2024-2025学年辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田这块地的亩产量单位：分别为，，，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A. ，，，的平均数 B. ，，，的标准差
C. ，，，的最大值 D. ，，，的中位数
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若向量，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
5.用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象与函数的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于轴对称
C. 关于轴对称 D. 关于原点对称
7.已知平行四边形，点是的中点，点满足，则等于( )
A. B. C. D.
8.已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为的个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取个小球事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于”，事件“取出的小球编号大于”，则下列结论正确的是( )
A. 与互斥 B. 与相互对立 C. 与相互对立 D. 与相互独立
10.下列关于向量说法，正确的是( )
A. 若，，则
B. 在中，若，则与的面积之比为：
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 若，则存在唯一实数使得
11.已知，若方程有四个不同的解，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为了快速了解某学校学生体重单位：的大致情况，随机抽取了名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的分位数为______．
13.若幂函数在单调递减，则
14.不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数其中为常数是定义域为的偶函数．
Ⅰ求的解析式，并直接写出的单调区间和最小值；
Ⅱ解不等式．
16.本小题分
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
17.本小题分
如图，在中，．
Ⅰ若是的中点，试用和表示；
Ⅱ若是上一点，且，过点的直线交于点，交于点若，，其中，均为正实数，求的最小值．
18.本小题分
某公司生产、两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种电机中各抽取台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
Ⅰ估计型电机该项指标的平均值同一组数据用该组区间中点值为代表；
Ⅱ从型电机指标在内采用分层抽样方式抽取件，型电机指标在内采用分层抽样方式抽取件，再从这件中任意抽取件，求指标在和内各抽取件的概率；
Ⅲ根据检测结果确定该项指标的一个临界值，且，某汽车厂准备用、两种型号电机生产牌和牌汽车各万辆，有以下两种方案可供选择：
方案一：将型电机用于生产牌汽车，其中该指标小于等于临界值的电机会导致每台汽车损失元；将型电机用于生产牌汽车，其中该指标大于等于临界值的电机会导致每台汽车损失元；
方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需万元．
请从汽车厂节约成本的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由．
19.本小题分
两个定义域相同的函数和，存在实数，，使，则称为和的函数．
Ⅰ函数为和的函数，且判断函数的图象是否有对称中心，并说明理由．
Ⅱ函数为和的函数，且．
判断单调性，并用单调性定义证明；
证明：函数有且只有两个零点，，且．
参考答案
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15.解：因为是定义域为的偶函数，
所以恒成立，即，
即恒成立，
故，，
在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得最小值；
Ⅱ结合Ⅰ中单调性把不等式转化为，
解得，
故不等式的解集为．
16.解：设、、分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题设条件有
由、得，代入得，解得．
将分别代入、可得
即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是
记为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，
则
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为
17.解：Ⅰ因为是的中点，，所以．
由，可得，化简得，
同理，由，可得，
由消去，化简得；
Ⅱ根据题意，可得．
结合，，可得，
因为、、三点共线，所以，且．
所以．
当且仅当，即，时，等号成立．
综上所述，当，时，取得最小值．
18.解：Ⅰ由解率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值为：；
Ⅱ易得型中与各取人，型中取人，中取人，
所以再从这件中任意抽取件，指标在和内各抽取件的概率为；
Ⅲ设将甲、乙两种型号芯片应用于型、型手机时，该科技公司损失为万元，
则，，
所以当时，，
当时，，
当，，
综上可得：当临界值时，选择方案二；
当临界值时，选择方案一和方案二均可；
当临界值时，选择方案一．
19.解：Ⅰ，
因为，所以，
有对称中心，理由如下：
的定义域为，且，都有，
，
所以的图象关于中心对称．
Ⅱ，因为，所以，
，定义域为，因为，
在和都是单调递增函数，
证明：任取，，且，
，
因为，所以，，，所以，
所以在是单调递增函数，
同理，在是单调递增函数．
证明：因为，所以，，
取，
当时，，
当时，，即，
因为在是单调递增函数，若，则是在的唯一零点，
若，则，使得，
由单调性可得是在的唯一零点，
因为，都有且，
所以是的零点，由单调性可得是在的唯一零点，
综上所述，函数有且只有两个零点，，
因为，又，所以，
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