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？
19.本小题分
已知函数是偶函数，且，．
Ⅰ当时，求函数的值域；
Ⅱ设，，求函数的最小值；
Ⅲ设，对于Ⅱ中的，是否存在实数，使得函数在时有且只有一个零点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为不等式的解集为，
所以方程的两个根为和，
所以，解得，；
因为函数在区间上不是单调函数，
所以，解得，
所以的取值范围为；
因为不等式的解集为，
所以的解集为，
当时，原不等式恒成立，满足题意，
当时，由题意得，解得，
综上所述：．
16.解：不等式的解集为，即恒成立，
当时，的解集不为；
当时，恒成立，则，解得，
所以实数的取值范围为．
由题意得，
当时，解得；
当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和，
当，即时，的解为或，
当，即时，的解为，
当，即时，的解为或；
当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且，
此时的解为；
综上，当时，的解集为，当时，的解集为，
当时，的解集为，当时，的解集为，
当时，的解集为．
由题意整理得，使得不等式有解，
当时，解得，故使得不等式有解，
当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可，
因为的对称轴为，此时对称轴，
所以当，即时，，
整理得，结合可得此时；
当，即时，，结合可得此时；
当时，是开口向下的抛物线，
当时，，所以当时，，使得不等式有解，
综上，的取值范围为．
17.解：终边经过点，故，解得，．
．
18.当时，，
当时，，
所以．
当时，，
所以当时，利润取最大值，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时利润取最大值，
因为，所以该企业年产量为千件时，所获得的利润最大，为万元．
19.解：Ⅰ因为函数是偶函数，故，
而，可得，
则，故，
易知在上单调递增，故，，
故
Ⅱ，，
令，，故，
则，，对称轴为，
当时，在上单增，故F；
当，时，在上单减，在上单增，故F；
当时，，在上单减，故F；
故函数的最小值．
Ⅲ由Ⅱ知当时，，
则，即，
令，，，
问题等价于两个函数与的图象在上有且只有一个交点；
由，函数的图象开口向下，对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，大致草图如图所示：
故，即，解得，
故．
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