专题53 最值、范围问题（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 9
【考点1】最值问题 9
【考点2】范围问题 19
【分层检测】 32
【基础篇】 32
【能力篇】 42
【培优篇】 47
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
二、解答题
2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．
(1)求椭圆方程．
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
3．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
参考答案：
题号 1
答案 C
1．C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
2．(1)
(2)存在，使得恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，
所以，故，
故，所以，，故椭圆方程为：.
（2）
若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，
由可得，
故且
而，
故
，
因为恒成立，故，解得.
若过点的动直线的斜率不存在，则或，
此时需，两者结合可得.
综上，存在，使得恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
3．(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
4．(1)；
(2)．
【分析】（1）设是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出，再根据二次函数的性质即可求出；
（2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值．
【详解】（1）设是椭圆上任意一点,,
，当且仅当时取等号，故的最大值是.
（2）设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，
因为直线与直线交于,
则,同理可得,.则
，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．
【考点1】最值问题
一、解答题
1．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
2．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
3．（2024·上海·模拟预测）已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.
4．（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程及点的坐标；
(2)过且斜率非负的直线与的左 右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2.
(1)求的准线方程；
(2)求的最小值.
6．（2024·内蒙古·三模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且.
(1)求的方程；
(2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值.
参考答案：
1．(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.
（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值.
【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，
由三角形面积为，得，则，，
所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，点，设直线的方程为，设，
由消去x得：，
则，
直线与的斜率分别为，，
于是
，整理得，解得或，
当时，直线过点，不符合题意，因此，
直线：恒过定点.
（ii）由（i）知，，
则，
因此的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
2．(1)
(2)或．
(3)．
【分析】（1）根据椭圆的定义求得，即可求解；
（2）由题意设，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出，结合的面积建立方程，计算即可求解；
（3）由（2）可得，进而，则，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，
故的方程为．
（2）易知的斜率不为0，设，
联立，得，
所以．
所以，
由，
解得，
所以的方程为或．
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，
得．
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
3．(1)
(2)或.
(3)证明见解析
【分析】（1）设双曲线的渐近线为，将代入渐近线方程，得出方程.，解出c，综合解出即可.
（2）斜率不存在是刚好满足，斜率存在与渐近线平行时也成立，分情况讨论，求出直线方程即可.
（3）用弦长公式求出，看做k的函数，后借助导数知识研究函数最小值，结合放缩即可证明.
【详解】（1）设双曲线的渐近线为，
因为点在双曲线的一条渐近线上，所以，
又，故，
又解得，故双曲线的方程为.
（2）
如图，当直线斜率不存在时，，满足题意；
如图，当斜率存在时，由双曲线的性质结合看图可得，
当直线过点且平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线也只有一个公共点，
此时，，
此时直线方程为：，即
综上：直线的方程为或.
（3）由题，直线斜率存在，
设直线方程为，即，，
联立，整理得：，
则
由弦长公式：
令，则,
则,，则
令,与同正负.，此时，则，即单调递增，
则，且，
则，使得
则当，即，则单调递减.
当，即，则单调递增.
则在出取得最小值,且，
故
即，原命题得证.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第二问的计算，计算过程十分复杂，计算量大，并且基本都是关于字母参数的运算，要求十分仔细才可以.
4．(1)，
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程，利用导数法来求切线方程即可得A点坐标；
（2）先设直线的方程，再利用三点共线，可求出直线过定点，从而把面积问题转化到两定点上去研究，最后发现为实轴两顶点时取到最小值，再去研究另一个圆上动点的最小值.
【详解】（1）由题意可知，，即，故的方程为：.
因为在第一象限，不妨设，则可变形为，
则，代入得：，所以切线方程为，
令得,所以点坐标为.
（2）
显然直线的斜率存在且不为，
设，则，
联立方程，整理得：，
，
由三点共线得：，即，
整理得：，
所以，整理得，
满足，所以直线过定点，则且线段垂直于x轴，
令分别表示到的距离，
结合图，显然，仅当为右顶点时两式中等号成立，
所以
，当且仅当时等号成立.
【点睛】关键点点睛：利用导数思想来研究某点处的切线方程；对于面积问题，本题是要转移到一边已知，从而把面积问题转化为点到这边距离的最小值问题.
5．(1)
(2)
【分析】（1）将点代入即可求出，则得到准线方程；
（2）设点，计算斜率得到，联立直线与抛物线得到，则得到韦达定理式，代入即可得到，则，再利用二次函数性质即可得到最值.
【详解】（1）因为点在：上，
所以，解得.
所以的准线方程为.
（2）由（1）知：，设，.
，同理可得，
所以，即.
联立得，
由得.（*），
，，
所以，
整理得.
所以，
当，时，等号成立，此时，满足（*）式，
故的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是化简斜率之积的式子得到，再将直线方程与抛物线方程联立得到韦达定理式，再代入得到，最后统一变量得到利用二次函数性质即可得到答案.
6．(1)
(2)
【分析】（1）首先由条件求得点的横坐标，再根据焦半径公式，即可求解；
（2）首先联立直线与抛物线方程，利用，结合坐标运算，求得点的坐标，再表示直线的斜率，即可求解.
【详解】（1）由抛物线的定义可知.
因为，所以.
因为，所以，解得，故的方程为.
（2）由题意知AB斜率不为0，设，
联立方程得，，
则
因为以为直径的圆过点，所以，则，
即，
解得，所以.
又，所以
当时，，
当时，.
故直线斜率的最大值为.
反思提升：
处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
【考点2】范围问题
一、解答题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若，，点A在第二象限，求直线的斜率；
(3)若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围.
2．（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围．
3．（2025·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．
4．（2024·贵州贵阳·三模）已知为双曲线的右顶点，过点的直线交于D、E两点.
(1)若，试求直线的斜率;
(2)记双曲线的两条渐近线分别为，过曲线的右支上一点作直线与，分别交于M、N两点，且M、N位于轴右侧，若满足，求的取值范围（为坐标原点）.
5．（2024·重庆·三模）设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
②面积的取值范围.
6．（2024·辽宁·模拟预测）在直角坐标系xOy中，点P到点(0，1)距离与点P到直线距离的差为﹣1，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)设点P的横坐标为.
（i）求W在点P处的切线的斜率(用表示)；
（ii）直线l与W分别交于点A，B．若，求直线l的斜率的取值范围(用表示).
参考答案：
1．(1)
(2)
(3).
【分析】（1）把点代入方程列方程组求解即可；
（2）①设直线方程为，代入椭圆E的方程可得，结合判别式与韦达定理，由，求出直线斜率即可；
②由,可知，代入，，
可得或，利用判别式求解的取值范围.
【详解】（1）因为，两点在椭圆上，
所以
解得，.
故椭圆的标准方程为.
（2）设，，设，
联立，得，
即，
，，.
由得，则，则.
由得：，
即，
代入得，，，
解得：，，.
故直线的斜率为.
（3）由,可知，
即，
即，
即，
代入，，
得，
即，故，
故或.
当时，直线过，此时点重合，与条件矛盾，舍去.
当时，直线过定点，点在线段上运动，
当时，由，所以，即
从而直线的斜率的取值范围为.
【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，转化等价条件，利用判别式和韦达定理，向量的共线问题求解，求解参数的范围.
2．(1)
(2)
【分析】(1) 利用椭圆的定义，结合椭圆的几何性质知，，则，解出a，b即可得椭圆方程；
(2)设的方程为代入椭圆方程，求出M的坐标，可得，用代替k，可得，求出的面积S，可得，解不等式可得k的取值范围．
【详解】（1）设椭圆的左焦点为，连接，
由对称性知四边形是平行四边形，所以，．
由椭圆定义知，则，．
设椭圆的半焦距为，由椭圆的几何性质知，，则，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）椭圆的标准方程为．则，
所以直线，
如图所示，
设，
联立，消去并整理得，．．．
所以，所以，．．
所以，．
同理可得：，所以，
所以，
由，得，
整理得，得，．
又，所以，所以或．
所以的取值范围为．
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的三角形面积问题，综合性较强，难点在于计算过程相当复杂，计算量较大，并且基本都是有关字母参数的运算，十分容易出错.
3．(1)
(2)
【分析】（1）联立方程求出交点坐标，代入双曲线方程运算求解即可；
（2）设，，根据中垂线方程以及双曲线的切线方程解得，换元令，可得，令，可知关于x的方程有正根，更换主元法求范围即可.
【详解】（1）联立方程：，解得或，
即点为或，
将点代入双曲线C：可得，解得，
所以.
（2）先证：在双曲线上一点处的切线方程为.
因为点在双曲线上，则，
显然直线过点，
即，，
联立方程，消去y可得，
即，则，解得，
所以在双曲线上一点处的切线方程为.
设，，则，
可得线段OP的垂直平分线为，即，
设直线与双曲线C切于点，则直线，
则，即，
且，即，整理可得，
又因为在双曲线C上，则，即，
可得，解得（舍负），
则，
令，则，可得，
令，则关于x的方程有正根，
即关于t的方程在内有根，
设，
若，即，则，不合题意；
若，即，则，解得，不合题意；
若，即，则，解得；
综上所述：，
则，即.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法
一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．
4．(1)
(2)
【分析】（1）设，联立得到韦达定理式，根据垂直得到，再展开代入韦达定理式求解值，最后检验即可；
（2）设 , 得到相关向量，根据向量共线得到方程组，解出，再将其代入双曲线方程化简得到，最后利用面积公式和导数求出面积范围即可.
【详解】（1）由题意知直线的斜率一定存在.
设直线的方程为.
联立，化简得:，其中
所以，
因为，所以.
即:，换元后有:.
所以，化简得:.
解得:或.
当时，直线过点，不符合题意.
当时，代入得，满足题意.
所以.
（2）设，
则.
由可知:，
因为，所以，且有，
化简得:.
又，
设，则.
当时，在定义域上单减;
当时，在定义域上单增.
所以.
所以的取值范围是:.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用定比公式得到，再将其代入回双曲线方程化简整理出关键的，最后得到面积表达式，求出其范围即可.
5．(1)
(2)①且；②
【分析】（1）求得圆心，半径为，设与轴交于点，在直角中，求得，结合抛物线C过点，进而求得抛物线的方程；
（2）联立方程组取得，，设动点，得到的方程，求得点的坐标，得出直线方程，联立方程组求得，进而且，得出点P的轨迹方程；再设，结合点到直线的距离公式，求得的表达式，结合且，进而的其取值范围.
【详解】（1）解：由圆，可化为标准方程，
所以圆心，半径为，
设与轴交于点，如图所示，
因为圆D和抛物线C都关于x轴对称，则E，F两点也关于x轴对称，且，
所以在直角中，，所以，则，
又由抛物线C过点，即，则，
所以抛物线C方程为.
（2）联立方程组，解得点，，则，
设动点，
则直线的斜率为，直线，
直线的斜率为，直线，
将抛物线C代入直线AN得，
解得点，则直线BN的斜率为，
所以直线，
①联立方程组，整理得，
因为点P在直线l的左边，则，即，
所以，则，
又因为，且，由，可得且，
所以点P的轨迹方程为且.
②设，则P到直线l的距离，
因为，则，
则，
又因为且，所以，所以
【点睛】方法策略点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.
6．(1)
(2)（i），（ii）答案见解析
【分析】（1）设点P的坐标为，利用距离公式列式化简求解即可；
（2）（i）利用导数的几何意义求得切线斜率；
（ii）分析直线l斜率存在设为，与抛物线方程联立，韦达定理，表示出线段AB中点M的坐标，利用斜率关系得，从而，根据，得，分类讨论解不等式即可.
【详解】（1）设点P的坐标为，由题意得，
即，所以或
整理得或故W的方程为.
（2）（i）因为W为，所以．所以W在点P处的切线的斜率为：；
（ii）设直线l为，点M为线段AB的中点，当时，不合题意，所以；
因为点A，B满足所以满足，
从而
因为直线PM的方程为，所以，
即，从而.
因为，
所以，即，
等价于(其中).
①当时，即时，有，此时，
②当时，即时，有，此时，
③当时，即时，
有，
其中，
所以.
综上，当时，；
当时，.
反思提升：
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【基础篇】
一、单选题
1．（2022·浙江·模拟预测）已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2024·河南·三模）已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
3．（2021·云南文山·模拟预测）已知双曲线上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段的中点为E，直线交x轴于，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江西九江·一模）已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·山东济南·一模）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
6．（2021·全国·模拟预测）已知双曲线：过点，左、右焦点分别为，，且一条渐近线的方程为，点为双曲线上任意一点，则（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．的最小值为1
7．（2020·全国·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，为抛物线上一动点，设直线与抛物线相交于，两点，点不在抛物线上（ ）
A．若直线过点，且与轴垂直，则
B．若的最小值为3，则
C．若直线经过焦点，则直线，（为坐标原点）的斜率，满足
D．若过，所作的抛物线的两条切线互相垂直，且，两点的纵坐标之和的最小值为2，则
三、填空题
8．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，点为椭圆上的动点，当取最小值时，点的横坐标的值为 ．
9．（2021·山东德州·二模）已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是 ．
10．（2022·山东济南·二模）已知抛物线方程为，直线，抛物线上一动点P到直线的距离的最小值为 ．
四、解答题
11．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
12．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A D D C BD ACD ACD
1．A
【分析】解法一：确定外接圆的方程，与椭圆联立可得点坐标，代入抛物线方程即可得解；
解法二：根据椭圆和抛物线的对称性知的外接圆的圆心必在x轴，设直线AB与x轴的交点为，结合圆的性质可得、进而得，代入椭圆方程计算即可求解.
【详解】解法一：设，则，，
由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴，
又圆过点与点，所以该圆的圆心为，半径为，
所以该圆的方程为，
由点为圆与椭圆的交点，
由，解得，所以.
解法二：设，则，.
由题意知，四点共圆，
由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴，
设与x轴相交于点D，则，
在圆中，由相交弦定理可得有，
即，又，
所以，解得，①
代入，得，②
将①②代入椭圆方程，得，
整理，得，解得.
经检验，时，符合题意.
故实数p的值为.
故选：A.
2．D
【分析】利用椭圆的几何性质得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】依题意，椭圆短轴长为，得，则，
又的最大值是最小值的3倍，即，
所以，所以，则其焦距为.
故选：D
3．D
【解析】由双曲线的对称性及题意可知M为的重心可得的值，进而可得解.
【详解】由已知得M为的重心，∴，又，∴，即.
故选:D.
【点睛】此题考查双曲线的性质及基本量计算，属于基础题.
4．C
【分析】根据题意得点在以为直径的圆上或圆内，即，结合为双曲线上一点，然后解不等式即可
【详解】解：要使得，则点在以为直径的圆上或圆内，，又，且，，
故选:C.
5．BD
【分析】由题，利用离心率公式、椭圆的定义和基本不等式即可一一判断．
【详解】椭圆，则
对于A：，故A错误；
对于B：的周长为，故B正确；
对于C：的最小值为，故C错误；
对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：BD．
6．ACD
【分析】由渐近线的方程可得，又点在双曲线上，可求出双曲线的方程，可判断选项A；根据条件可得，可判断选项B; 设点由点到直线的距离结合点在双曲线上，可判断选项C；当点为双曲线的左顶点时，取得最小值为，可判断选项D.
【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以，
又双曲线过点，所以，得，，
所以双曲线的标准方程为，选项A正确；
易知，所以，所以，所以选项B不正确；
设点，则点到两渐近线的距离的乘积为，
因为点在双曲线上，所以，即，
所以点到两渐近线的距离的乘积为，所以选项C正确；
当点为双曲线的左顶点时，取得最小值为1，所以选项D正确．
故选：ACD．
7．ACD
【分析】对于A，根据求出，可知A正确；
对于B，当点在抛物线的外部时，求出，可知B不正确；
对于C，利用斜率公式计算可得，可知C正确；
对于D，设，，利用两条切线互相垂直求出，根据的最小值，得到的坐标，再求出三角形的面积，可知D正确.
【详解】若直线过点，且与轴垂直，则，所以，所以A正确.
当点在抛物线的内部时，设是抛物线的准线，过点作于点，则，当且仅当，，三点共线时等号成立，所以的最小值是，由得；
当点在抛物线的外部时，连接，则的最值为，所以，得，所以B不正确.
易知直线的斜率存在，设直线：，与联立，
消去得，设，，
则，从而可得，
所以，所以C正确.
设，，由得，
所以，即，
所以，
所以当时，取得最小值，且，
所以，所以，即，，
因为点，所以，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：掌握抛物线的标准方程和几何性质是解题关键.
8．
【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可联立方程求解.
【详解】因为为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为，则，
由椭圆的定义，得，
当为射线与椭圆交点时，取最小值，
因为直线方程为，设，
联立，消去得或，
由于，所以，
故答案为：
9．
【分析】延长交于点，由角平分线性质可知，，即可列出等式，确定点的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的取值范围．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，因为为的平分线，且，所以为的中点，为的垂直平分线，所以，在中，、分别为、的中点，所以，设点坐标为，所以，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以点到直线的距离的取值范围是
故答案为：
10．
【分析】将直线向抛物线平移，当直线与抛物线相切时，切点到直线的距离最小，所以只要求与直线平行的切线方程，然后利用两平行线间的距离公式求解即可
【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，
由，得，
则，得，
所以切线方程为，
所以抛物线上一动点P到直线的距离的最小值为
，
故答案为：
11．(1)；
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义与方程求解；（2）利用向量处理，结合韦达定理代换整理，注意讨论直线l斜率是否存在．
【详解】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．
由得，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以；
因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，所以，
所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以
则
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
12．(1)
(2).
【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；
（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出，利用二次函数可得答案.
【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为，
所以右焦点坐标为.
又椭圆经过点，
所以.
所以椭圆的方程为.
（2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，.
②当直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程，
由，得，
则，
.
设直线的方程为，同理得，
所以，
设，则，
则，
所以时，有最小值.
综上，的最小值是.
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆，点在椭圆上，满足在椭圆上存在一点到直线的距离均为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆，圆，为圆上任意一点，为椭圆上任意一点.过作椭圆的两条切线，，当，与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，，则（ ）
A．椭圆的离心率为 B．的最小值为1
C．的最大值为 D．
三、填空题
3．（2021·全国·模拟预测）已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是 ．
四、解答题
4．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．
参考答案：
题号 1 2
答案 B AC
1．B
【分析】设，根据距离公式可得是关于的方程的两个实根，整理得关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，求解得，结合不等式即可得最大值.
【详解】
由题可设，
则到直线的距离为，到直线的距离为，
所以是关于的方程的两个实根，
该方程即，于是．
又，所以，同理，
所以
．
当且仅当时等号成立，所以的最大值是.
故选：B.
2．AC
【分析】根据椭圆的标准方程判断选项A，再由两点间距离，判断BC，利用切线方程的斜率和韦达定理求解判断选项D.
【详解】对于A，根据题意，，则，故，故A正确；
对于BC，设，则，
而圆的圆心，半径为，
则，
因为，所以，则，
所以，即，
所以的最小值为，最大值为，故B错误，C正确；
对于D，设，过点的直线方程为：，
联立，，
根据直线与椭圆的相切，则，
化简可得，，
可知是方程的两个根，所以，
所以，当且仅当取等号，故D错误.
故选：AC
3．
【分析】设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围．
【详解】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以
故答案为：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可；
（2）设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得，代入中化简即可得出最值.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为()，
，
由题可知，
，即，
又，
故E的方程为.
（2）如图，
由题可知，且直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
将方程和联立，得，
，
，
，,
直线与的右支有交点，，
当时，取得最小值，且最小值为.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·河南信阳·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知双曲线为其右焦点，点到渐近线的距离为1，平行四边形的顶点在双曲线上，点在平行四边形的边上，则（）
A．
B．
C．若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为
D．四边形的面积
三、填空题
3．（2024·山东枣庄·模拟预测）设为平面上两点，定义、已知点P为抛物线上一动点，点的最小值为2，则 ；若斜率为的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则的最小值为 ．
参考答案：
题号 1 2
答案 C BCD
1．C
【分析】由题意可得四边形为平行四边形，设，，，根据与的中点相同得，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解.
【详解】设过点P分别与直线平行的直线为，如图：
设，，，则，，
显然四边形为平行四边形，故与的中点重合，
则，即，
又因P为椭圆上任意一点，所以，即，
即，
而，即，所以当时，.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系.
2．BCD
【分析】由点到线的距离判断A，由对称性结合双曲线定义判断B，由渐近线性质判断C，联立直线与双曲线，表示面积利用函数单调性求得范围判断D.
【详解】对A，易知渐近线方程为，焦点F坐标为，
点到渐近线的距离为，故项错误；
对B，若为双曲线的左焦点，又点在平行四边形上，
则根据对称性知点也在平行四边形上，且，
所以，故B项正确；
对C，由双曲线的渐近线方程为，
若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，当其值为时，
则平行四边形各对应边所在直线与双曲线不可能有四个交点，故C项正确；
对D，如上图，设直线，
联立双曲线方程得，且，
所以，
则，
由对称性知，则点到直线的距离，
所以，令，
则，
又在上单调递减，故在上单调递增，
所以，故D项正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是利用对称性解决B，合理表示面积结合函数单调性求得面积范围.
3． 2
【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过作并构造直角三角形，根据的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.
【详解】设，则，
，即，时取得最小值；
易知，，联立有，
显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，
过作交l于N，过作，
则（重合时取得等号），
设，则，所以，
故答案为：2，
【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题53 最值、范围问题（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 3
【考点1】最值问题 3
【考点2】范围问题 4
【分层检测】 6
【基础篇】 6
【能力篇】 8
【培优篇】 9
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
二、解答题
2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．
(1)求椭圆方程．
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
3．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
【考点1】最值问题
一、解答题
1．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
2．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
3．（2024·上海·模拟预测）已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.
4．（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程及点的坐标；
(2)过且斜率非负的直线与的左 右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2.
(1)求的准线方程；
(2)求的最小值.
6．（2024·内蒙古·三模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且.
(1)求的方程；
(2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值.
反思提升：
处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
【考点2】范围问题
一、解答题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若，，点A在第二象限，求直线的斜率；
(3)若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围.
2．（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围．
3．（2025·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．
4．（2024·贵州贵阳·三模）已知为双曲线的右顶点，过点的直线交于D、E两点.
(1)若，试求直线的斜率;
(2)记双曲线的两条渐近线分别为，过曲线的右支上一点作直线与，分别交于M、N两点，且M、N位于轴右侧，若满足，求的取值范围（为坐标原点）.
5．（2024·重庆·三模）设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
②面积的取值范围.
6．（2024·辽宁·模拟预测）在直角坐标系xOy中，点P到点(0，1)距离与点P到直线距离的差为﹣1，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)设点P的横坐标为.
（i）求W在点P处的切线的斜率(用表示)；
（ii）直线l与W分别交于点A，B．若，求直线l的斜率的取值范围(用表示).
反思提升：
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【基础篇】
一、单选题
1．（2022·浙江·模拟预测）已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2024·河南·三模）已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
3．（2021·云南文山·模拟预测）已知双曲线上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段的中点为E，直线交x轴于，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江西九江·一模）已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·山东济南·一模）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
6．（2021·全国·模拟预测）已知双曲线：过点，左、右焦点分别为，，且一条渐近线的方程为，点为双曲线上任意一点，则（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．的最小值为1
7．（2020·全国·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，为抛物线上一动点，设直线与抛物线相交于，两点，点不在抛物线上（ ）
A．若直线过点，且与轴垂直，则
B．若的最小值为3，则
C．若直线经过焦点，则直线，（为坐标原点）的斜率，满足
D．若过，所作的抛物线的两条切线互相垂直，且，两点的纵坐标之和的最小值为2，则
三、填空题
8．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，点为椭圆上的动点，当取最小值时，点的横坐标的值为 ．
9．（2021·山东德州·二模）已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是 ．
10．（2022·山东济南·二模）已知抛物线方程为，直线，抛物线上一动点P到直线的距离的最小值为 ．
四、解答题
11．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
12．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆，点在椭圆上，满足在椭圆上存在一点到直线的距离均为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆，圆，为圆上任意一点，为椭圆上任意一点.过作椭圆的两条切线，，当，与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，，则（ ）
A．椭圆的离心率为 B．的最小值为1
C．的最大值为 D．
三、填空题
3．（2021·全国·模拟预测）已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是 ．
四、解答题
4．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·河南信阳·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知双曲线为其右焦点，点到渐近线的距离为1，平行四边形的顶点在双曲线上，点在平行四边形的边上，则（）
A．
B．
C．若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为
D．四边形的面积
三、填空题
3．（2024·山东枣庄·模拟预测）设为平面上两点，定义、已知点P为抛物线上一动点，点的最小值为2，则 ；若斜率为的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则的最小值为
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